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Inhalt....: Der Aufsetzer - ein Problem aus der Physik des Fußballs
Kategorie.: Unterrichtsmaterial
Mathematik: Physik
MuPAD.....: 4.0.0
Datum.....: 2007-12-11
Autoren...: August Barkhausen <abarkhausen@gmx.de>
Funktionen: proc, local, plot, AxesTitles, Color, solve
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Der Aufsetzer - ein Problem aus der Physik
des Fußballs
Nach dem begeisternden Vortrag von Prof. Dr. Tolan über die Physik des Fußballspiels an der Universität Paderborn am 24.05.2006 stellte sich die Frage, ob Aspekte der Fußballphysik sich mit MuPAD realisieren und im Unterricht sinnvoll verwerten lassen. Als ein realisierbares Beispiel sollen hier Aspekte des Aufsetzers behandelt werden. Die über die elementare Schulphysik hinausgehenden dem Notebook zugrunde liegenden Algorithmen und Daten wurden dem Buch "Fußball - Wissenschaft mit Kick" von John Wesson Spektrum Akademischer Verlag 1. Auflage 2006 entnommen.
Das Notebook soll im Unterricht einsetzbar sein und dabei gleichzeitig Raum für eigene Arbeiten lassen. Insofern ist das Notebook bewusst "nicht fertig". Anzumerken ist insbesondere:
1) Das Notebook stellt eine Plattform für Simulationen von Aufsetzern unter verschiedensten Rahmenbedingungen bereit.
2) In diesem Notebook werden Ergebnisse nur graphisch ausgegeben. Das Notebook kann aber um eine Ausgabe von numerischen Ergebnissen ergänzt werden. In diesem Zusammenhang wird neben dem vertieften Umgang mit MuPAD die Berücksichtigung sowohl mathematischer als physikalische Aspekte nötig sein.
3) Die Ergebnisse dieses oder eines erweiterten Notebooks können durch Versuche überprüft werden. Insofern kann das Notebook sowohl die Planung und Durchführung von Versuchen als auch die Problematisiserung der zugrunde liegenden Modellbildung unterstützend begleiten. Die nichttrivialen Schwierigkeiten in der Realisierung entsprechender Versuche und deren Auswertung stellen einen eigenständigen Wert dar.
4) Der überraschend aufgetretene Fall des Rückwärtsfluges erforderte eine entsprechende Erweiterung der Graphikroutinen. Diese wurde in der Prozedur, nicht jedoch in den vorbereitenden Ansätzen realisiert.
Das Notebook besteht aus fünf Teilen:
1) Einer Simulation des Aufsetzers bei vollständig elastischem Stoß
2) Einer Simulation des Aufsetzers bei Energieverlusten im Ball beim Aufprall
3) Einer Prozedur, die die Simulation des Aufsetzers bei Energieverlusten durch Gleitreibung auf dem Boden und durch Verformungen des Balls beim Aufprall berücksichtigt.
4) Einigen Simulationen mit der unter 3) erstellen Prozedur mit kurzen Anmerkungen
5) Anregungen für die Weiterarbeit. Die Anregungen sind bewusst allgemein gehalten, so dass Raum für eigenständige Problemstellungen und Problemlösungen bleibt.
In allen Fällen wird von der Luftreibung abgesehen. Rollen des Balls beim Bodenkontakt wird ebenfalls nicht berücksichtigt. In dem Buch von John Wesson werden auch diese Aspekte ausführlich behandelt. Beim konkreten Schuss wird durch die Luftreibung die Schussweite geringer als hier berechnet und anders als hier dargestellt der Aufprallwinkel größer als der
Abschusswinkel sein.
In erster Näherung soll vom vollkommen elastischen Stoß des Balls gegen den Erdboden ausgegangen werden. In diesem Fall erhält man durch Auswertung von Energie- und Impulserhaltung, dass
1) der Ball mit gleicher Geschwindigkeit abprallt, mit der er aufgeprallt ist.
