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Inhalt....: Der Münzwurf und das Schwache Gesetz der großen Zahl
Kategorie.: Arbeitsblatt
Mathematik: Stochastik, Statistik
MuPAD.....: 3.1.1
Datum.....: 2005-06-24
Autoren...: Susanne Koch <skoch@math.uni-goettingen.de>
Autoren...: Anke Kusterer <kusterer@math.uni-goettingen.de>
Autoren...: Anna Lena Stahr <annalena.stahr@web.de>
Funktionen: combinat::cartesianProduct::list, binomial, ceil, trunc, union
Funktionen: plot::Polygon2d
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Der Münzwurf und das
Schwache Gesetz der großen Zahl
Dieses Notebook ist als Erweiterung zu den Notebooks
Würfelsimulation und relative Häufigkeit und Analyse von Würfelexperimenten
aus dem Handwerkskasten zu verstehen. Wir wollen das Schwache Gesetz der
großen Zahl anhand des Münzwurfexperiments studieren. Dazu werden wir uns
eingehender mit dem Wahrscheinlichkeitsraum für den n-fachen Münzwurf
beschäftigen, d.h. wir werden uns überlegen, welche Ergebnisse bei diesem
Zufallsexperiment mit jeweils welcher Wahrscheinlichkeit auftreten können.
Bereits im Notebook Würfelsimulation und relative Häufigkeit wurde
folgender grundlegende Satz der Stochastik zitiert:
Satz:
Mit zunehmender Versuchsanzahl stabilisiert sich in einem
Laplace-Experiment die relative Häufigkeit des betrachteten
Ereignisses um einen festen Wert, seine Wahrscheinlichkeit.
Dabei zeichnen sich Laplace-Experimente genau dadaurch aus, dass
jeder mögliche Versuchsausgang mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
eintritt. Als Beispiele seien zunächst der einfache Wurf mit einem fairen
Würfel oder mit einer fairen Münze genannt. Oben zitierter Satz ist ein
Spezialfall des sogenannten Schwachen Gesetzes der großen Zahl, eines
der wichtigsten Sätze in der elementaren Wahrscheinlichkeitstheorie.
Im Folgenden wollen wir uns auf Münzwurfexperimente konzentrieren: Wird
die Münze nur einmal geworfen, so kann man sich für die Ereignisse "Es
fällt Zahl" oder "Es fällt Wappen" interessieren (für Fußballspieler
beispielsweise ist dieses Experiment relevant; bestimmt der Ausgang doch
darüber, welches Team in der ersten Halbzeit den Anstoß hat). Im Fall einer
fairen Münze sind diese beiden Ereignisse gleichwahrscheinlich, sie treten
jeweils mit Wahrscheinlichkeit 1/2 ein. Daher werden wir uns im Folgenden
auf die Betrachtung eines dieser beiden Ereignisse, nämlich auf "Es fällt
Wappen", beschränken. Für diesen Spezialfall können wir den Satz also wie
folgt formulieren:
Folgerung:
Mit zunehmender Anzahl an Münzwürfen stabilisiert sich die
relative Häufigkeit des Auftretens von Wappen um den Wert 1/2.
In den Notebooks Würfelsimulation und relative Häufigkeit und Analyse
von Würfelexperimenten wurde jeweils anhand des Würfelwurfes (!)
untersucht, wie sich die relative Häufigkeit des Auftretens einer bestimmten
Augenzahl für eine - von MuPAD zufällig generierte - Folge von n
Würfelwürfen der Wahrscheinlichkeit 1/6 annähert, wenn n wächst.
Analog könnte man mit vergleichbaren Prozeduren untersuchen, wie sich die
relative Häufigkeit des Auftretens von Wappen für eine - von MuPAD zufällig
generierte - Folge von Münzwürfen der Wahrscheinlichkeit 1/2 annähert.
Dabei würde man vor allem folgende Beobachtung machen können:
Es gibt Wurffolgen, bei denen sich die relative Häufigkeit des Auftretens von
Wappen nicht um den Wert 1/2 stabilisiert. Im Fall von Versuchsausgängen
der Bauart (Zahl, Zahl, Zahl, Zahl, ....., Zahl, Zahl) beispielsweise ist die
relative Häufigkeit des Auftretens von Wappen immer 0, unabhängig davon,
wie oft hier genau Zahl geworfen wurde.
Wieso ist dann der oben zitierte Satz bzw. seine Folgerung dennoch
richtig?
