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Inhalt....: Modellierung eines Strahlers mit MuPAD
Kategorie.: Arbeitsblatt
Mathematik: Analysis, Geometrie R^3, Numerik
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2002-01-17
Autoren...: Andreas Sorgatz <Andreas.Sorgatz@sciface.com>
Funktionen: plot, plot::Function2d, plot::XRotate, int, float
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Modellierung eines Strahlers mit MuPAD
Wir wollen MuPAD dazu verwenden, einen Strahler zu modellieren. Dabei ist es unser Ziel,
das Objekt so naturgetreu wie möglich zu gestalten.
Wir verwenden für die spätere graphische Ausgabe die folgenden Vor-
einstellungen:
Kamera := CameraDirection = [-10, -60, 0]:
a := 40: b := 8/10: c := 10:
Zunächst müssen wir eine Funktion wählen, die die Seitenlinie des Glas-
körpers beschreiben kann. Diese Funktion bezeichnen wir mit Kontur:
Kontur = (K := x -> a * sqrt(x) * exp(-b*x) /
(1 + c * sqrt(x) * exp(-b*x)))
Die Funktion Kontur scheint hier geradezu "vom Himmel zu fallen". Der
Prozeß, einige Funktionen auszutesten und ihre Graphen zu prüfen,
ob sie für unsere Zwecke verwendbar sind, kann hier natürlich nicht
im Detail dargestellt werden. Wir beschränken uns daher darauf, die
von uns gewählte Funktion zu betrachten.
Ihren Graphen können wir darstellen durch:
plot(plot::Function2d(K(x), x = 0..5.4), GridVisible)
Das sieht schon recht gut aus - nun lassen wir den Graphen in dem
vorgegebenen Intervall 0..5.5 um die x-Achse rotieren. Auch solche
Rotationskörper können wir mit MuPAD darstellen. Dazu benutzen wir
die Funktion plot::XRotate aus der MuPAD plot-Bibliothek.
Glas := plot::XRotate(K(x), x = 0..5.4, Submesh = [2, 2]):
plot(Glas, Kamera)
Das Volumen dieses Rotationskörpers im Intervall 0..5.5 ist gegeben
durch das bestimmte Integral
Volumen = (V := PI * int(K(x)^2, x = 0..5.4))
Wir können das Volumen näherungsweise bestimmen durch
float(V);
Damit ist der Glaskörper des Strahlers modelliert. Nun fehlt noch
das Gewinde, mit dem man ihn in eine Fassung einschrauben kann.
Für das Gewinde wählen wir eine Sinusfunktion. Dabei erhöhen wir
die Periode der Funktion drastisch, um die wellenfrömige Seitenlinie
eines Gewindes zu simulieren:
plot(plot::Function2d(1/9*sin(22*x) + K(5.3), x=5.4..6.71))
Lassen wir auch diese Funktion um die x-Achse rotieren, so erhalten wir
folgendes Schaubild:
Gewinde := plot::XRotate(1/9*sin(22*x) + K(5.3),
x = 5.4..6.71, Submesh = [2, 2]):
plot(Gewinde, Scaling = Unconstrained, Kamera)
Abschließend benötigen wir noch den Kontakt, der unseren Strahler
beim Einschalten des Lichtschalters mit Strom versorgt. Diesen setzen
wir rechts an das Gewinde an - der Kontakt wird durch einfachere lineare
Funktionen modelliert:
plot(plot::Function2d(-6*x + 41.26, x = 6.71..6.81),
plot::Function2d(-x + 7.21, x = 6.81..7.21))
Auf den ersten Blick mögen diese beiden Funktionen recht sinnlos
erscheinen. Man darf aber an dieser Stelle nicht vergessen, dass
das Darstellungsintervall 7..7.2 verschwindend klein ist - als
Rotationskörper ergibt sich
Kontakt := plot::XRotate(-6*x + 41.26, x = 6.71..6.81),
plot::XRotate(-x + 7.21, x = 6.81..7.1):
plot(Kontakt, Kamera)
und nun setzen wir alle Objekte zusammen zu einem großen Rotationskörper:
plot(Glas, Gewinde, Kontakt, Kamera, Scaling = Unconstrained)
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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