________________________________________________________________________________
Inhalt....: Darstellung iterierter Funktionen
Kategorie.: Arbeitsblatt
Mathematik: Analysis, Numerik
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2003-06-23
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: plot, plot::Function2d, plot::line
________________________________________________________________________________
Darstellung iterierter Funktionen
Iterationsverfahren spielen nicht nur in der Numerik, sondern auch in der Analysis eine wichtige
Rolle. In diesem Arbeitsblatt wird eine Prozedur vorgestellt, die es erlaubt, die Iteration von
Funktionen zu visualisieren. Dank gebührt an dieser Stelle OStR Stephan Neuhann vom
städtischen Gymnasium in Wermelskirchen, der eine Vorlage für dieses Arbeitsblatt
lieferte.
In diesem Arbeitsblatt lernen wir eine Prozedur kennen, die es erlaubt iterierte
Funktionen darzustellen: Wir wählen als Startpunkt eine reelle Zahl x0 und eine
Funktionsgleichung f(x).
Dann betrachten wir die Folge der reellen Zahlen f(x0), f(f(x0)), f(f(f(x0)))
etc. und versuchen über grafische Visualisierung des Verfahrens etwas über ein
mögliches Konvergenzverhalten der Iteration herauszufinden.
Ein solches Iterationsverfahren, bei dem man eine Funktion wieder und wieder
auf "sich selbst" anwendet, kann man grafisch recht gut wie folgt visualisieren:
Man zeichnet die Winkelhalbierende y = x zusammen mit der Funktion f in
ein gemeinsames Koordinatensystem. Die Iteration startet an der Stelle x0.
Der erste Wert der Folge, die wir berechnen, ist dann f(x0). Um diesen Schritt
zu visualisieren, zeichnen wir eine senkrechte Linie vom Startpunkt (x0|x0) zum
Punkt (x0|f(x0)). Im nächsten Schritt berechnen wir f(f(x0)) und interpre-
tieren damit den zuletzt berechneten Funktionswert f(x0) wieder als Argument,
auf das wir f erneut anwenden. Zur Visualisierung zeichnen wir daher zunächst
eine waagerechte Linie vom Punkt (x0|f(x0)) hin zum Punkt (f(x0)|f(x0)).
Letzterer Punkt liegt dann genau auf der Winkelhalbierenden y = x.
Von dort aus können wir dann wieder eine waagerechte Linie hin zum Punkt
(f(x0)|f(f(x0))) zeichnen. Bei allen weiteren Iterationsschritten verfahren
wir analog, so dass sich Bilder der folgenden Gestalt ergeben:
Im obigen Bild sieht man schön: Der "Fixpunkt", auf den die dargestellte
Iteration hinauszulaufen scheint, ist genau der Schnittpunkt zwischen der
in blauer Farbe dargestellten Funktion und der in grüner Farbe darge-
stellten Winkelhalbierenden y = x.
Nun zu der Prozedur, die solche Darstellungen für uns anfertigen wird:
Sie ist in der MuPAD plot-Bibliothek enthalten und heißt plot::Iteration.
Sie erhält standardmäßig vier Argumente:
f: Die zu iterierende Funktion f.
Startpunkt: Der Startpunkt für die Iteration.
n: Die Anzahl von Iterationsschritten.
Intervall: Das Darstellungsintervall für die Funktion f.
Mit Hilfe des folgenden Aufrufs können wir dann das Bild erzeugen, das
wir schon oben gesehen haben:
Winkelhalbierende:= plot::Function2d(x, x = 0..1, Color = RGB::DarkGreen):
Funktion:= plot::Function2d(3 * x * (1 - x), x = 0..1):
Iteration:= plot::Iteration(3 * x * (1 - x), 0.2, 20, x = 0..1):
plot(Winkelhalbierende, Funktion, Iteration)
Wir erhöhen die Anzahl der Iterationsschritte auf 50:
Iteration:= plot::Iteration(3 * x * (1 - x), 0.2, 50, x = 0..1):
plot(Winkelhalbierende, Funktion, Iteration)
Ebenso können wir natürlich auch den Startpunkt modifizieren:
Iteration:= plot::Iteration(3 * x * (1 - x), 0.8, 50, x = 0..1):
plot(Winkelhalbierende, Funktion, Iteration)
Wie wir sehen, scheint eine Veränderung des Startpunktes wenig Einfluss
auf das endgültige Verhalten der Iteration zu haben. Auch wenn wir 0.8 als
Startpunkt wählen, bewegt sich die Iteration auf den gleichen Fixpunkt zu.
