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Inhalt....: Darstellung eines Rechteckimpulses durch Fouriereihen
Kategorie.: Unterrichtsmaterial
Mathematik: Analysis, Programmierung
MuPAD.....: 4.0.0
Datum.....: 2007-05-14
Autoren...: August Barkhausen <abarkhausen@gmx.de>
Funktionen: for, piecewise, plot, sum, delete, print, Unquoted, expr2text
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Darstellung eines Rechteckimpulses durch Fouriereihen (harmonische Synthese)
Fourierreihen kommen im klassischen Stoff der gymnasialen Oberstufe nicht vor. Insofern ist eine Rechtfertigung für die Beschäftigung mit diesem Inhalt nötig.
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1. |
Die Behandlung von Fouriereihen stellt eine sinnvolle Ergänzung der Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen dar. Andererseits ermöglicht erst die Benutzung eines Computeralgebrasystems, die Eigenschaften von Fouriereihen experimentell zu untersuchen. |
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2. |
Die technische Bedeutung der Darstellung periodischer Vorgänge insbesondere aus der Elektrotechnik und Akustik durch Fouriereihen ist hinreichend bekannt. |
Es lassen sich beispielsweise folgende Aspekte der Behandlung von Fourierreihen sinnvoll mit Hilfe eines Computeralgebrasystems darstellen:
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1. |
Die Analyse von Fourierreihen durch Annäherung elementarer Signalformen durch vorgegebene Fourreihen. (Harmonische Synthese) |
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2. |
Die Ermittlung von Fourierkoeffenzienten bei elementaren Signalformen und Kontrolle durch Vergleich der Graphen der Fourierreihe mit der zugrunde liegenden Signalform. (Harmonische Analyse) |
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3. |
Die experimentelle Erarbeitung von Auswirkungen von Symmetrien auf die Fourierkoeffenzienten |
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4. |
Die Bestimmung von parameterabhängigen Fourrierkoeffezienten bei elementaren Signalformen und Kontrolle anhand konkreter Beispiele mit MuPAD Pro. (Fortführung der harmonischen Analyse) |
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5. |
Die angenäherte Berechnung von Fourierkoeffenzienten bei empirisch gegebenen Kurven ohne bekannte Funktionsgleichung. |
In der Schule sind nur Teile der oben angegebenen Aspekte sinnvoll zu besprechen. In diesem Notebook wird ein Beispiel zu Punkt 1 dargestellt.
Periodische reellwertige integrierbare Funktionen f lassen sich durch Fourier-
Für Details siehe einschlägige Lehrbücher der Analysis, z.B. Otto Forster, Analysis 1, Vieweg Verlag.
Im folgenden soll eine periodische Rechteckfunktion mit einer vorgegebenen Fourierreihe angenähert werden. Dieser Vorgang wird als harmonische Synthese bezeichnet.
Die Funktionsvorschrift gilt dabei für alle ganzen Zahlen k.
In dem Buch "Kleine Enzyklopädie Mathematik", Harri Deutsch 1972 findet sich auf S. 515 die zugehörige Fourierreihe:
In einem ersten Schritt wird ein Ausschnitt des Graphen der Funktion für vorgegebene Werte von a und b gezeichnet.
Mit c wird die Skalierung der x-Achse beeinflusst und ende gibt die Anzahl der Summanden an. Die Parameter a und b werden auch zur Skalierung der Achsen der Koordinatensysteme benutzt, um eine dynamische Anpassung der Koordinatensysteme an die Parameter zu gewährleisten. Der Wert von a legt die Amplituden fest, während der Wert von b die Breite der Rechtecke vorgibt.
a:= 3:
b:= PI/4:
c:= 1:
ende:= 10:
Ein Ausschnitt der Funktion für die Darstellung der Rechteckimpulse wird definiert.
rechteck:= x -> piecewise([-2*PI+b<=x<-PI-b,a],
[-PI-b<=x<-PI+b,0],
[-PI+b<=x<-b,-a],
[-b<=x<b,0],
[b<=x<PI-b,a],
[PI-b<=x<PI+b,0],
[PI+b<=x<2*PI-b,-a]
):
Die Fourrierreihe wird unter Berücksichtigung der Parameter als Funktion dargestellt.
