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Inhalt....: Elementare Laplacewahrscheinlichkeiten
Kategorie.: Handwerkskasten
Mathematik: Stochastik
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2002-03-4
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: nops, union, intersect
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Elementare MuPAD-Funktionen:
Berechnung von Laplace-Wahrscheinlichkeiten
In diesem Notebook stellen wir einige ganz elementare Funktionen zur Stochastik vor,
die ausschließlich auf der elementaren, mengentheoretischen Definition der Wahr-
scheinlichkeit basieren.
Wir verwenden die übliche Schulnotation: Allen Laplace-Experimenten
liegt eine Grundmenge Omega zugrunde, die Menge aller möglichen
Elementarereignisse (z.B. beim Würfeln die Menge {1,2,3,4,5,6} ).
Mögliche Ereignisse bei einem Laplace-Experiment fassen wir als
Teilmengen der Grundmenge Omega auf (z.B. das Ereignis, bei
einmaligem Würfeln eine gerade Zahl zu erhalten, entspricht der
Menge {2,4,6} ).
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist gegeben durch den
Quotienten aus der Anzahl der Elemente von A und der Anzahl der
Elemente der Grundmenge Omega.
Wir definieren Funktionen, die die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen
Ereignisses, sowie die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung und des
Durchschnitts zweier Ereignisse berechnen.
P1:= (A, Omega) -> nops(A)/nops(Omega)
Die Prozedur P1 beschreiben wir in der üblichen Weise. Sie erhält
stets zwei Argumente:
1. Argument: Eine Menge A (Teilmenge von Omega), die ein Ereignis
definiert
2. Argument: Eine Menge Omega (Obermenge von A), die der, dem
Laplace-Experiment zugrundeliegenden Grundmenge
entspricht
Rückgabewert ist eine rationale Zahl zwischen 0 und 1 oder 0 oder
1 selbst, die Laplace-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A. Ein
Aufruf der Funktion besitzt also gewöhnlich die Form P2( A, Omega ).
Angenommen wir haben ein Glücksrad mit den Feldern 1 bis 100,
nummeriert mit den Zahlen 1 bis 100 (alle gleich groß).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei einmaligem Drehen
des Rades eine Zahl zwischen 60 und 80 erhalten?
Dieses einfache Problem können wir jetzt wie folgt lösen:
Wir definieren die Mengen Omega und A (der Bequemlichkeit
halber mit dem $-Operator):
Omega:= {k $ k = 1..100}
A:= {k $ k =60..80}
Die Wahrscheinlichkeit für unser Ereignis A ist folglich:
P1(A, Omega)
Nun betrachten wir ein weiteres Ereignis B.
B soll das Ereignis "Die erspielte Zahl ist größer als 70" definieren.
Als Menge erhalten wir also
B:= {k $ k = 70..100}
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse "A und B" und
"A oder B" bestimmen. Zunächst stellen wir die Prozedur P2 vor,
die die Wahrscheinlichkeit für "A oder B" berechnet:
P2:= (A, B, Omega) -> nops(A union B)/nops(Omega)
Diese Prozedur erhält stets drei Argumente:
1. Argument: Eine Menge A (Teilmenge von Omega), die ein Ereignis
definiert
2. Argument: Eine Menge B (Teilmenge von Omega), die ein Ereignis
definiert
3. Argument: Eine Menge Omega (Obermenge von A und B), die der,
dem Laplace-Experiment zugrundeliegenden Grundmenge
entspricht
Rückgabewert ist eine rationale Zahl zwischen 0 und 1 oder 0 oder
1 selbst, die Laplace-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "A oder B".
Damit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für "A oder B" mit unseren
Mengen zu
P2(A, B, Omega)
Betrachten wir nun abschließend noch die Prozedur P3 zur Berechnung der
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "A und B":
P3:= (A, B, Omega) -> nops(A intersect B)/nops(Omega)
Diese Prozedur erhält ebenfalls drei Argumente:
1. Argument: Eine Menge A (Teilmenge von Omega), die ein Ereignis
definiert
2. Argument: Eine Menge B (Teilmenge von Omega), die ein Ereignis
definiert
3. Argument: Eine Menge Omega (Obermenge von A und B), die der
dem Laplace-Experiment zugrundeliegenden Grundmenge
entspricht
Rückgabewert ist eine rationale Zahl zwischen 0 und 1 oder 0 oder
1 selbst, die Laplace-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "A und B".
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "A und B" ist also:
P3(A, B, Omega)
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Aufgaben:
1. Berechnen Sie selbst einmal die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse mit den obigen Prozeduren
P1, P2, und P3 (nehmen Sie als Grundmenge Omega weiterhin die Menge der Zahlen von 1 bis 100 an):
A: "Die Zahl liegt zwischen 20 und 30"
B: "Die Zahl ist kleiner als 15"
C: "Die Zahl ist ein ganzzahliges Vielfaches von 5"
Berechnen Sie nun die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse
E1: "A und B"
E2: "A oder B"
E3: "A oder C"
E4: "B und C"
2. Ändern Sie die obigen Prozeduren P2 und P3 so ab, dass Sie die Wahrscheinlichkeiten von "A oder B
oder C" und "A und B und C" ebenfalls berechnen können. Wählen Sie dabei für die Prozeduren die
Namen P4 und P5, damit Sie die oben implementierten Prozeduren nicht durch gleiche Namenswahl
überschreiben.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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