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Inhalt....: Normalverteilung
Kategorie.: Grundkurs
Mathematik: Stochastik, Statistik
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2004-03-31
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: stats::binomialPF, stats::normalCDF, float, _plus, plotfunc2d
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Normalverteilung
Dieses Arbeitsblatt ist Bestandteil des MuPAD Grundkurses.
Die Normalverteilung wird häufig zur Approximation der Binomialverteilung benutzt.
Wahrscheinlichkeiten ergeben sich in diesem Kontext stets als bestimmte Integrale
der Gaußschen Glockenkurve, die sich per Hand weder exakt noch numerisch auf
akzeptable Weise berechen lassen. Nachdem sie Integralrechnung in der Schule
eingeführt wurde, kann im Kontext der Stochastik MuPAD durchaus als Black-Box
benutzt werden, um derartig komplizierte Integrale auszuwerten. Die Schülerin bzw.
der Schüler weiß schließlich zu diesem Zeitpunkt bereits prinzipiell, was man unter
der Integration einer Funktionen versteht.
Bei gegebenem Erwartungswert und bekannter Standardabweichung interessiert
man sich in der Regel für Wahrscheinlichkeiten der Form P(X <= k ) für eine
normalverteilte Zufallsgröße X. Eine Standardaufgabe ist z.B. die folgende: Sei X
binomialverteilt mit n = 1000, p = 1/6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X
höchstens den Wert 168 annimmt? (Gesucht ist P(X <= 168))
Das Ergebnis soll exakt und mit Hilfe der Normalverteilung als Approximation für
die Binomialverteilung ermittelt werden.
Wir definieren zuerst die entsprechende Werte für n und p in MuPAD:
n:= 1000:
p:= 1/6:
Nun berechnen wir den Erwartungswert und die Standardabweichung von X:
EW:= n * p
STD:= sqrt(n * p * (1-p))
Schließlich definieren wir diejenige Variante der Gaußschen Glockenkurve in
MuPAD, die uns eine Approximation der binomialverteilten Zufallsgröße X.
gauss:= 1/STD * 1/(sqrt(2*PI)) * exp(-1/2 * ((x-EW)/STD)^2)
...und berechnen die Wahrscheinlichkeit über das entsprechende Integral.
float( int( gauss, x = -infinity..168) )
Das exakte Ergebnis - mit Hilfe der Binomialverteilung berechnet - lautet:
float( _plus( stats::binomialPF(n, p)(k) $ k = 0..168 ))
Man sieht sehr schön das bekannte Phänomen: Die Normalverteilung tendiert
zur Unterschätzung von Wahrscheinlichkeiten. In der Regel verwendet man daher
in der Praxis die sogenannte "Stetigkeitskorrektur", die wir in unserer Formel nicht
eingearbeitet haben.
Wie auch die Binomialverteilung ist die Normalverteilung in der Statistik-Bibliothek
in MuPAD bereits vordefiniert. Die dort verfügbare Variante enthält die ange-
sprochene Stetigkeitskorrektur und unterschätzt - wie wir unten sehen - die tat-
sächliche (exakte) Binomialwahrscheinlichkeit viel weniger:
N:= stats::normalCDF(500/3, 625/9):
float( N(168) )
Erst in der dritten Nachkommastelle sieht man wieder das Phänomen der Unter-
schätzung des tatsächlichen Ergebnisses. Zur Ausrufsyntax von stats::normalCDF
bemerken wir noch, dass der erste Paramter 500/3 der Erwartungswert (hier also
n * p) sowie der zweite Parameter die Varianz (hier also n * p * (1-p)) - und nicht
etwa die Standardabweichung - ist.
Angenehm ist in diesem Kontext auch die Tatsache, dass man Verteilungs-
funktionen aus der Statistik-Bibliothek mit Hilfe von "plotfunc2d" wie gewöhnliche
Funktionen darstellen kann. Am Beispiel unserer Normalverteilung von oben
erhalten wir:
plotfunc2d(N(x), x = 0..300)
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Übungen:
1. Sei X (wie oben) binomialverteilt mit n = 2000, p = 3/7. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
__X höchstens den Wert 855 annimmt? (Gesucht ist P(X <= 855))
__Das Ergebnis soll exakt und mit Hilfe der Normalverteilung als Approximation für die Binomial-
__verteilung ermittelt werden. Gehen Sie analog zu den obigen Berechnungen vor.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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