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Inhalt....: Beispiel zur Einführung der Prduktregel
Kategorie.: Unterrichtsmaterial
Mathematik: Analysis
MuPAD.....: 4.0.0
Datum.....: 2006-10-24
Autoren...: Lutz Dallmeyer <lutzdallmeyer@foni.net>
Funktionen: ->, plotfunc2d, plot::Line2d, plot::Polygon2d
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Ein Beispiel zur Einführung der Produktregel
(Laut Lehrplan SH ist die Einführung im 11. Jahrgang vorgesehen, wenn die Problemstellung sie erfordert. Das folgende Beispiel beschreibt daher eine Extremwertaufgabe mit dieser Eigenschaft. Weiterhin lässt sich eine Verbindung zur partiellen Integration schaffen.)
"Eine besonders seltene und entsprechend begehrte Gemüsesorte hat nur eine kurze Saison von etwa 3 Wochen. Für die wenigen ersten Exemplare werden Höchstpreise gezahlt, danach sinken die Preise mit steigender Ernte, bis gegen Ende der Saison der Umsatz bei gefallenen Preisen und schnell sinkenden Erntemengen gegen Null tendiert. Ein Anbaubetrieb geht nach den Erfahrungen des Vorjahres von folgender Prognose aus:
Tag 0 5 10 15 20
Gemüseernte in t 0 15 20 15 0
Preis in 100 Euro/t 8 7 5 3 2
Für die Liquidität des Betriebes ergibt sich die wichtige Frage, mit welchem Umsatz an welchem Tag zu rechnen ist und wann dieser Umsatz am größten sein wird ( für partielle Integration: wie hoch der Umsatz insgesamt ausfallen wird ).
Modellierungen der zeitlichen Verläufe von Ernte und Preis ergeben z.B.
Ernte:= x -> -(x-10)^2/5+20
Preis:= x -> 0.0015*x^3-0.045*x^2+8
plotfunc2d(Ernte, Preis, x=0..20, Scaling=Constrained)
umsatz:= x -> Ernte(x)*Preis(x)*100
plotfunc2d(umsatz, x=0..20)
Die Zeit des höchsten Umsatzes entspricht dem Hochpunkt dieses Grafen, der Gesamtumsatz der Fläche unter ihm. Damit ist die Frage nach der Ableitung des Produktes zweier Funktionen gestellt. ( Eine Schwäche der Modellierung besteht in der Auswahl der Preisfunktion. Eine Alternative wäre, die Zeit in Wochen zu rechnen und den Preis über 3*cos(x) + 2 zu modellieren, damit die Schüler nicht einfach 2 Polynome ausmultiplizieren. Damit entfällt dann aber eine Kontrollmöglichkeit ).
Jetzt soll das zeitliche Verhalten von Ernte und Preis veranschaulicht werden
Erntevariabel:= plot::Line2d([0,0], [Ernte(k*1),0], LineWidth=2, k=0..20);
Preisvariabel:= plot::Line2d([0,0], [0,Preis(k*1)], LineWidth=2, Color=RGB::Red, k=0..20)
plot(Preisvariabel, Erntevariabel)
Beide im Zusammenhang
umsatzvariabel:= plot::Polygon2d([[0,0], [Ernte(k*1),0], [Ernte(k*1), Preis(k*1)], [0,Preis(k*1)]],
Filled=TRUE, FillPattern=Solid, FillColor=RGB::Green, k=0..20)
plot(umsatzvariabel, Erntevariabel, Preisvariabel)
Diese Animation legt Fragen in Richtung "was kommt an der Längs-/Querseite dazu bzw. fällt weg ?" nahe und damit den Übergang zu "Änderungsrate der Längsseite mal Querseite plus Änderungsrate der Querseite mal Längsseite".
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