2) die auch aus der Optik bekannte Beziehung Einfallswinkel = Ausfallswinkel gilt.
Für Details siehe die Literatur. (u.a. Oskar Höfling Physik, Dümmler 15. Auflage 1994 S. 123)
Die Bahnen des Balls entsprechen den Bahnen des schiefen Wurfs nach oben, wenn man die Reibung nicht berücksichtigt. Wenn man den Abwurfpunkt in den Ursprung legt, ergeben sich folgende Bedingungen:
1) in horizontaler Richtung ist die Bewegung gleichförmig. Es gilt daher 
wobei x die Wurfweite in horizontaler Richtung ist, vx die Horizontalgeschwindigkeit und t die Zeit.
2) in vertikaler Richtung gilt: 
Wenn man die erste Formel nach t umstellt und das Ergebnis in die zweite Formel einsetzt, ergibt sich die Bahngleichung für den Wurf: 
Dabei ist vy die anfängliche Vertikalgeschwindigkeit und g die Erdbeschleunigung. Die Berechnungen sind physikalisch sinnvoll, da die beiden Vorgänge gleichzeitig ablaufen.
Aus physikalischer Sicht sind Einheiten vorzusehen:
- Die Einheit aller Längen ist das Meter.
- Die Zeit wird in s angegeben.
- Geschwindigkeiten werden in Meter pro Sekunde angegeben.
- Beschleunigungen werden in Meter pro Sekunde zum Quadrat.
1) Simulation des Aufsetzers bei vollkommen elastischem Stoß
Nun werden einige Konstanten definiert.
Die Länge eines Fußballfeldes wird initialisiert:
LaengeFussballFeld:= 105:
Der Wert für die Erdbeschleunigung wird initialisiert.
g:= 10:
Der Wert für die Anfangsgeschwindigkeit wird initialisiert. Ein durchschnittlicher Elfmeterschütze der ersten Liga hat nach Angaben von John Wesson eine Abschussgeschwindigkeit von 110 km/h. Für die Zwecke des Notebooks wird von niedrigeren Geschwindigkeiten ausgegangen, da einerseits ein Teil des Aufsetzers außerhalb des Spielfeldes stattfinden würde und andererseits gibt es auch Schüsse mit niedrigerer Anfangsgeschwindigkeit. Die Geschwindigkeit wird in die Einheit m/s umgerechnet.
v1:= 90:
v1:= v1/3.6:
Der Wert für den Abschusswinkel wird initialisiert. Die Winkeleinheit ist Grad.
Winkel:= 20:
MuPAD benötigt die Winkeleinheit Bogenmaß. Insofern wird der vorgegebene Winkel in Bogenmaß umgerechnet.
Winkelbogenmass:= Winkel*PI/180:
Die Beträge der Horizontal- und Vertikalgeschwindigkeiten werden berechnet.
vx1:= v1*cos(Winkelbogenmass):
vy1:= v1*sin(Winkelbogenmass):
Die Bahngleichung der Flugbahn nach dem Aufprall wird definiert. Die Bahn wird so definiert, dass der Abschuss im Ursprung stattfindet und nach rechts geschossen wird.
Bahn1:= x->vy1*x/vx1-1/2*g*x^2/vx1^2:
Die Nullstellen der Bahn werden berechnet. Die rechte Nullstelle ist der Anfangspunkt der zweiten Bahn, die die Flugbahn nach dem Aufprall beschreibt.
Nullstellen1:= solve(Bahn1(x)=0,x):
Die Daten für die Flugbahn nach dem Aufprall werden berechnet. Der Anfangspunkt der sekundären Bahn ist die rechte Nullstelle der primären Bahn. Beim vollkommen elastischen Stoß gegen eine unendliche Masse (Erdboden) wird der Ball mit der gleichen Geschwindigkeit abgeschossen, mit der er aufgeprallt ist. Der Abschusswinkel ist genau so groß wie der Aufprallwinkel. Insofern ergeben sich die gleichen Anfangsgeschwindigkeitskomponenten wie bei der primären Bahn.
vx2:= vx1:
vy2:= vy1:
Die Bahngleichung der sekundären Bahn wird berechnet.
