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Inhalt....: Der Weitschuss - ein Problem aus der Physik des Fußballs
Kategorie.: Unterrichtsmaterial
Mathematik: Physik
MuPAD.....: 4.0.0
Datum.....: 2007-05-14
Autoren...: August Barkhausen <abarkhausen@gmx.de>
Funktionen: proc, local, plot, AxesTitles, Color, solve ________________________________________________________________________________
Der Weitschuss - ein Problem aus der Physik des Fußballs
Nach dem begeisternden Vortrag von Prof. Dr. Tolan über die Physik des Fußballspiels an der Universität Paderborn am 24.05.2006 stellte sich die Frage, ob Aspekte der Fußballphysik sich mit MuPAD realisieren und im Unterricht sinnvoll verwerten lassen. Als ein realisierbares Beispiel sollen der Weitschuss mit reibungsfreiem Flug behandelt werden. In Physikbüchern wird dies Problem unter dem Stichwort schiefer Wurf nach oben behandelt.
Die Bahnen des Balls entsprechen den Bahnen des schiefen Wurfs nach oben, wenn man die Reibung nicht berücksichtigt. Wenn man den Abwurfpunkt in den Ursprung legt, ergeben sich folgende Bedingungen:
1) in horizontaler Richtung ist die Bewegung gleichförmig. Es gilt daher 
wobei x die Wurfweite in horizontaler Richtung ist, vx die Horizontalgeschwindigkeit und t die Zeit.
2) in vertikaler Richtung gilt: 
Wenn man die erste Formel nach t umstellt und das Ergebnis in die zweite Formel einsetzt, ergibt sich die Bahngleichung für den Wurf: 
Dabei ist vy die anfängliche Vertikalgeschwindigkeit vx die Horizontal- geschwindigkeit, x die in der Horizontalen zurückgelegte Strecke und g die Erdbeschleunigung. Die Berechnungen sind physikalisch sinnvoll, da die beiden Vorgänge gleichzeitig ablaufen.
Aus physikalischer Sicht sind Einheiten vorzusehen: Die Einheit aller Längen ist das Meter. Die Zeit wird in s angegeben. Geschwindigkeiten werden in Meter pro Sekunde angegeben. Beschleunigungen werden in Meter pro Sekunde zum Quadrat. In MuPAD sind Berechnungen mit Einheiten nicht möglich. Insofern sind zu Beginn Größen auf einheitliche Einheiten umzurechnen. Die Berechnungen selbst werden ohne Einheiten durchgeführt. In der Ausgabe werden die Einheiten nachträglich wieder ergänzt.
Die physikalische Bedingung für den Abschuss ist: Der Ball wird vom Erdboden aus abgeschossen. (Höhe 0 m) Aus praktischer Sicht entspricht dies dem Abschlag des Torwartes bzw. dem Freistoß. Zunächst ist die physikalische Bedingung für den Aufprall: Der Ball kommt in der Höhe 0 m auf. Dies kommt beim Abschlag und beim Freistoß oft vor.
1) Simulation des Weitschusses: Die Anzahl der Ziffern wird begrenzt.
DIGITS:= 4:
Die wesentlichen Daten zum Fussball werden initialisiert.
LaengeFussballFeld:= 105:
Torhoehe:= 2.44:
Torbreite:= 7.32:
Ballradius:= 0.22:
BreiteFussballFeld:= 68:
Der Wert für die Erdbeschleunigung wird initialisiert.
g:= 10:
Der Wert für die Anfangsgeschwindigkeit wird initialisiert. Nach Angaben von John Wesson in seinem Buch "Fussball - Wissenschaft mit Kick" wurde bei einem Elfmeterschießen eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 110 km/h gemessen. Die größte Geschwindigkeit erzielte Andreas Möller mit 130 km/h. (Bzgl der Werte siehe in dem angegebenen Buch S. 34) Die Umrechnung in m/s geschieht durch Division durch 3.6.
v1:= 110/3.6:
Der Wert für den Abschusswinkel wird initialisiert. Die Winkeleinheit ist Grad.
Winkel:= 20:
MuPAD benötigt die Winkeleinheit Bogenmaß. Insofern wird der vorgegebene Winkel in Bogenmaß umgerechnet.