f:= x -> 4*a/PI*
(sum(cos((2*i-1)*b)/(2*i-1)*sin((2*i-1)*x),i=1..ende))
Die Graphen der Fourierreihe und der Ausgangsfunktion werden in einem gemeinsamen
Koordinatensystem dargestellt.
fgraph:= plot::Function2d(f, x=-6*c..6*c,
XTicksNumber = None,
XTicksAt = [-PI = "-PI", -PI/2 = "-PI/2",
0 = "0", PI/2 = "PI/2", PI = "PI"],
ViewingBoxYRange=-1.2*a..1.2*a,
Color=RGB::Blue):
rechteckgraph:= plot::Function2d(rechteck, x=-6*c..6*c,
ViewingBoxYRange=-1.2*a..1.2*a,
XTicksNumber = None,
XTicksAt = [-PI = "-PI", -PI/2 = "-PI/2",
0 = "0", PI/2 = "PI/2", PI = "PI"],
Color=RGB::Red):
Zunächst wird ein Ausschnitt des Graphen der Rechteckfunktion dargestellt.
plot(rechteckgraph)
Nun wird der Graph der Fourreihe gemeinsam mit dem Graphen der Rechteckfunktion dargestellt.
plot(rechteckgraph,fgraph)
Offensichtlich ergibt sich bei einer hinreichenden Anzahl von Summanden näherungsweise ein Rechteckimpuls der gewünschten Form. Nun werden die Graphen der Grundschwingung und der Oberwellen einzeln dargestellt.
i:=1:
grundschwingung:= 4*a/PI*cos((2*i-1)*b)/(2*i-1)*sin((2*i-1)*x):
grundschwingungsgraph:=
plot::Function2d(grundschwingung, x=-4*c..4*c,
XTicksNumber = None,
XTicksAt = [-PI = "-PI", -PI/2 = "-PI/2",
0 = "0", PI/2 = "PI/2", PI = "PI"],
ViewingBoxYRange=-a..a,
Color=RGB::Blue):
plot(grundschwingungsgraph)
i:=2:
ersteoberwelle:= 4*a/PI*cos((2*i-1)*b)/(2*i-1)*sin((2*i-1)*x):
ersteoberwellengraph:=
plot::Function2d(ersteoberwelle, x=-4*c..4*c,
XTicksNumber = None,
XTicksAt = [-PI = "-PI", -PI/2 = "-PI/2",
0 = "0", PI/2 = "PI/2", PI = "PI"],
ViewingBoxYRange=-a..a,
Color=RGB::Green):
plot(ersteoberwellengraph)
i:=3:
zweiteoberwelle:= 4*a/PI*cos((2*i-1)*b)/(2*i-1)*sin((2*i-1)*x):
zweiteoberwellengraph:=
plot::Function2d(zweiteoberwelle, x=-4*c..4*c,
XTicksNumber = None,
XTicksAt = [-PI = "-PI", -PI/2 = "-PI/2",
0 = "0", PI/2 = "PI/2", PI = "PI"],
ViewingBoxYRange=-a..a,
Color=RGB::Red):
plot(zweiteoberwellengraph)
i:=4:
dritteoberwelle:= 4*a/PI*cos((2*i-1)*b)/(2*i-1)*sin((2*i-1)*x):
dritteoberwellengraph:=
plot::Function2d(dritteoberwelle, x=-4*c..4*c,
XTicksNumber = None,
XTicksAt = [-PI = "-PI", -PI/2 = "-PI/2",
0 = "0", PI/2 = "PI/2", PI = "PI"],
ViewingBoxYRange=-a..a,
Color=RGB::BlueGrey):
plot(dritteoberwellengraph)
Für eine vergleichende Analyse reichen die obigen Darstellungen nicht aus. Die Graphen der Grundschwingung und der ersten drei Oberwellen werden in einem gemeinsamen Koordinatensystem dargestellt.