Bahn2:= x->vy2*(x-Nullstellen1[2])/vx2
-1/2*g*(x-Nullstellen1[2])^2/vx2^2:
Die Nullstellen der sekundären Bahn werden berechnet. Der rechte Rand der Zeichnung entspricht sinnvollerweise der rechten Nullstelle der sekundären Bahn.
Nullstellen2:= solve(Bahn2(x)=0,x):
Die Bahnen werden zusammen mit den Tangenten im Auftreffpunkt in einem Koordinatensystem dargestellt. Für die Darstellung werden folgende Annahmen gewählt:
1) Der Schuss beginnt in Bodenhöhe.
2) Der Ball bleibt nach dem zweiten Aufprall liegen.
plotbahn1:=plot::Function2d(Bahn1,
x=0..Nullstellen1[2]):
plotbahn2:=plot::Function2d(Bahn2,
x=Nullstellen1[2]..Nullstellen1[1]+Nullstellen2[2],
Color=RGB::GreenDark):
Die Tangenten an die jeweiligen Bahnen im Auftreffpunkt werden definiert und gezeichnet. Die Steigung entspricht dabei jeweils dem Verhältnis von Vertikal- und Horizontalgschwindigkeit, wobei im Auftreffpunkt die Vertikalgeschwindigkeiten der beiden Bahnen entgegengesetzt gerichtet sind.
tangentebahn1:= -vy1/vx1*(x-Nullstellen1[2]):
tangentebahn2:= vy2/vx2*(x-Nullstellen1[2]):
tangente1:=plot::Function2d(tangentebahn1,
x=Nullstellen1[2]/1.5..Nullstellen1[2],
Color=RGB::Red):
tangente2:=plot::Function2d(tangentebahn2,
x=Nullstellen1[2]..Nullstellen2[2]*2/3,
Color=RGB::Red):
Die vier Graphen werden ausgegeben.
PlotOptionen:=
ViewingBoxXRange=0..LaengeFussballFeld,
AxesTitles=["Schussweite in m","Schusshöhe in m"],
YAxisTitleOrientation = Vertical:
plot(plotbahn1, plotbahn2, tangente1, tangente2, PlotOptionen)
Im Ergebnis ergeben sich zwei gleichartige Graphen, wobei der sekundäre Graph am Endpunkt des primären Graphen beginnt.
Aus physikalischer Sicht liegt beim Aufprall eines Balls auf dem Boden jedoch kein vollkommen elastischer Stoß vor. Andererseits würde der Ball beim vollkommen inelastischen Stoß gegen einen Stoßpartner mit unendlicher Masse nach dem Aufprall liegen bleiben.
2) Simulation des Aufsetzers mit Energieverlusten durch elastische Verformungen des Balls beim Aufprall
Eine genauere physikalische Sichtweise wird in zwei Schritten analysiert. Im ersten Schritt werden Energieverluste im Ball beim Aufprall berücksichtigt. Bekanntlich kommt ein senkrecht nach unten fallender Ball nach dem Aufprall nicht mehr so hoch wie vorher. Aus physikalischer Sicht wird die Situation durch die Elastizitätszahl e beschrieben. Für die vertikalen Geschwindigkeitskomponenten gilt:
Die Elastizitätszahl e hat beim vollkommen elastischen Stoß den Wert 1, beim vollkommen inelastischen Stoß den Wert 0. Die Horozontalkomponenten der Geschwindigkeit sind in diesem Zusammenhang nicht betroffen, da der Ball in dieser Richtung nicht zusammen gedrückt wird. (Ausnahme: vollkommen inelastischer Stoß) John Wesson gibt in seinem oben angegebenen Buch e=0.5 als realistsichen Wert für die Elastizitätszahl an. Weitere Details finden sich in diesem Buch S. 167 - 168)
Die entsprechenden Änderungen für die Anfangsgeschwindigkeiten der sekundären Bahn sind im folgenden berücksichtigt. Es wird im folgenden Abschnitt von der Elastizitätszahl 0.5 ausgegangen.