Winkelbogenmass:= Winkel*PI/180:
Die Beträge der Horizontal- und Vertikalgeschwindigkeiten werden berechnet.
vx1:= v1*cos(Winkelbogenmass):
vy1:= v1*sin(Winkelbogenmass):
Die Bahngleichung der Flugbahn nach dem Aufprall wird definiert. Die Bahn wird so definiert, dass der Abschuss im Ursprung stattfindet und nach rechts geschossen wird.
Bahn1:= x -> vy1*x/vx1-1/2*g*x^2/vx1^2:
Die Nullstellen der Bahn werden berechnet. Die rechte Nullstelle ist der Anfangspunkt der zweiten Bahn, die die Flugbahn nach dem Aufprall beschreibt.
Nullstellen1:= solve(Bahn1(x)=0, x)
Die Bahngleichung der sekundären Bahn wird berechnet.
Für die Darstellung werden folgende Annahmen gewählt: 1) Der Schuss beginnt in Bodenhöhe. 2) Der Ball bleibt nach dem Aufprall liegen.
plotbahn1:= plot::Function2d(Bahn1, x=0..Nullstellen1[2]):
Der Graph wird ausgegeben.
plot(plotbahn1,
ViewingBoxXRange=0..LaengeFussballFeld,
AxesTitles=["Schussweite in m","Schusshöhe in m"])
Beim Aufruf der Prozedur Weitschüsse muss der Eingabeparameter Geschwindigkeit die Einheit Meter pro Sekunde haben.
Weitschuesse:=
proc(Geschwindigkeit,Winkel,Winkelzuwachs,maximaleWeite)
local x,links, plotbahn, rechts, v, k,alpha,Winkelbogenmass,
Bahn,Nullstellen,vx,vy,g, rechteGrenze;
begin
x:= genident("x");
rechteGrenze:=maximaleWeite:
alpha:=Winkel:
k:=0:
g:=10:
v:=Geschwindigkeit:
vkmh:=v*3.6:
while alpha < 90 do
k:=k+1:
Winkelbogenmass:=alpha*PI/180:
vx:=v*cos(Winkelbogenmass):
vy:=v*sin(Winkelbogenmass):
Bahn[k]:=x-->vy*x/vx-1/2*g*x^2/vx^2:
Nullstellen[k]:=solve(Bahn[k](x)=0,x):
rechts[k]:=float(Nullstellen[k][2]):
links[k]:=float(Nullstellen[k][1]):
plotbahn[k]:=plot::Function2d
(Bahn[k],
ViewingBoxXRange = 0..rechteGrenze,
ViewingBoxYRange =-10..50,
x = links[k]..rechts[k]
):
if rechteGrenze < LaengeFussballFeld
then
y:=float(Bahn[k](rechteGrenze)):
if rechteGrenze=11 and y < Torhoehe
then
print(Unquoted,"Tooooor");
else
print(Unquoted,"Leider ueber das Tor");
end_if;
print(Typeset,`v = `.v.` m/s bzw v = `.vkmh.`km/h alpha = `.alpha.` Grad x = `.rechteGrenze.`m y = `.y.` m`);
else
print(Typeset,`v = `.v.` m/s bzw v = `.vkmh.`km/h alpha =`.alpha.` Grad Schussweite = `.rechts[k].` m`);
end_if;
alpha:=alpha+Winkelzuwachs:
end_while:
plot(plotbahn[i] $ i=1..k, AxesTitles=["Schussweite in m","Schusshöhe in m"]);
end_proc:
Weitschuesse(110/3.6,10,20,LaengeFussballFeld)
Nun kann man noch testen, in welcher Höhe sich der Ball in einem bestimmten Abstand vom Schützen befindet. Interessant ist beispielsweise die Auftreffhöhe des Balls im Tor beim Elfmeter. In der Prozedur wurde dazu die Möglichkeit gegeben, das Koordinatensystem entsprechend verkürzt darzustellen. Wenn die vorgegebene rechte GrenzeSchussweite kleiner als die Länge eines Fussballfeldes ist, wird die Ballhöhe und die rechte Grenze zusammen mit der Abschussgeschwindigkeit und dem Abschusswinkel angegeben.
Weitschuesse(110/3.6,10,10,11)
Tooooor
Leider ueber das Tor
Leider ueber das Tor
Leider ueber das Tor
Leider ueber das Tor
Leider ueber das Tor
Leider ueber das Tor
Leider ueber das Tor
Wenn man nur einen Schuss darstellen möchte, kann man die Prozedur überlisten. Da der maximale Abschusswinkel 90 Grad beträgt braucht man nur als Winkelzuwachs den Winkel 90 Grad oder größer angeben und es wird nur der gewünschte Graph angezeigt.
