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Inhalt....: Polynominterpolation
Kategorie.: Handwerkskasten
Mathematik: Analysis, Numerik
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2002-08-14
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: interpolate, plotfunc2d, plot, plot::Point2d, PointSize, Color
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Elementare MuPAD-Funktionen:
Polynominterpolation
Ein wichtiger Bereich in der elementaren Analysis und Numerik ist die Interpolation mittels
Polynomen. Hier wollen wir lernen, wie wir eine Menge von Punkten mit Hilfe eines Polynoms
in MuPAD interpolieren können.
In MuPAD bietet die Funktion interpolate die Möglichkeit der Polynominterpolation.
Die Funktion interpolate erhält stets drei Argumente:
1. Argument: Eine Liste der x-Koordinaten der Punkte, die interpoliert werden
sollen [x_1, x_2, . . . , x_n]
2. Argument: Eine Liste der y-Koordinaten der Punkte, die interpoliert werden
sollen [y_1,y_2, . . . , y_n]
3. Argument: Die Variable, in der das Interpolationspolynom gebildet werden
soll, z.B. x.
Ein Aufruf der Funktion interpolate ist also stets von der Form
interpolate( [x_1, x_2, . . . , x_n], [y_1,y_2, . . . , y_n], Variable ).
Als Rückgabewert erhält man ein Polynom in der angegebenen Variablen, dass die
vorgegebenen Punkte interpoliert.
Wir betrachten ein Beispiel: Gegeben seien die Punkte (1 | 3), (4 | -1), (6 | 2 )
und (7 | -2). Gesucht ist das Polynom dritten Grades (dieses ist eindeutig
bestimmt!), welches durch genau diese Punkte verläuft.
Das Polynom in x erhalten wir durch:
p:= interpolate([1, 4, 6, 7], [3, -1, 2, -2], x)
Wir prüfen nach, ob p die vorgeschriebenen Bedingungen erfüllt, d.h. ob die
obigen Punkte tatsächlich auf p liegen:
p(1) = 3, p(4) = -1, p(6) = 2, p(7) = -2
Das Polynom ist also korrekt. Wir können es mit Hilfe von plotfunc2d, ganz wie
üblich, darstellen.
plotfunc2d(p(x), x = 0..8)
Wollen wir zusätzlich unsere Punkte mit einzeichnen, so müssen wir auf die MuPAD
plot-Bibliothek zurückgreifen, die auch das Darstellen von Punkten ermöglicht.
P1:= plot::Point2d(1, 3, PointSize = 3*unit::mm, Color = RGB::Red):
P2:= plot::Point2d(4, -1, PointSize = 3*unit::mm, Color = RGB::Green):
P3:= plot::Point2d(6, 2, PointSize = 3*unit::mm, Color = RGB::Violet):
P4:= plot::Point2d(7, -2, PointSize = 3*unit::mm, Color = RGB::Cyan):
P:= plot::Function2d(expr(p), x = 0..8, Color = RGB::Blue):
plot(P, P1, P2, P3, P4):
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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