Wir müssen uns Gedanken darüber machen, was unter dem Begriff
"stabilisieren" genau zu verstehen ist. Denn offensichtlich hängt die relative
Häufigkeit des Auftretens von Wappen nach n Würfen ja ganz entscheidend
von den bis dahin gefallenen Würfen ab, sie ist nicht für alle Wurffolgen
gleich! Unser Ziel wird es daher zunächst einmal sein, uns zu überlegen,
(1.) welche möglichen Ergebnisse nach n Münzwürfen auftreten können
und
(2.) welche Wahrscheinlichkeiten sie jeweils haben.
(Dies kommt der Bestimmung des Wahrscheinlichkeitsraumes für den
n-fachen Münzwurf gleich.)
Wir fangen mit dem einfachen Fall n=2 an: Besteht das Zufallsexperiment im
zweifachen Werfen einer fairen Münze, so sind folgende Versuchsausgänge
möglich:
1. Wurf Zahl, 2. Wurf Zahl
1. Wurf Zahl, 2. Wurf Wappen
1. Wurf Wappen, 2. Wurf Zahl
1. Wurf Wappen, 2. Wurf Wappen
Der Fairness der Münze entsprechend ist jedes Ergebnis
gleichwahrscheinlich, d.h. jede dieser vier Möglichkeiten tritt mit
Wahrscheinlichkeit 1/4 ein. (Auch der zweifache Münzwurf ist also ein
Laplace-Experiment.)
Analog überlegt man sich nun, dass im Fall der n-fachen Wiederholung des
Münzwurfes (hierbei sei n eine beliebige natürliche Zahl) genau 2n
verschiedene Versuchsausgänge möglich sind: Jeder Ausgang kann
durch eine Folge von n Symbolen, wobei jedes dieser Symbole entweder
W (für Wappen) oder Z (für Zahl) ist, angegeben werden. Demnach steht die
Liste [W,W,Z,Z,W] für einen fünffachen Münzwurf, in dem zunächst zweimal
Wappen, dann zweimal Zahl und dann noch einmal Wappen gefallen ist.
Der Fairness der Münze entsprechend tritt jede der 2n Folgen mit
der Wahrscheinlichkeit 1/2n auf. (Für jedes natürliche n ist also der n-fache
Münzwurf ein Laplace-Experiment!)
MuPAD bietet eine komfortable Möglichkeit, alle Ausgänge des n-fachen
Münzwurfexperimentes zu erhalten: Dazu greifen wir auf die MuPAD-Bibliothek
combinat::cartesianProduct zurück. Die Methode list gibt uns nämlich gerade
eine Liste aller möglichen Ausgänge des n-fachen Münzwurfes, sofern wir sie
auf das n-fache kartesische Produkt der Menge {0,1} anwenden. Um n - die
Anzahl der Wiederholungen des einfachen Münzwurfes - nicht festlegen zu
müssen, schreiben wir die kurze Prozedur Ausgaenge, die diese Anzahl n als
Argument übergeben bekommt:
Ausgaenge:=proc(n)
begin
combinat::cartesianProduct::list({W,Z} $ n)
end_proc:
Wie oben schon dargelegt, bekommt man für den zweifachen Münzwurf
dann also die folgenden vier Ausgänge:
Ausgaenge(2)
Für den fünffachen Münzwurf sind unseren obigen Überlegungen
entsprechend bereits 32=25 Ausgänge möglich. Jeder tritt mit
Wahrscheinlichkeit 1/25 ein. Im Einzelnen sind es die folgenden:
Ausgaenge(5)
Um die Aussage der oben formulierten Folgerung zu verstehen, wollen wir uns
nun ein symmetrisches Intervall Int_a:=[1/2-a,1/2+a] der Länge 2a um den
Wert 1/2 (das ist gerade die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von Wappen
im einfachen Münzwurf!) vorgeben und uns überlegen, für welche der 2n
möglichen Versuchsausgänge im n-fachen Münzwurfexperiment die relative
Häufigkeit von Wappen nicht in diesem Intervall Int_a liegt; derartige
Versuchsausgänge wollen wir zukünftig als Ausnahmefolgen (der Länge n)
bezeichnen. Anders ausgedrückt lautet unsere zu beantwortende Frage also
wie folgt:
Frage:
Wie groß ist für fest vorgegebene Werte von n und a die Anzahl der
Ausnahmefolgen?
