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Inhalt....: Visualisierung der Taylorreihenentwicklung
Kategorie.: Arbeitsblatt
Mathematik: Analysis, Numerik
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2002-01-17
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: taylor, plotfunc2d, expr
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Visualisierung der Taylorreihenentwicklung
zur Approximiation von Funktionen - ...oder
eine mathematische Dia-Show mit MuPAD
Das Beispiel liefert eine graphische Interpretation der Approximation von Funktionen über
Taylorreihenentwicklungen und veranschaulicht die zunehmende Angleichung der Funktions-
graphen mit Zunahme der Ordnung.
Wir definieren zunächst eine e - Funktion:
f:= exp(x) * (x^2 - x)
Nun berechnen wir die ersten 12 Glieder der Taylorreihe von f. Dabei
wählen wir den Koordinatenursprung als Entwicklungspunkt:
t:= taylor(f, x = 0, 12)
Jetzt erzeugen wir eine "mathematische Dia-Schow" - dazu zeichnen wir
stets die Funktion f und die ersten k Glieder ihrer Taylorreihe in ein
Koordinatensystem - dabei ist die rote Funktion unsere e - Funktion
und der blaue Graph visualisiert die entsprechenden ersten k Glieder
der Taylorreihe an f.
hold(k = 2);
plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 2)) , x = -3..3,
YRange = -2..4);
hold(k = 3);
plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 3)) , x = -3..3,
YRange = -2..4);
hold(k = 4);
plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 4)) , x = -3..3,
YRange = -2..4);
hold(k = 5);
plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 5)) , x = -3..3,
YRange = -2..4);
hold(k = 6);
plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 6)) , x = -3..3,
YRange = -2..4);
hold(k = 7);
plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 7)) , x = -3..3,
YRange = -2..4);
hold(k = 8);
plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 8)) , x = -3..3,
YRange = -2..4);
hold(k = 9);
plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 9)) , x = -3..3,
YRange = -2..4);
hold(k = 10);
plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 10)) , x = -3..3,
YRange = -2..4);
hold(k = 11);
plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 11)), x = -3..3,
YRange = -2..4);
hold(k = 12);
plotfunc2d(f, expr(taylor(f, x = 0, 12)), x = -3..3,
YRange = -2..4);
Die Funktionen sind nun, außer im linken Bildrand, gar nicht mehr zu unter-
scheiden. Unsere e - Funktion ist also eine "gutmütige Funktion", die sich
durch ein Polynom sehr gut approximieren läßt.
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Anmerkungen:
1. Der obige Prozess funktionert natürlich nicht immer so gut - weist die betrachtete Funktion z.B.
Polstellen auf, so können wir kein so guten Ergebnis erwarten.
2. Nähere Information zu der MuPAD-Funktion taylor oder auch zu plotfunc2d erhält man durch
?taylor bzw. ?plotfunc2d
3. Zum Zeichen der Funktionen kann man auch plot::Function2d benutzen. Diese Funktion bietet
sich vor allem dann an, wenn man nicht nur Funktionen, sondern auch andere Objekte
(wie z.B. Zehalnefolgen) mit Funktionen in ein Koordinatensystem zeichnen möchte.
4. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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