Wir betrachten daher zum Abschluss noch eine andere Funktion, die Funktion
f(x) = 2 * sin(x). Als Startpunkt für unsere Iteration wählen wir die Stelle x0 =
0.5 und die Anzahl von Iterationen setzen wir auf den Wert n = 30. Als Dar-
stellungsintervall wählen wir 0..PI:
Winkelhalbierende:= plot::Function2d(x, x = 0..PI, Color = RGB::DarkGreen):
Funktion:= plot::Function2d(2 * sin(x), x = 0..PI):
Iteration:= plot::Iteration(2 * sin(x), 0.5, 30, x = 0..PI):
plot(Winkelhalbierende, Funktion, Iteration)
Wie auf einer unsichtbaren Treppe bewegen sich die Werte der Iteration
auf den Schnittpunkt zwischen f(x) = 2 * sin(x) und der Ursprungsgerade
y = x zu. Wir erhöhen den Faktor vor sin(x) von 2 auf 3:
Funktion:= plot::Function2d(3 * sin(x), x = 0..PI):
Iteration:= plot::Iteration(3 * sin(x), 0.5, 30, x = 0..PI):
plot(Winkelhalbierende, Funktion, Iteration)
In diesem Fall scheint sich unsere Iteration jedoch ganz und gar nicht um
einen festen Wert stabilisieren zu wollen. Wir erhöhen die Anzahl von
Iterationsschritten von 30 auf 100:
Iteration:= plot::Iteration(3 * sin(x), 0.5, 100, x = 0..PI):
plot(Winkelhalbierende, Funktion, Iteration)
und von 100 auf 250:
Iteration:= plot::Iteration(3 * sin(x), 0.5, 250, x = 0..PI):
plot(Winkelhalbierende, Funktion, Iteration)
Mit zunehmender Anzahl von Iterationsschritten scheint sich doch allmählig
das "Spinnennetz der Iteration" enger um den Schnittpunkt zwischen der
Funktion f(x) = 3 * sin(x) und der Winkelhalbierenden zu wickeln.
Der Grafik ist jedoch nicht wirklich anzusehen, ob die Iteration gegen einen
festen Wert konvergiert.
Eine Möglichkeit, wie man genauer beurteilen kann, ob das Verfahren kon-
vergiert, besteht einfach darin, den Startpunkt näher bei dem Punkt zu wählen,
von dem glauben, dass er ein Fixpunkt der Iteration sein könnte. Wir vermuten,
dass sich die berechneten Werte dem Schnittpunkt zwischen 3 * sin(x)
und der Winkelhalbierenden nähern. An der Grafik lesen wir ab, dass dieser
Punkt eine x-Koordinate von ungefähr 2.5 hat. Wir wählen also als Startpunkt
2.1 und verringern die Anzahl von Iterationsschritten zunächst wieder auf 30:
Iteration:= plot::Iteration(3 * sin(x), 2.1, 30, x = 0..PI):
plot(Winkelhalbierende, Funktion, Iteration)
Verwenden wir wieder 100 Iterationsschritte, so erhalten wir praktisch die
gleiche Grafik wie oben:
Iteration:= plot::Iteration(3 * sin(x), 2.1, 100, x = 0..PI):
plot(Winkelhalbierende, Funktion, Iteration)
Es scheint also so zu sein, dass sich die während der Iteration berechneten
Werte doch sehr stark vom gewählten Startpunkt x0 = 2.1 entfernen. Dies
ist ein Indiz dafür, dass die Iteration nicht gegen einen Fixpunkt zu konvergieren
scheint.
________________________________________________________________________________
Anmerkungen:
1. Wir danken OStR Stephan Neuhann vom städtischen Gymnasium in Wermelskirchen
für die Anregungen zu diesem Notebook.
2. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
_______________________________________________________________________________