Wir müssen zunächst ein bisschen rechnen: Für einen beliebigen, aber fest
gewählten Versuchsausgang L des n-fachen Münzwurfexperiments sei k(L)
die Anzahl von Wappen. Dann ist L eine Ausnahmefolge, wenn k(L)/n nicht zu
Int_a gehört, also |k(L)/n-1/2| >a ist. Dies ist aber genau dann der Fall, wenn
entweder
(a) k(L)<(1/2-a)*n oder
(b) k(L)>(1/2+a)*n
ist. Selbstverständlich ist k(L) mindestens 0 und höchstens n. Damit gibt es
zwei Sorten von Ausnahmefolgen: Zum einen die, in denen die Gesamtzahl
k(L) von Wappen zwischen 0 und (1/2-a)*n liegt (dabei darf der größere Wert
gemäß (a) nicht angenommen werden) - hier hat man sozusagen "zu wenig
Wappen" - und zum anderen die, in denen die Gesamtzahl k(L) von Wappen
zwischen (1/2+a)*n und n liegt (hierbei darf der kleinere Wert gemäß (b) nicht
angenommen werden) - hier hat man sozusagen "zu viel Wappen".
Auf der Grundlage dieser Überlegung schreiben wir jetzt eine Prozedur
anz_wappen_in_ausnahmefolgen, die uns - in Abhängigkeit der Argumente n
und a - berechnet, für welche Gesamtanzahlen k(L) von Wappen ein
Versuchsausgang L eine Ausnahmefolge der Länge n im oben definierten
Sinne ist: Der Rückgabewert der Prozedur ist also die Vereinigung der beiden
eben beschriebenen Mengen. Um den Forderungen (a) und (b) gerecht zu
werden, verwenden wir die MuPAD-eigenen Funktionen ceil (zum Aufrunden)
und trunc (zum Abrunden).
anz_wappen_in_ausnahmefolgen:=proc(n,a)
local i,j,A1,A2;
begin
A1:={i $ i=0..ceil((1/2-a)*n)-1}; // "zu wenig Wappen"
A2:={j $ j=trunc((a+1/2)*n)+1..n};// "zu viel Wappen"
return(A1 union A2)
end_proc:
Nehmen wir uns nun den fünffachen Münzwurf vor, so liegt die relative
Häufigkeit von Wappen in einer Wurffolge also außerhalb des Intervalls
[1/4,3/4], falls...
anz_wappen_in_ausnahmefolgen(5,1/4)
... die Wurffolge 0,1,4 oder 5 Wappen enthält.
Beim zehnfachen Münzwurf liegt die relative Häufigkeit von Wappen in einer
Wurffolge außerhalb des Intervalls [1/4,3/4], falls
anz_wappen_in_ausnahmefolgen(10,1/4)
... die Wurffolge 0,1,2,8,9 oder 10 Wappen enthält.
Es ist zu erwarten, dass die Anzahl der Ausnahmefolgen wächst, wenn wir
dieIntervalllänge verringern. So liegt zum Beispiel die relative Häufigkeit von
Wappen in einer Wurffolge außerhalb des kürzeren Intervalls [3/8,5/8], falls...
anz_wappen_in_ausnahmefolgen(10,1/8)
.. die Wurffolge nicht 4,5, oder 6 Wappen enthält.
Bezeichnet man alle Versuchsfolgen, für die die relative Häufigkeit von
Wappen nicht genau 1/2 ist, als Ausnahmefolgen (dies entspricht dem Fall
a=0), so sind dies natürlich genau alle diejenigen Folgen, in denen nicht
genau fünfmal Wappen fällt:
anz_wappen_in_ausnahmefolgen(10,0)
Halten wir fest: Für festes n ist die Anzahl der Ausnahmefolgen umso
größer, je kleiner a ist.
Die Antwort auf die oben gestellte Frage steht aber nach wie vor aus: Dort
hatten wir gefragt, wie groß für fest vorgegebene Werte von n und a die
Anzahl der Ausnahmefolgen ist?
Dazu überlegen wir uns folgendes: Die Ausnahmefolgen sind ja gerade
diejenigen Versuchsfolgen, in denen die absolute Anzahl von Wappen der
Menge anz_wappen_in_ausnahmefolgen(n,a) entstammt.
Nun gibt es 
Möglichkeiten, k Wappen in einer Wurffolge von n Münzwürfen
zu platzieren. (Um diesen Ausdruck zu berechnen, stellt MuPAD die Funktion
binomial(n,k) zur Verfügung.) Also brauchen wir nur die Anzahlen 
aufzusummieren, wobei wir k durch die Menge
anz_wappen_in_ausnahmefolgen(n,a) laufen lassen müssen.
