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Inhalt....: Bestimmte und unbestimmte Integration
Kategorie.: Handwerkskasten
Mathematik: Analysis
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2002-02-06
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: int, iszero, sin, cos, exp
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Elementare MuPAD-Funktionen:
Bestimmte und unbestimmte Integration
Hier lernen wir die MuPAD-Funktion zur Integration kennen.
Integration von Funktionen mit MuPAD ist ganz einfach - dies steht natürlich
in einem extremen Gegensatz dazu, wenn man Integration per Hand mit
Papier und Bleistift durchführen muss.
Die Funktion int berechnet sowohl bestimmte als auch unbestimmte Integrale.
Sie erhält stets zwei Argumente:
1. Argument: Die Funktion, die zu integrieren ist.
2. Argument: Die Integrationsvariable, falls man ein unbestimmtes Integral
berechnen möchte, oder eine Gleichung der Form
Integrationsvariable = Integrationsintervall bei der bestimmten
Integration.
Ein Aufruf ist also stets von der Form int( Funktion, Integrationsvariable ), im
Falle unbestimmter Integration zur Berechnung der Stammfunktion, und von
der Form int( Funktion, Integrationsvariable = a..b ), wenn bestimmte Integration
im Intervall von a bis b durchgeführt werden soll.
Wir erproben die Funktion int an einigen Beispielen:
f_1:= x^2 - 5*x + 5;
f_2:= sin(x);
f_3:= cos(x);
f_4:= exp(x);
f_5:= 4/x;
Die Stammfunktionen oder unbestimmten Integrale erhalten wir
folglich über:
F_1:= int(f_1, x);
F_2:= int(f_2, x);
F_3:= int(f_3, x);
F_4:= int(f_4, x);
F_5:= int(f_5, x);
Die Ergebnisse können wir durch nachträgliche Differentiation überprüfen.
Wir leiten die Stammfunktionen ab, bilden dann die Differenz zur
ursprünglichen Funktion und fragen mit Hilfe der Funktion iszero ab,
ob das Ergebnis tatsächlich Null ist. Wir sehen also, dass die Ergebnisse
tatsächlich korrekt sind:
iszero( diff(F_1, x) - f_1);
iszero( diff(F_2, x) - f_2);
iszero( diff(F_3, x) - f_3);
iszero( diff(F_4, x) - f_4);
iszero( diff(F_5, x) - f_5);
Unbestimmte Integrale lassen sich durch explizite Angabe des
Integrationsintervalls berechnen.
int(f_1, x = 1..2);
int(f_2, x = 3..4);
int(f_3, x = 0..4);
int(f_4, x = 1..2);
int(f_5, x = 2..4);
MuPAD liefert uns also die exakten Werte - diese können wir durch
Verwendung der Funktion float auch in Gleitkommadarstellung um-
formen.
float( int(f_1, x = 1..2) );
float( int(f_2, x = 3..4) );
float( int(f_3, x = 0..4) );
float( int(f_4, x = 1..2) );
float( int(f_5, x = 2..4) );
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Aufgaben:
1. Berechnen Sie die unbestimmten Integrale der Funktionen mit Hilfe von int:
(a) f:= 4*x^2 - 2*x
(b) g:= 6*x^3 - 3*x
(c) h:= cos(x)
(d) l:= 3*exp(x)^2 - 1
(e) m:= x^7 + x - 2
(f) n:= x^4 - x - 14
2. Berechnen Sie die bestimmten Integrale der oben angegebenen Funktionen in geeigneten
Integrationsintervallen.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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