Elastizitaetszahl:= 0.5:
vx2:= vx1:
vy2:= vy1*Elastizitaetszahl:
Bahn2:= x->vy2*(x-Nullstellen1[2])/vx2-
1/2*g*(x-Nullstellen1[2])^2/vx2^2:
Nullstellen2:= solve(Bahn2(x)=0,x):
plotbahn1:=plot::Function2d(Bahn1,
x=0..Nullstellen1[2]):
plotbahn2:=plot::Function2d(Bahn2,
x=Nullstellen1[2]..Nullstellen1[1]+Nullstellen2[2],
Color=RGB::GreenDark):
tangentebahn1:= -vy1/vx1*(x-Nullstellen1[2]):
tangentebahn2:= vy2/vx2*(x-Nullstellen1[2]):
tangente1:=plot::Function2d(tangentebahn1,
x=Nullstellen1[2]/1.5..Nullstellen1[2],
Color=RGB::Red):
tangente2:=plot::Function2d(tangentebahn2,
x=Nullstellen1[2]..5/4*Nullstellen1[2],
Color=RGB::Red):
plot(plotbahn1, plotbahn2, tangente1, tangente2, PlotOptionen)
Im Ergebnis stellt man fest, dass Schussweite, Schusshöhe und Abwurfwinkel jeweils geringer sind als bei der primären Bahn. Die Verkleinerung der Schusshöhe und der maximalen Schussweite ist unmittelbar einsichtig. Die Verkleinerung des Abwurfwinkel ist zunächst verblüffend, jedoch ebenfalls plausibel, da bei gleichbleibender anfänglicher Horizontalgeschwindigkeit die anfängliche Vertikalgeschwindigkeit geringer geworden ist als im Fall mit vollständig elastischem Ball.
3) Erstellung der Prozedur zur Berechnung von Auswirkungen von elastischen Verformungen und Gleitreibung beim Bodenkontakt
In einem dritten Schritt sollen die Auswirkungen des Ballkontakts mit dem Boden untersucht werden. Zwei Fälle sind denkbar:
1) der Ball rutscht etwas vor Verlassen des Bodens.
2) der Ball rollt vor Verlassen des Bodens.
In diesem Notebook soll nur der Einfluss des Rutschens untersucht werden. Im Rutschfall wird die Horizontalgeschwindigkeit durch Gleitreibungskräfte reduziert. Die Vertikalkomponente ist hierdurch nicht betroffen. Zusammengefasst ergeben sich folgende Sekundärgeschwindigkeiten: 
Dabei ist e die Elastizitätszahl und u der Gleitreibungskoeffezient. (Details siehe in dem Buch von John Wesson S. 172 - 175)
Aus praktischen Gründen werden die entsprechenden Berechnungen in einer Prozedur ausgeführt.
aufsetzer_mit_reibung_elastizitaet:=
proc(Geschwindigkeit, Winkel, Elastizitaetszahl, Reibungszahl)
begin
v1:= Geschwindigkeit:
Winkelbogenmass:= Winkel*PI/180:
vx1:= v1*cos(Winkelbogenmass):
vy1:= v1*sin(Winkelbogenmass):
Bahn1:= x->vy1*x/vx1-1/2*g*x^2/vx1^2:
Nullstellen1:= solve(Bahn1(x)=0,x):
vx2:= vx1-Reibungszahl*(1+Elastizitaetszahl)*vy1:
vy2:= vy1*Elastizitaetszahl:
Bahn2:= x->vy2*(x-Nullstellen1[2])/vx2-
1/2*g*(x-Nullstellen1[2])^2/vx2^2:
Nullstellen2:= solve(Bahn2(x)=0,x):
// Diese Befehle ermöglichen die Darstellung
// von rückwärts gerichteten Bahnen.
