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Inhalt....: Numerische Integration
Kategorie.: Grundkurs
Mathematik: Numerik
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2004-03-31
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: numeric::int, plotfunc2d
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Numerische Integration
Dieses Arbeitsblatt ist Bestandteil des MuPAD Grundkurses.
Die Berechnung von bestimmten Integralen ist ähnlich wie das Lösen kompli-
zierter Gleichungen ein klassisches Beispiel dafür, wo häufig symbolische
Lösungsverfahren scheitern. Abgesehen von wohl ausgesuchten Beispielen,
wie wir sie alle aus Schulbüchern kennen, sind wohl nur wenige Funktionen im
Reellen tatsächlich per Hand mit Papier und Bleistift problemlos integrierbar.
Numerische Integrationsverfahren helfen in der Regel sogar dann, wenn man
keine reelle Stammfunktion finden kann. Dies ist z.B. bei der aus der Stochastik
und Statistik bekannten Gaußschen Glockenkurve der Fall. Anhand dieses Bei-
spiels wollen wir erste Erfahrungen im Umgang mit der MuPAD Funktion
numeric::int zur numerischen Integration sammeln:
numeric::int( 1/sqrt(2*PI) * exp(-1/2 * x^2), x = -2..2 )
Hier haben wir also das bestimmte Integral von -2 bis 2 der Gaußchen Glocken-
kurve näherungsweise berechnet. Diese Berechnung ist innerhalb von Millise-
kunden durchgeführt worden. Aus der Theorie der Stochastik ist bekannt, dass
der Flächeninhalt unter der gesamten Glockenkurve 1 beträgt. Mit Hilfe von
numeric::solve läßt sich dieses uneigentliche Integral explizit berechnen:
numeric::int( 1/sqrt(2*PI) * exp(-1/2 * x^2), x = -infinity..infinity )
Häufig stößt man gerade bei komplizierten e-Funktionen auf die Schwierigkeit,
keine Stammfunktion angeben zu können, mit der sich dann das gesuchte be-
stimmte Integral berechnen läßt. Im folgenden betrachten wir eine weitere
"schwierige" Funktion, deren Graphen wir uns zunächst von plotfunc2d darstellen
lassen:
plotfunc2d( x * exp(-x^3 + x^2), x = 0..4 )
Auch diese Funktion klingt für x gegen unendlich sehr schnell ab. Das Integral
von 0 bis unendlich sollte daher existieren. Wir berechnen einige bestimmte
Integrale, und beobachten dass Wachstum der Werte:
numeric::int( x * exp(-x^3 + x^2), x = 0..1 )
numeric::int( x * exp(-x^3 + x^2), x = 0..2 )
numeric::int( x * exp(-x^3 + x^2), x = 0..3 )
numeric::int( x * exp(-x^3 + x^2), x = 0..4 )
numeric::int( x * exp(-x^3 + x^2), x = 0..5 )
Die letzten beiden Werte unterscheiden sich schon nicht mehr (bis 10 Stellen
genau). Nun schauen wir, ob das uneigentliche Integral von 0 bis unendlich (bis
auf 10 Stellen genau) tatsächlich mit diesem Wert übereinstimmt:
numeric::int( x * exp(-x^3 + x^2), x = 0..infinity )
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Übungen:
1. Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale:
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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