Weitschuesse(110/3.6,50,90,11)
Leider ueber das Tor
Wenn man davon ausgeht, dass beim Abschlag die Anfangsgeschwindigkeit ebenfalls 110 km/h beträgt, verblüfft die große Schussweite, die in der Realität nicht erreicht wird. Ursache für Verkleinerung der Schussweiten sind Reibungskräfte durch die Luftreibung.
Nun folgt die Lösung des Problems, bei welchem Schusswinkel die Schussweite maximal ist. Die Bedingung für das Auftreffen ist: Es gibt zwei Ansätze:
1) Man führt die Lösung iterativ durch. Zu diesem Zweck ist die obige Prozedur nutzbar.
2) Man stellt die Gleichung für die Wurfweite auf und löst das zugehörige Extremwertproblem. Diese Lösung sprengt den Rahmen dieses Notebooks. Es wird die iterative Bestimmung der Wurfweite mit der Prozedur durchgeführt. Dazu wird der Winkel beginnend bei einem Grad kleinschrittig, d.h. mit Schritten von einem Grad erhöht. Die Abschussgeschwindigkeit ist in diese Situation frei wählbar. Eine Begründung für diese Annahme wird letztlich durch die analytische Lösung geliefert.
Weitschuesse(30,10,1,LaengeFussballFeld)
Aus der Wertetabelle entnimmt man, dass die maximale Schussweite bei einem Abschusswinkel von 45 Grad erreicht wird.
5) Ergänzende Hinweise und Problemstellungen.
a) Die Überprüfung, ob der Ball beim Elfmeter in das Tor gegangen ist, ist fehlerhaft und unvollständig. Man sollte den Fehler korrigieren. Die Korrektur sollte sich auf die Auftreffhöhe (Balldurchmesser nicht berücksichtigt) beziehen.
b) In diesem Notebook wird nur von einem Schuss ausgegangen, der vom Elfmeterpunkt mitten aufs Tor geht. In einem zweiten Schritt kann auch von schrägen Schüssen ausgegangen werden und es sollte dann die Torhöhe und die Torbreite berücksichtigt werden.
c) Unter welchen Bedingungen hätte Andreas Möller bei einem Abschlag von der Torauslinie das generische Tor treffen können?
d) Unter welchem maximalen Winkel darf ein durchschnittlicher Elfmeterschütze aus der ersten Liga einen Elfmeter treten, wenn der Ball noch in das Tor gehen soll?
e) Man sollte die Prozedur so manipulieren, dass die maximale Schussweite ausgelesen wird und optional auf die Ausgabe der Wertetabelle bzw. der Graphen verzichtet wird.
f) Man kann die Prozedur so manipulieren, dass beim Elfmeter nur solche Abschusswinkel berücksichtigt werden, die auch zum Torerfolg führen.
g) Man sollte in die jeweiligen Graphen ein Tor einzeichnen lassen.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anmerkungen finden Sie auf den WebSeiten der MuPAD Education Group unter http://schule.mupad.de.
2. Die Daten zur Fussballphysik wurden dem folgenden Buch entnommen:John Wesson, "Fußball - Wissenschaft mit Kick" 1. Auflage Spektrum 2006
3. Den physikalischen Hintergrund zum schiefen Wurf findet man in vielen Lehrbüchern zur Schulphysik.
4. Eine analytische Lösung des zugehörigen Maximierungsproblems ist einem anderen Notebook vorbehalten.
5. Die Fragestellungen am Ende sind bewusst offen gehalten. Insofern ist es möglich, Schüsse zu berücksichtigen, die die Breite des Tors ausnutzen.
6) Die Maße von Tor und Ball sind dem o.a. Buch von John Wesson entnommen.
7) Wikipedia entnimmt man folgende Maße eines Fußballfeldes.Die Länge der kurzen Seiten (Torlinie) sollte zwischen 45 und 90 Meter, die der langen Seiten (Seitenlinie) zwischen 90 und 120 Meter betragen (üblich sind 68 auf 105 Meter). Bei Länderspielen muss das Feld in der Länge zwischen 100 und 110 Meter, in der Breite zwischen 64 und 75 Meter sein.
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