________________________________________________________________________________
Inhalt....: Arithmetisches Mittel, Varianz, Kovarianz und Korrelationskoeffizient
Kategorie.: Grundkurs
Mathematik: Stochastik, Statistik
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2004-03-31
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: stats::hypergeometricPF, float, stats::binomialPF, stats::mean,
Funktionen: stats::median, stats::binomialRandom, stats::covariance,
Funktionen: stats::correlation
________________________________________________________________________________
Arithmetisches Mittel, Varianz, Kovarianz und
Korrelationskoeffizient
Dieses Arbeitsblatt ist Bestandteil des MuPAD Grundkurses.
Wir wollen sehen, wie man das arithmetische Mittel, die Varianz, die Kovarianz
und den Korrelationskoeffizienten mit MuPAD berechnen kann. Neben der Be-
rechnung dieser statistischen Kenngrößen werden wir auch lernen, wie man auf
bestimmte in MuPAD vordefinierte Verteilungen zugreift und spezielle Zufallsge-
neratoren zur Erzeugung von Datensätzen benutzen kann. Dazu betrachten wir
ein umfangreicheres Beispiel:
Eine Buchbestellung besteht aus 5000 Büchern, von denen 1000 einen beschä-
digten Einband besitzen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 zufällig
ohne Zurücklegen herausgenommenen Büchern genau 5 einen beschädigten Ein-
band besitzen.
Hier liegt eine hypergeometrische Zufallsvariable mit den Parametern N = 5000,
X = 1000 und n = 30 vor. Anstatt Verteilungen wie zurvor die Binomialverteilung
oder die Normalverteilung per Hand in MuPAD einzugeben, können wir auch die
entsprechenden Funktione in der MuPAD Statistik Bibliothek nutzen.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit von oben, läßt sich wie folgt in MuPAD berech-
nen:
stats::hypergeometricPF(5000, 1000, 30)(5)
float(%)
Approximativ können wir die Binomialverteilung mit n = 30 und p = X/N zur Be-
rechnung der Wahrscheinlichkeit verwenden:
stats::binomialPF(30, 1/5)(5)
float(%)
Wir erzeugen nun einen Datensatz mit 20 hypergeometrischverteilten Zufalls-
zahlen:
Daten := [stats::hypergeometricRandom(5000, 1000, 30)()
$ i = 1..20]
Von diesen Daten wollen wir einige Kenngrößen bestimmen. Die Berechnung
des arithmetischen Mittels erhalten wir über:
stats::mean(Daten)
Auch der Median läßt sich sehr leicht berechnen:
stats::median(Daten)
Varianz und Standardabweichung des Datensatzes lassen sich mit Hilfe der
Funktionen stats::variance und stats::stdev ermitteln:
stats::variance(Daten)
stats::stdev(Daten)
Zusätzlich erzeugen wir einen neuen Datensatz mit binomialverteilten Zufallszahlen.
An diesem wollen wir die Berechnung der Kovarianz und des Korrelationskoeffizienten
erproben:
Daten_approx := [stats::binomialRandom(30, 1/5)() $ j = 1..20]
stats::covariance(Daten, Daten_approx);
stats::correlation(Daten, Daten_approx);
float(%)
________________________________________________________________________________
Übungen:
1. Führen Sie die obigen Berechnungen mit MuPAD selbst aus: Achten Sie dabei insbesondere
__darauf, dass die entsprechenden Zufallsgeneratoren andere Werte liefern (erzeugen Sie sich
__mehrmals hintereinander auf die gleiche Weise einen entsprechenden Datensatz - dann sollten
__Sie jedesmal aufs Neue zufälligen Zahlen erhalten). Berechnen Sie auch die entsprechenden
__Kenngrößen von oben.
_______________________________________________________________________________
Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
_______________________________________________________________________________