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Inhalt....: Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung - Ein Beispiel
Kategorie.: Unterrichtsmaterial
Mathematik: Stochastik, Statistik
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2002-01-17
Autoren...: Julia Faflek <faflek@upb.de>
Funktionen: random, stats::mean
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Schokoriegelbilder
Durch dieses Beispiel wird der statistische Begriff Mittelwert gegen den theoretischen
Erwartungswert abgegrenzt. Dabei wird veranschaulicht, dass der Mittelwert für größer
werdenden Stichprobenumfang sich dem Erwartungswert annähert.
Das Beispiel kann ausgebaut werden, indem man es auf die Begriffe der Standard-
abweichung und der Varianz überträgt.
Gegeben ist folgende Fragestellung:
In einem Schokoriegel befindet sich eins von neun verschiedenen Bildern.
Eine Person kauft 3 Riegel und öffnet diese. X gebe die Anzahl der unter-
schiedlichen Bilder an, die man auf diese Weise erhalten kann.
Wie viele verschiedene Bilder kann man beim Auspacken der drei Riegel im
Durchschnitt erwarten?
Dieses Problem werden wir nun durch eine Simulation mit Zufallszahlen lösen.
Dazu ziehen wir aus den Zahlen von 1 bis 9 drei zufällige Ziffern und notieren
uns die Anzahl X der unterschiedlichen Ziffern. Das ganze wiederholen wir n mal.
Danach bilden wir das arithmetische Mittel über die n Werte, die wir für X berechnet
haben.
Wir schreiben dazu eine eigene kleine Prozedur.
Schokoriegel := proc(n)
local A, B, C, a, b, c, anz, durchschnitt, i;
begin
A:=random(1..9);
B:=random(1..9);
C:=random(1..9);
anz :=[0 $ n];
for i from 1 to n do
a:=A();
b:=B();
c:=C();
if a<>b then
if b<>c and a<>c then
anz[i]:=3
else
anz[i]:=2
end_if
elif b<>c then
anz[i]:=2
else
anz[i]:=1
end_if:
end_for;
durchschnitt:= float(stats::mean(anz));
print(Unquoted, "Durchschnittlich sind "
.expr2text(durchschnitt).
" verschiedene Bilder zu erwarten.");
end_proc
Nun liefert der Aufruf
Schokoriegel(30)
Durchschnittlich sind 2.466666667 verschiedene Bilder zu erwarten.
die durchschnittliche Anzahl der verschiedenen Bilder, wenn man 30 mal den
Kauf der drei Schokoriegel simuliert.
Jetzt wollen wir verstehen, wie wir den Erwartungswert in MuPAD berechnen
können. Wir schreiben eine weitere kleine Prozedur, die als Eingabe eine Liste
x und einen Parameter n erhält, der die Länge der Liste angibt.
Die Liste x enthält die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen.
Die Prozedur basiert genau auf der formelmäßigen Berechnung des Erwartungs-
wertes.
ErwartungsWert := proc(x, n)
local produkt, summe, i;
begin
produkt := [0 $ n];
summe := 0;
for i from 1 to n do
produkt[i] := x[i][1] * x[i][2];
summe := summe + produkt[i];
end_for;
return(float(summe));
end_proc:
Wir können dieser Prozedur die Wahrscheinlichkeitsverteilung aus dem
Beispiel des Schokoriegels übergeben.
Es gilt hier P(X=1)=1/81, P(X=2)=24/81 und P(X=3)=56/81.
Also definieren wir zuerst eine Liste, die die Wahrscheinlichkeitsverteilung
darstellt.
X := [[1, 1/81], [2, 24/81], [3, 56/81]]
Schließlich übergeben wir der Prozedur ErwartungsWert die Liste X und
die Länge 3.
ErwartungsWert(X, 3)
Vergleichen wir nun dieses theoretisch berechnete Ergebnis mit den
Ergebnissen, die die Prozedur Schokoriegel für große n liefert, so können
wir beobachten, dass sich die Werte tatsächlich dem theoretischen Wert
annähern.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie unter: http://schule.mupad.de bzw. http://studium.mupad.de
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