plot(grundschwingungsgraph, ersteoberwellengraph,
zweiteoberwellengraph, dritteoberwellengraph)
Man stellt fest, dass die Frequenzen der Oberwellen ganzzahlige Vielfache der Frequenzen der Grundschwingung darstellen. Die Amplituden der Oberwellen sind kleiner als die Amplitude der Grundschwingung. Die Amplituden der Oberwellen nehmen aber nicht in allen Fällen mit wachsender Oberwellennummer ab. Beispielsweise ist die Amplitude der dritten Oberwelle größer als die der zweiten. Die Graphen der zugehörigen Fourreihe wird zusammen mit den Rechteckimpulsen dargestellt.
ende:= 4:
delete i:
fgraph:= plot::Function2d(f, x=-6*c..6*c,
ViewingBoxYRange=-1.2*a..1.2*a,
XTicksNumber = None,
XTicksAt = [-PI = "-PI", -PI/2 = "-PI/2",
0 = "0", PI/2 = "PI/2", PI = "PI"],
Color=RGB::Blue):
plot(fgraph,rechteckgraph)
Eine erste Annäherung an die Rechteckform ist bereits erkennbar. Nun sollen die Graphen der Fourreihen für verschiedene Anzahlen von Summanden dargestellt werden. Dies geschieht mit Hilfe einer Programmierlösung.
delete i, ende:
for ende from 1 to 10 do
fgraph:=plot::Function2d(f, x=-6*c..6*c,
ViewingBoxYRange=-1.2*a..1.2*a,
XTicksNumber = None,
XTicksAt = [-PI = "-PI", -PI/2 = "-PI/2",
0 = "0", PI/2 = "PI/2", PI = "PI"],
Color=RGB::Blue):
print(Unquoted, "Für ".expr2text(ende)." Summanden");
plot(fgraph,rechteckgraph);
end_for
Für 1 Summanden
Für 2 Summanden
Für 3 Summanden
Für 4 Summanden
Für 5 Summanden
Für 6 Summanden
Für 7 Summanden
Für 8 Summanden
Für 9 Summanden
Für 10 Summanden
Und für 50 Summanden schließlich sind der Graph der Fourierreihe und der Funktionsgraph fast nicht mehr zu unterscheiden.
delete i:
ende:= 50:
fgraph:=plot::Function2d(f, x=-6*c..6*c,
ViewingBoxYRange=-1.2*a..1.2*a,
XTicksNumber = None,
XTicksAt = [-PI = "-PI", -PI/2 = "-PI/2",
0 = "0", PI/2 = "PI/2", PI = "PI"],
Color=RGB::Blue):
print(Unquoted, "Für ".expr2text(ende)." Summanden");
plot(fgraph,rechteckgraph);
Für 50 Summanden
Weitere Probleme
1) Man sollte mit verschiedenen Werte der Parameter a und b experimentieren. Welche Werte sind für a und b sinnvoll? Erklären Sie das Verhalten der Graphen der Fourierreihen und der abschnittsweise definierten Funktion für b = PI. Geben Sie für diesen Fall die Funktionsgleichung und die Fourierreihe an. Welche Auswirkungen auf den Graphen ergeben sich, wenn man für a negative Werte wählt?
2) Man sollte die Fourierkoeffezienten für konkrete Werte von a und b sowie allgemein ohne Berücksichtigung der vorgegebenen Fourierreihe bestimmen (harmonische Analyse)
3) Man sollte ähnliche Analysen für andere Signalformen beispielsweise aus der Elektrotechnik durchführen. In einschlägigen Handbüchern zur Mathematik findet sich dazu eine Fülle von Beispielen.
4) Ein wesentlich interessanteres Problem ist die harmonische Analyse, bei der die Fourierkoeffezienten erst noch bestimmt werden müssen. Als erstes Problem dieser Art bietet sich die Verifikation der Fourierkoefizienten für das vorliegende Problem an.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anmerkungen finden Sie auf den WebSeiten der MuPAD Education Group
unter http://schule.mupad.de.
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