NS2R:= max(Nullstellen2[1], Nullstellen2[2]):
NS2L:= min(Nullstellen2[1], Nullstellen2[2]):
plotbahn1:=plot::Function2d(float(Bahn1),
x=0..Nullstellen1[2]):
plotbahn2:=plot::Function2d(float(Bahn2),
x=NS2L..NS2R,
Color=RGB::GreenDark):
plot(plotbahn1, plotbahn2,
ViewingBoxXRange=0..LaengeFussballFeld,
AxesTitles=["Schussweite in m","Schusshöhe in m"],
YAxisTitleOrientation = Vertical)
end_proc:
4) Simulation verschiedener Anfangsbedingungen mit der Prozedur
Nun werden einige Beispiele analysiert, um die Ergebnisse der Prozedur durch Vergleich mit der Erfahrung bzw. bekannten Testfällen auf Plausibilität zu überprüfen. Beim Aufruf der Prozedur ist darauf zu achten, dass die Einheit der Anfangsgeschwindigkeit m/s ist. Benutzt man die vorinitalisierte Geschwindigkeit v1, ist wurde die Umrechnung bereits durchgeführt.
a) Im Fall e = 1 und u = 0 reproduzieren sich die bekannten Ergebnisse des vollkommen elastischen Stoßes. Die Prozedur liefert damit das korrekte Ergebnis.
aufsetzer_mit_reibung_elastizitaet(v1, Winkel, 1, 0)
b) Im Fall e = 0.5 und u = 0.2 ist im Vergleich zum Beispiel ohne Energieverluste durch Gleiten der Winkel wieder vergrößert, die Schussweite jedoch verkleinert.
aufsetzer_mit_reibung_elastizitaet(v1, Winkel, 0.5, 0.2)
c) Im Fall e = 0.3 und u = 0.8 kommt der Ball längst nicht so weit wie im Fall b. Das Ergebnis dieses Testfalls entspricht ebenfalls der Erfahrung. Weiche Bälle in hohem Gras kommen nicht weit.
aufsetzer_mit_reibung_elastizitaet(v1, Winkel, 0.3, 0.8)
d) Im Fall e = 0.7 und u = 0.2 fliegt der Ball weiter und höher als im Fall b, bei dem bei gleicher Gleitreibungszahl die Elastizitätszahl kleiner ist als hier. Auch dies Ergebnis ist plausibel.
aufsetzer_mit_reibung_elastizitaet(v1, Winkel, 0.7, 0.2)
e) Schließlich ein verblüffendes Ergebnis: Bei einem Einschusswinkel von 50 Grad und e = 1 und u = 0.42 springt der Ball fast senkrecht nach oben und kommt wegen der Elastizitätszahl 1 genau so hoch wie vorher.
aufsetzer_mit_reibung_elastizitaet(v1, 50, 1, 0.417)
Das Ergebnis wird noch verblüffender, wenn man die Gleitreibungszahl weiter vergrößert. Im Fall u = 0.5 und noch größeren Werten von u ist die sekundäre Bahn bei sonst gleichen Randbedingungen rückwärts gerichtet. Für erheblich größere Werte von u ist die Bahn allerdings so weit rückwärts gerichtet, dass sie nicht mehr dargestellt wird.
aufsetzer_mit_reibung_elastizitaet(v1, 50, 1, 0.5)
Da dies Verhalten in der Realität nicht vorkommt, sind die Grenzen des Modells überschritten. Eine wesentliche Einschränkung liegt darin, dass Reibungskräfte in diesem Beispiel nur verzögernd und nicht beschleunigend wirken können.
Im Fall des Rückwärtsfluges wird aber von einer Beschleunigung des Balls durch die Gleitreibungskräfte in Verbindung mit der Reibung im Ball ausgegangen.
