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Inhalt....: Visualisierung der Normalverteilung
Kategorie.: Arbeitsblatt
Mathematik: Stochastik, Statistik, Programmierung
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2005-12-20
Autoren...: Kai Gehrs <gehrs@mupad.de>
Funktionen: stats::normalCDF, if, elif, else, plot::Function2d, plot::Hatch,
Funktionen: XAxisTitle, YAxisTitle, Header
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Visualisierung der Normalverteilung
In diesem Arbeitsblatt stellen wir eine Prozedur zur Verfügung, mit deren
Hilfe sich die Normalverteilung visualsieren lässt und zusätzlich die ent-
sprechenden Wahrscheinlichkeiten berechnen und visualisieren lassen.
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten kann mit Berücksichtung der so-
genannten "Stetigkeitskorrektur" (plus/minus 1/2 im Argument der zuge-
hörigen Gauß'schen Glockenkurve) oder ohne Berücksichtung der Stetig-
keitskorrektur erfolgen. Im folgenden wird davon ausgegangen, dass die
betrachtete normalverteilte Zufallsgröße sich als Approximation einer durch
eine entsprechende Binomialverteilung gegebenen Zufallsgröße ergibt.
Die folgende Prozedur NormalV kann mit 3 oder 4 Argumenten aufgerufen
werden:
erstes Argument - mu
bezeichnet den Erwartungswert einer normalverteilten
Zufallsgröße
zweites Argument - sigma
bezeichnet die Standardabweichung einer normalverteilten
Zufallsgröße
drittes Argument - Bereich
bezeichnet die Spanne für die entsprechende normal-
verteilte Zufallsgröße mit Parametern mu und sigma,
für die die Wahrscheinlichkeit betrachtet werden soll
Formal: Ist X eine normalverteilte Zufallsgröße mit
Erwartungswert mu und Standardabweichung sigma, so
werden die Werte
Bereich[1] <= X <= Bereich[2]
betrachtet
viertes Argument - opt (optional)
unterscheidet zwischen der gewählten Art der Visualisierung.
opt = Graph
grafische Darstellung der Normalverteilung in Form
der Gauß-Glocke, wobei derjenige Bereich zwischen
Funktion und x-Achse gefärbt wird, der sich in dem
angegebenen Bereich befindet (und damit der be-
rechneten Wahrscheinlichkeit entspricht)
opt = wCC
Berechnung der Wahrscheinlichkeit
P(Bereich[1] <= X <= Bereich[2])
durch die Normalverteilung (X wird als binomialverteilte
Zufallsgröße angenommen, die durch die Normalverteilung
approximiert wird) ohne Stetigkeitskorrektur
Wird die Prozedur nur mit 3 Argumenten aufgerufen, so wird die
Wahrscheinlichkeit P(Bereich[1] <= X <= Bereich[2]) durch die
Normalverteilung (X wird als binomialverteilte Zufallsgröße ange-
nommen, die durch die Normalverteilung approximiert wird) unter
zusätzlicher Verwendung der Stetigkeitskorrektur berechnet.
Der Code der Prozedur ist für den interessierten Leser entsprechend mit
Kommentaren versehen.
NormalV:= proc(mu, sigma, Bereich, opt)
local F, G, H, cdf;
begin
if args(0) = 4 and opt = Graph then
F:= plot::Function2d(1/sigma * 1/sqrt(2*PI) * exp(-(x-mu)^2/(2*sigma^2)),
x = mu-mu*2..mu+2*mu, LineWidth = 0.5,
XAxisTitle = "x", YAxisTitle = "phi(x)"):
G:= plot::Function2d(1/sigma * 1/sqrt(2*PI) * exp(-(x-mu)^2/(2*sigma^2)),
x = Bereich):
H:= plot::Hatch(G, FillPattern = Solid):
plot(F,H,Header = "Normalverteilung")
elif args(0) = 4 and opt = wCC then
return(float(int(1/sigma * 1/sqrt(2*PI) * exp(-(x-mu)^2/(2*sigma^2)),
x = Bereich[1]..Bereich[2])));
else
cdf:= float@stats::normalCDF(mu,sigma^2);
return(cdf(Bereich[2]) - cdf(Bereich[1]-1));
end_if;
end_proc:
Wir wählen im folgenden die Parameter mu = 100, sigma = 25:
mu:= 100: sigma:= 25:
Ist X eine binomialverteilte Zufallsgröße mit entsprechendem Erwartungs-
wert und entsprechender Standardabweichung, so ist die Wahrscheinlichkeit,
dass X Werte aus dem Bereich von 50 bis 85 annimmt, näherungsweise ge-
geben durch:
NormalV(mu, sigma, 50..85)
Wird die Wahrscheinlichkeit ohne Einbeziehung der Stetigkeitskorrektur
berechnet, so zeigt sich der bekannte Effekt, dass es zur Unterschätzung
der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit kommt:
NormalV(mu, sigma, 50..85, wCC)
Die so berechnete Wahrscheinlichkeit liegt etwa 0.2 Prozentpunkte unter
dem zuvor berechneten Ergebnis.
Eine entsprechende grafische Visualsierung der berechneten Wahrschein-
lichkeit erhalten wir über:
NormalV(mu, sigma, 50..85, Graph)
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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