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Inhalt....: Aufgabe aus den NRW Richtlinien
Kategorie.: Unterrichtsmaterial
Mathematik: Analysis
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2003-03-04
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: PI, solve, plot, plot::Function2d, plot::Point2d, Color, PointWidth
Funktionen: PointStyle, Circles
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Aufgabe aus den NRW-Richtlinien
Dieses Arbeitsblatt basiert auf der gleichbetitelten Einheit, die in der Reihe Mathematik-
unterricht mit Computeralgebrasystemen (CAS), Schulversuch des Landes NRW
für die gymnasiale Oberstufe, Teil 3 aus dem "Qualitätspaket Mathematik-Natur-
wissenschaften" vorgestellt wird. Es handelt sich um die Bearbeitung einer klassischen
Steckbriefaufgabe.
Unterrichtliche Voraussetzungen für die Bearbeitung der Aufgabenstellung:
Neben der Differenziation von ganzrationalen Funktionen, sollten die SchülerInnen
den elementaren Umgang mit Funktionen (Berechnen von Funktionswerten etc.)
und das Lösen von Gleichungssystemen beherrschen.
Aufgabe
Es soll eine ganzrationale Näherungsfunktion für die Kosinusfunktion entwickelt
werden:
Der Graph der Funktion
soll durch den Punkt
und durch die Nullstellen
__
der Kosinusfunktion verlaufen.
Mögliche Lösung der Aufgabe:
Zunächst wird die Funktion p(x) allgemein in MuPAD definiert:
p:= x -> a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e
Bevor wir die entsprechenden Bedingungen angeben, definieren wir eine fünf-
elementige Liste, in die wir alle folgenden fünf Bedingung aufnehmen.
Bedingungen:= [0 $ 5]:
Zunächst soll p(x) durch den Punkt mit x-Koordinate 0 und y-Koordinate 1 ver-
laufen, d.h.:
Bedingungen[1]:= p(0) = 1
Die weiteren vier Bedingungen betreffen die Nullstellen der Funktion p(x). Die
erste Nullstelle soll bei
liegen, was uns zu der Gleichung
Bedingungen[2]:= p( -(3*PI)/2 ) = 0
führt.
Analog erhalten wir für die anderen Nullstellen die folgenden Bedingungen:
Bedingungen[3]:= p( -PI/2 ) = 0
Bedingungen[4]:= p( PI/2 ) = 0
Bedingungen[5]:= p( (3*PI)/2 ) = 0
Die nun erhaltenen fünf Bedingungen führen uns also auf ein lineares Gleichungs-
system mit fünf Gleichungen in den Unbestimmten a, b, c, d und e.
Ein solches Gleichungssystem per Hand zu lösen ist wenig erfreulich und bringt
- geht man davon aus, dass der Schüler das Lösungsverfahren beherrscht - keine neuen
Einsichten. Daher bietet sich die Lösung des Systems mit einem CAS an:
solve( Bedingungen, {a, b, c, d, e} )
Das berechnete Ergebnis liefert uns also, dass p von folgender Gestalt ist:
p:= 16/(9*PI^4) * x^4 - 40/(9 * PI^2) * x^2 + 1:
Wir veranschaulichen unser Ergebnis anhand einer Grafik, indem wir sowohl
das Polynom p, als auch die Kosinusfunktion und die vorgegebenen Punkte,
durch die p verlaufen soll, in ein gemeinsames Koordinatensystem zeichnen:
p:= plot::Function2d( p, x = -2*PI..2*PI, ViewingBoxYRange = -2..2,
Color = RGB::Red ):
Kosinus:= plot::Function2d( cos(x), x = -2*PI..2*PI,
Color = RGB::Blue ):
p1:= plot::Point2d( -(3*PI)/2, 0,
Color = RGB::Green,
PointStyle = FilledCircles,
PointSize = 3*unit::mm ):
p2:= plot::Point2d( -(PI)/2, 0,
Color = RGB::Green,
PointStyle = FilledCircles,
PointSize = 3*unit::mm ):
p3:= plot::Point2d( (PI)/2, 0,
Color = RGB::Green,
PointStyle = FilledCircles,
PointSize = 3*unit::mm ):
p4:= plot::Point2d( (3*PI)/2, 0,
Color = RGB::Green,
PointStyle = FilledCircles,
PointSize = 3*unit::mm ):
p5:= plot::Point2d( 0, 1,
Color = RGB::Red,
PointStyle = FilledCircles,
PointSize = 3*unit::mm ):
plot(p, Kosinus, p1, p2, p3, p4, p5)
Anhand der Grafik kann der Schüler oder die Schülerin das Ergebnis anschau-
lich erfassen. Eine solche Darstellung eignet sich auch besonders gut, wenn
es darum geht, Musterlösungen im Unterricht zu präsentieren, da das Zeichnen
des Schaubilds an der Tafel einen erheblichen Aufwand und zeitlichen Verlust
darstellt.
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Anmerkungen:
1. Dieses Notebook basiert auf der der Reihe Mathematikunterricht mit Computeralgebra-
systemen (CAS), Schulversuch des Landes NRW für die gymnasiale Oberstufe,
Teil 3 aus dem "Qualitätspaket Mathematik-Naturwissenschaften".
2. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
3. Viele weitere praxisorientierte Aufgaben finden sich unter der Web-Adresse
http://www.learn-line.nrw.de
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