Darüber hinaus kann der Ball beim Aufprall rollen. Dieser Fall wird in dem Buch von John Wesson diskutiert. Schließlich muss von realistischen Werten für Elastizitätszahlen und Gleitreibungszahlen ausgegangen werden. John Wesson gibt 0.5 als realistische Größenordnung für die Elastizitätszahl an. Für die Gleitreibungszahl liegen mir derzeit keine realistischen Werte vor. Als wesentliche Einschränkung schließlich gibt John Wesson an, dass Fußbälle nur dann gleiten, wenn der Auftreffwinkel ausreichend flach ist, während sie bei größeren Auftreffwinkeln eher rollen. (siehe S. 16) Diese Aussage wird in seinem Buch leider nicht quantifiziert.
Wenn man in unserer Simulation den Aufprallwinkel auf 10 Grad verkleinert fliegt der Ball nach dem Aufprall wieder vorwärts, wie es auch sein soll.
aufsetzer_mit_reibung_elastizitaet(v1, 10, 1, 0.6)
5) Ergänzende Hinweise und Problemstellungen.
a) Der Fall des beim Aufprall rollenden Balls ist in dem Buch von John Wesson auf S. 175 - 178 beschrieben. Man sollte eine entsprechende Prozedur implementieren und die Auswirkungen des Rollens analysieren.
b) Man sollte die implementierte Prozedur aufsetzer_mit_reibung_elastizitaet um eine Ausgabe der Schussweiten und Schusshöhen für den primären und sekundären Wurf ergänzen. Die vorgegebenen Parameter wie Anfangsgeschwindigkeit, Anfangswinkel, Elastizitaetszahl und Gleitreibungszahl sollten gleichfalls mit in der Tabelle ausgegeben werden.
c) Man sollte in einer geeigneten als Prozedur ausgeführte Programmierlösung die Auswirkungen von Änderungen der vorgegebenen Anfangswerte auf Schussweiten und Schusshöhen für die primären und sekundären Bahnen berechnen und tabellarisch ausgeben.
d) Man sollte die Bahnen der in 3) angegebenen Iterationen in einem gemeinsamen Koordinatensystem geeignet darstellen.
e) Man sollte die Ergebnisse der Berechnungen mit Ergebnissen konkreter Versuche mit verschiedenen Bällen und auf verschieden artigen Boden (Rasen, Beton,...) vergleichen und die physikalischen Voraussetzungen jeweils überprüfen.
f) Man sollte in allen dargestellten Fällen mehrfache Aufsetzer graphisch darstellen und gegebenenfalls tabellarisch auswerten.
g) Man kann die Einteilung der y-Achse fest vorgeben, um eine bessere Vergleichbarkeit der Bahnen zu erreichen.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie auf den Webseiten der MuPAD Education Group unter schule,mupad.de.
2. Ein Hinweis zu den Zusatzaufgaben: In der Materialsammlung des MuPAD wird in den Notebooks des
gleichen Autors zu Tilgungsplänen und zum Newtonverfahren dargestellt, wie man Ergebnisse mit Hilfe
von Matrizen tabellarisch darstellen kann.
3. Eine Anmerkung in eigener Sache: Bislang ist das mir vorliegende Datenmaterial in Bezug auf
Elastizitätszahlen und Gleitreibungszahlen bei verschiedenen Bällen und Bodenarten sehr dürftig.
Hinweise auf Daten bzw. deren Bezugsquellen sind daher willkommen.
4. Wikipedia entnimmt man folgende Maße eines Fußballfeldes.
"Die Länge der kurzen Seiten (Torlinie) sollte zwischen 45 und 90 Meter, die der langen Seiten
(Seitenlinie) zwischen 90 und 120 Meter betragen (üblich sind 68 auf 105 Meter).
Bei Länderspielen muss das Feld in der Länge zwischen 100 und 110 Meter,
in der Breite zwischen 64 und 75 Meter sein."
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