Dies geschieht in der nachfolgenden Prozedur anz_ausnahmefolgen, die
als Argumente wieder die Versuchsanzahl n und die halbe Intervalllänge a
übergeben bekommt. Ihr Rückgabewert ist die gesuchte Anzahl von
Ausnahmefolgen der Länge n, also die Anzahl von Versuchsfolgen, in
denen die relative Häufigkeit von Wappen nicht im Intervall [1/2-a,1/2+a]
liegt.
anz_ausnahmefolgen:=proc(n,a)
local b,k;
begin
b:=_plus(binomial(n,k) $ k in anz_wappen_in_ausnahmefolgen(n,a));
return(b)
end_proc:
Für die obigen Beispiele erhalten wir für die Anzahlen der Ausnahmefolgen also
folgende Werte:
anz_ausnahmefolgen(5,1/4)
anz_ausnahmefolgen(10,1/4);
anz_ausnahmefolgen(10,1/8);
anz_ausnahmefolgen(10,0)
Nun wollen wir als nächstes den relativen Anteil an Ausnahmefolgen im
n-fachen Münzwurf bestimmen: Dazu müssen wir anz_ausnahmefolgen(n,a)
nur noch durch die Gesamtanzahl aller möglichen Versuchsfolgen, also 2n,
dividieren: Dies geschieht in der nachfolgenden Prozedur
rel_anteil_ausnahmefolgen:
rel_anteil_ausnahmefolgen:=proc(n,a)
begin
return(anz_ausnahmefolgen(n,a)/2^n)
end_proc:
Für die obigen Beispiele erhalten wir dann für die relativen Anteile der
Ausnahmefolgen folgende Werte:
rel_anteil_ausnahmefolgen(5,1/4)
rel_anteil_ausnahmefolgen(10,1/4);
rel_anteil_ausnahmefolgen(10,1/8);
rel_anteil_ausnahmefolgen(10,0);
Besonders spannend, ist es nun, für ein fest vorgegebenes Intervall um den
Wert 1/2 (d.h. ein festes a) und größer werdende Versuchsanzahlen n die
Entwicklung des relativen Anteils von Ausnahmefolgen zu betrachten.
Auch hierzu schreiben wir wieder eine Prozedur, die im Wesentlichen auf die
Prozedur rel_anteil_ausnahmefolgen zurückgreift. Als Argumente übergeben
wir hier
(a) eine maximale Versuchsanzahl m; die Prozedur
rel_anteil_ausnahmefolgen wird für alle Versuchsanzahlen n kleiner
oder gleich m aufgerufen werden.
(b) die halbe Intervalllänge a (wie oben).
Die Prozedur gibt eine Grafik aus, die für jede Anzahl von
Versuchswiederholungen kleiner oder gleich m anzeigt, wie groß der relative
Anteil an Ausnahmefolgen der Länge n ist.
entwicklung:=proc(m,a)
local i,L,j,g;
begin
for i from 1 to m do
L[i]:=rel_anteil_ausnahmefolgen(i,a)
end_for;
g:=plot::Polygon2d([[i,L[i]] $ i=1..m],
XAxisTitle="Anzahl der Würfe",
XAxisTitleAlignment=Begin,
XTicksNumber=None, XTicksAt=[5*i $ i=1..m/5],
XTicksLabelStyle=Vertical,
YAxisTitle="",
YTicksNumber=None,YTicksAt=[j/5 $ j=0..5],
Header="
Aufgetragen ist hier der relative Anteil von
Versuchsfolgen im n-fachen Münzwurf, bei denen
die relative Häufigkeit von Wappen außerhalb des
Intervalls ".expr2text([1/2-a,1/2+a])." liegt, gegen n.");
plot(plot::Canvas(g, Height=120, Width=200));
end_proc:
Betrachten wir nun einmal für verschiedene Werte von a, d.h. für
verschiedene Intervalllängen um den Wert 1/2, die Entwicklung des relativen
Anteils von Ausnahmefolgen:
entwicklung(100,1/4)
Hier erkennt man deutlich, dass der Anteil der Ausnahmefolgen mit
wachsender Versuchsanzahl sehr schnell abnimmt (auch wenn er
zwischendurch immer wieder kurz ansteigt - man erkläre sich dieses
Phänomen!!). Das heißt im Umkehrschluss, dass der Anteil derjenigen
Versuchsfolgen, bei denen die relative Häufigkeit von Wappen im Intervall
[1/4,3/4] liegt, sehr schnell gegen 1 geht - dass also, je öfter man den
Münzwurf wiederholt, für "fast alle" möglichen Versuchsausgänge dieses
Mehrfachexperiments die relative Häufigkeit von Wappen höchstens um 1/4
von der Wahrscheinlichkeit 1/2, im einfachen Experiment Wappen zu werfen,
abweicht. Verkleinert man die Länge des erlaubten Intervalls, so ist diese
Entwicklung nach wie vor zu erkennen, sie verläuft aber nicht mehr ganz so
schnell:
entwicklung(100,1/8)
Für noch kleineres a erhält man beispielsweise folgendes Bild:
entwicklung(100,1/50)
Ein Grenzübergang gegen 0 ist hier bei Versuchsanzahl 100 noch nicht
auszumachen. Erhöhen wir also einmal die maximal auszuwertende
Versuchsanzahl für den gleichen Wert von a:
entwicklung(400,1/50)
Es lässt sich erahnen, dass man für eine derart kleine Intervalllänge um den
Wert 1/2 die Versuchsanzahl noch weiter erhöhen muss, um mit dem
relativen Anteil von Ausnahmefolgen nahe an 0 zu kommen. Da die Prozedur
entwicklung jedoch sehr rechenintensiv ist und wir die Tatsache, dass der
relative Anteil der Ausnahmefolgen - bis auf die Sprünge - tendenziell
abnimmt, aufgrund der bisherigen Beobachtungen nicht anzweifeln, schreiben
wir noch eine Prozedur entwicklung_grob, die im Wesentlichen das Gleiche
leistet wie die Prozedur entwicklung, in der jedoch nur diejenigen
Versuchsfolgen ausgewertet werden, in denen die Anzahl der Würfe ein
Vielfaches von einem weiteren Argument k ist:
entwicklung_grob:=proc(m,a,k)
local i,L,j,h;
begin
for i from 1 to m/k do
L[i]:=rel_anteil_ausnahmefolgen(k*i,a)
end_for;
h:=plot::Polygon2d([[k*i,L[i]] $ i=1..m/k],
XAxisTitle="Anzahl der Würfe",
XAxisTitleAlignment=Begin,
XTicksNumber=None,XTicksAt=[k*i $ i=1..m/k],
XTicksLabelStyle=Vertical,
YAxisTitle="",
YTicksNumber=None,
YTicksAt=[j/5 $ j=0..5],
Header="
Aufgetragen ist hier der relative Anteil von
Versuchsfolgen im n-fachen Münzwurf, bei denen
die relative Häufigkeit von Wappen außerhalb des
Intervalls ".expr2text([1/2-a,1/2+a])." liegt, gegen n.");
plot(plot::Canvas(h, Height=120, Width=200));
end_proc:
In 10er-Schritten sieht die Grafik für a=1/50 und maximale Versuchsanzahl von
800 dann wie folgt aus:
entwicklung_grob(800,1/50,10)
Um den Grenzübergang gegen 0 noch besser zu erkennen, erhöhen wir die
maximale Versuchsanzahl und die Schrittweite noch weiter:
entwicklung_grob(2000,1/50,50)
Aus den vorangegangenen Grafiken kann man sehr schön ablesen, dass
der relative Anteil von Ausnahmefolgen der Länge n für die von uns
gewählten Werte von a mit steigendem n (tendenziell, d.h. bis auf die
Sprünge) abnimmt, umgekehrt also der relative Anteil von
Versuchsfolgen, für die sich die relative Häufigkeit von Wappen in
einem 2a-Intervall um die Wahrscheinlichkeit 1/2 eines Wappenwurfes
befindet, immer mehr dem Wert 1 annähert. Und genau in diesem Sinne
ist die oben angegebene Folgerung zu verstehen: Dass sich, wie dort
formuliert, die relative Häufigkeit des Auftretens von Wappen mit
zunehmender Anzahl von Münzwürfen um den Wert 1/2 stabilisiert, heißt
nicht, dass für jede denkbare Folge von n Münzwürfen die relative Häufigkeit
von Wappen für große n sehr nahe bei 1/2 liegt, sondern nur, dass der Anteil
der Folgen, für die das nicht so ist, mit steigender Versuchsanzahl, bezogen
auf die Gesamtanzahl möglicher Versuchsfolgen, immer kleiner wird.
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Aufgaben:
1. Betrachten Sie die Grafik zu entwicklung(100,0) und erklären Sie deren Verlauf.
2. Schreiben Sie entsprechende Prozduren für den Wurf eines fairen Würfels und die Ereignisse
(a) "Es fällt eine 1."
(b) "Es fällt eine gerade Zahl."
(c) "Es fällt mindestens eine 5."
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Anmerkungen:
1. Für die wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen sei beispielweise auf das Buch "Einführung in
die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik" von Dehling, H. & Haupt, B., Springer-Verlag
Berlin Heidelberg 2003, verwiesen.
2. Weitere Anregungen zum Einsatz von MuPAD in der Lehre finden Sie auf unserem WebPortal
MuPAD in Schule und Studium unter: http://schule.mupad.de bzw. http://studium.mupad.de.
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