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Inhalt....: Das Volumen eines Kegels
Kategorie.: Unterrichtsmaterial
Mathematik: Analysis, Grafik
MuPAD.....: 3.1.0
Datum.....: 2006-02-23
Autoren...: Wolfgang Kramer <Wolfgang.Kramer@ffb.lippe.de>
Funktionen: plot, plot::Curve3d, plot::Cone, plot::Camera, plot::Function2d
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Es ist ein Kegel mit maximalem Volumen zu bestimmen
Mit diesem Arbeitsblatt wird die Thematik Extremwertaufgaben am Beispiel eines zu
optimierenden Kegels demonstriert. Der Kegel wird über den Bogen des zur Verfügung
stehenden Kreissegmentes animiert. Sinnvoll ist eine vorhergehende manuelle Übung mit
Papier, Zirkel, Schere, Klebstoff.
Aus einem Blatt der Seitenlänge 20 soll ein Kegel mit maximalem Volumen erstellt werden.
Im ersten Schritt werden die benötigten Objekte definiert. Konstanten sind die Blattgröße sowie
die Grenzen des Animationsbereiches.
Kante := 10:
Beginn:= 11*PI/6:
Ende := 3*PI/4:
Blatt := plot::Polygon3d([[-Kante,-Kante,0], [ Kante,-Kante,0]
,[ Kante, Kante,0], [-Kante, Kante,0]],
Closed, LineColor=RGB::Gray25):
Kreis := plot::Curve3d([Kante*sin(t), Kante*cos(t),0],
t=0..r, r=Beginn..Ende, LineColor=RGB::Red):
Radius1:= plot::Line3d([0,0,0], [0,Kante,0], LineColor=RGB::Green):
Radius2:= plot::Line3d([0,0,0], [Kante*sin(t), Kante*cos(t),0],
t=Beginn..Ende, LineColor=RGB::DarkRed):
Kegel := plot::Cone(r, [0, 0, sqrt(100-r^2)], [0, 0, 0],
r=Kante/(2*PI)*Beginn..Kante/(2*PI)*Ende, Color=RGB::Gray):
Linie := plot::Line3d([0,0,0], [0,r,sqrt(100-r^2)],
r=Kante/(2*PI)*Beginn..Kante/(2*PI)*Ende, LineColor=RGB::Green):
Kamera := plot::Camera([-75,72,25], [0,0,0], 0.2):
Im plot-Befehl werden die zuvor erstellten Objekte gezeichnet, hier bietet es sich an die Objekte
durch Einfügen bzw. Entfernen der Kommentarzeichen ggf. nacheinander darstellen zu lassen.
plot( Blatt, Kreis
,Radius1, Radius2
,Kegel, Linie
,Kamera
,OrthogonalProjection=TRUE, Axes=None
):
Nach ausgiebiger Analyse der Grafik folgt die analytische Betrachtung der Aufgabenstellung.
Definition der Volumenfunktion für den Kegel in Abhängigkeit von der Bogenlänge des Kreissegmentes
Radius des Kegels: r1 = r*x/2PI
Grundfläche: A = r^2*x^2/4PI
Höhe des Kegels: h = sqrt(r^2 -r1^2)
Volumen: V = A*h/3
f:= x --> 1000*x^2*sqrt(4*PI^2-x^2) / (24*PI^2)
// ggf. eine Auswertung für konkrete Werte von x 2*PI < x < 0
DIGITS:= 3:
float([x,f(x)]) $ x=2..6
// ggf. Überlegungen zum Definitionsbereich und den Nullstellen
f(x)
// Darstellung der Funktion
plotfunc2d(f,x=0..2*PI,GridVisible, SubgridVisible)
// Die Ableitung der Funktion f
// Vorher manuell als Übung zur Anwendung der Ableitungsregeln
f'(x)
// Untersuchung des Zählers auf Nullstellen
// Dazu Wiederholung Bruchrechnen kgV, Erweitern, ...
normal(f'(x))
// Nur eine Untersuchung des Zählers ist notwendig, weil ...
Zaehler:=numer(f'(x));
// Die Nullstellen des Zählers,
// Anzahl der zu erwartenden Nullstellen
L:= solve(Zaehler=0, x)
// Die Lösungsmenge
L:= float(L)
// Nur das dritte Element von L ist sinnvoll
L[3]
// Der Wert des maximalen Volumens
float(f(L[3]))
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen zum Einsatz von MuPAD in der Lehre finden Sie auf unserem WebPortal
MuPAD in Schule und Studium unter: http://schule.mupad.de bzw. http://studium.mupad.de.
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