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Inhalt....: Wuerfelsimulation und relative Haeufigkeit
Kategorie.: Handwerkskasten
Mathematik: Stochastik, Statistik
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2002-03-3
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: random
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Elementare MuPAD-Funktionen:
Würfelsimulation und relative Häufigkeit
Die Stochastik bietet eine Vielzahl einzelner Themenbereiche, bei denen der Einsatz von
MuPAD sehr nützlich sein kann.
Im folgenden wollen wir das n-malige Werfen mit einem idealen Würfel durch MuPAD
simulieren. Für großes n, sagen wir n = 10000, ist eine praktische Umsetzung dieses Zufalls-
experiments fast nicht mehr durchführbar.
Der exakte mathematische Beweis des folgenden Satzes ist äußerst
kompliziert:
"Mit zunehmender Versuchsanzahl in einem
Laplace-Experiment stabilisiert sich die relative
Häufigkeit des betrachteten Ereignisses um
einen festen Wert, seine Wahrscheinlichkeit."
Der Satz besagt, dass wir z.B. mit einem idealen Würfel nur oft genug
würfeln müssen, damit die relative Häufigkeit, eine Sechs zu würfeln,
in die tatsächliche Wahrscheinlichkeit übergeht.
Wir haben es also mit einem Grenzwertprozeß zu tun. Der Satz kann
im Rahmen einer Mathematikausbildung in der Schule und sogar im
Rahmen der ersten Semester eines Studiums der Mathematik nicht
wirklich exakt bewiesen werden, aber dennoch arbeiten wir bereits zum
Teil in den Klassen 9 und 10 mit Wahrscheinlichkeiten. Um Schülerinnen
und Schülern ein intuitives Verständnis des Sachverhaltes geben zu
können, definieren wir hier eine MuPAD Funktion, die das n-malige
Würfeln mit einem idealen Würfel simuliert und anschließend die
relative Häufigkeit der Sechs ausgibt.
Wuerfeln:=random( 1..6 ):
relativeHaeufigkeit := proc(n)
local rh;
begin
rh := 0;
for i from 1 to n do
if Wuerfeln() = 6 then
rh := rh + 1;
end_if;
end_for;
return ( rh/n );
end_proc:
Die erste Zeile definiert die Funktion Wuerfeln, die Zufallszahlen aus
der Menge {1,2,3,4,5,6} produziert. Sie erhält keine Argumente, ein
Aufruf ist stets von der Form Wuerfeln( ). Rückgabewert ist stets ein
Element der Menge {1,2,3,4,5,6}.
Wir testen die Funktion einige Male:
Wuerfeln();
Wuerfeln();
Wuerfeln();
Wuerfeln()
Sie können diese Eingaberegion nacheinander immer wieder auswerten
und werden feststellen, dass stets andere Zahlen erscheinen.
Nun zu der Funktion relativeHaeufigkeit. Sie erhält ein Argument:
1. Argument: Eine natürliche Zahl n, die Anzahl der Würfe mit einem idealen
Würfel
Rückgabewert ist eine rationale Zahl zwischen 0 und 1, die relative
Häufigkeit der geworfenen Sechsen. Ein Aufruf der Funktion ist daher
von der Form relativeHaeufigkeit(n).
Wir simulieren das Zufallsexperiment für n = 10, 100, 1000, 10000, 100000
Durchführungen. Dabei ist der erste Wert stets das exakte Ergebnis und der
zweite Wert eine auf 10 signifikante Stellen genaue Näherung:
relativeHaeufigkeit(10); float(%);
relativeHaeufigkeit(100); float(%);
relativeHaeufigkeit(1000); float(%);
relativeHaeufigkeit(10000); float(%);
relativeHaeufigkeit(100000); float(%);
Auf diese Weise kann man sich leicht vorstellen, dass die relative
Häufigkeit tatsächlich gegen den Wert 1/6 = 0.1666666... konvergiert.
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Aufgaben:
1. Führen Sie die obigen Befehlszeilen einige Male neu aus. Beobachten Sie Veränderungen der Werte?
Versuchen Sie, auch ein wenig mit anderen Werten für n zu spielen.
2. Ändern Sie die obige Prozedur so ab, dass statt des Würfelexperiments ein Glücksradexperiment
zugrunde liegt. Dabei soll das Glücksrad vier verschiedene Felder aufweisen, die alle mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit getroffen werden.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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