________________________________________________________________________________
Inhalt....: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
Kategorie.: Unterrichtsmaterial
Mathematik: Stochastik
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2003-03-04
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: expand, plot::Piechart3d, Moves, Colors
________________________________________________________________________________
Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung am
Beispiel eines Glücksrad-Spiels
Dieses Notebook ermöglicht eine interaktive Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung
mit Hilfe eines Computeralgebrasystems. Am Beispiel eines Glücksrads können die
SchülerInnen experimentell den Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und der
Wahrscheinlichtkeit eines Ereignisses erfahren. Ferner bietet sich die Möglichkeit
Rechenregeln für die Wahrscheinlichkeit über das Experiment zu motivieren oder den
Erwartungswert binomialverteilter Zufallsgrößen darüber einzuführen.
Motivation und Konzept des Arbeitsblatts
In aktuellen Schulbüchern, die im Mathematikunterricht der Sekundarstufe II eingesetzt werden,
wird in der Regel zu Beginn des Abschnitts über Wahrscheinlichkeitsrechnung der Zusammen-
hang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit von Ereignissen diskutiert.
Häufig wird der Satz
Mit zunehmender Versuchsanzahl in einem Laplace-Experiment geht die
relative Häufigkeit eines Ereignisses in seine Wahrscheinlichkeit über.
von SchülerInnen (zu Recht) mit Skepsis aufgenommen. Die Aussage scheint nicht verifizierbar
und im Unterricht (auch im Rahmen eines Mathematik-Leistungskurses) kann keinesfalls die
nötige Theorie entwickelt werden, um diesen Sachverhalt mathematisch korrekt verifizieren
zu können. Einen Ausweg bietet ein experimenteller Zugang wie er z.B. im Rahmen dieses
Notebooks ermöglicht wird.
Unterrichtliche Voraussetzungen
Dieses Notebook setzt keinerlei besondere Kenntnisse rund um MuPAD voraus. Die hier
vorgestellten Prozeduren müssen keinesfalls von den SchülerInnen nachvollzogen werden.
Sie sind lediglich als "nützliche Werkzeuge" zu bezeichnen - ähnlich dem, als wenn man
die SchülerInnen mit Würfeln ausrüstet und sie auf diesem Weg Wahrscheinlichkeits-
experimente praktisch durchführen lässt. Die mathematischen Voraussetzungen sind
ebenfalls sehr gering. Nach einer kurzen Erläuterung des Begriffs der relativen Häufigkeit
kann mit diesem Notebook noch vor der Einführung der Wahrscheinlichkeit experimentiert
werden. Weiter unten finden sich auch Anregungen, wie sich die hier vorgestellten Proze-
duren auch im Kontext der Vermittlung von Rechenregeln für Laplace-Wahrscheinlichkeiten
oder im Kontext von Erwartungswerten binomialverteilter Zufallsgrößen eignen. Zu diesem
Zweck sind dann entsprechende Vorbereitungen mathematischer Natur aus dem Unterricht,
wie z.B. Einführung der Binomialverteilung etc., nötig.
Nachdem die relative Häufigkeit im Unterricht eingeführt wurde, erhalten
die SchülerInnen die Aufgabe, "Glücksrad" zu spielen:
Das Glücksrad hat fünf verschiedenfarbige und gleichgroße Felder. Von
der Lehrperson wird eine Anzahl von Runden vorgegeben, die die Schüler
spielen sollen. Es bietet sich an, die Zahl der Runden nicht kleiner als 30
zu wählen, da man sonst später bei der Interpretation der Ergebnisse nicht
die richtigen Schlüsse ableiten kann.
Die zur Durchführung des Spiels notwenigen Prozeduren sind die folgenden:
Gluecksrad:= proc(Feld)
local i, Felder;
begin
Felder:= [ RGB::Green,
RGB::Grey,
RGB::Red,
RGB::Black,
RGB::Blue ];
Farben:= [ Felder[i] $ i = Feld..5,
Felder[i] $ i = 1..Feld-1 ];
return( plot( plot::Piechart3d([20, 20, 20, 20, 20],
Colors = Farben,
Moves = [1 = 0.2] )
) );
end_proc:
zufall:= random(1..5):
Drehen:= proc() begin Gluecksrad(zufall()) end_proc:
Anmerkungen zu den Prozeduren
Die Prozedur Gluecksrad zeichnet das Glückrad. Sie erhält als Argument
eine Zahl Feld zwischen 1 und 5 (eines der fünf Felder des Glücksrads).
Dieses Feld wird dann bei der Darstellung des Glücksrads entsprechend
hervorgehoben, so dass den SchülerInnen angedeutet wird, welches Feld
sie "erdreht " haben. Die Prozedur zufall erzeugt Zufallszahlen zwischen
1 und 5, die jeweils für eines der Felder des Glücksrads stehen. Die Prozedur
Drehen ist die einzige Prozedur, die von den SchülerInnen benutzt werden
muss. Sie simuliert eine Durchführung des Zufallsexperimentes.
Alles was die SchülerInnen zu tun haben, ist den Befehl Drehen() auszu-
führen:
Drehen()
Der Befehl muss nicht für jeden neuen Versuch wieder eingeben werden.
Es bietet sich an, mit der Maus nach Ausführung des Befehls einfach wieder
in die gleiche Befehlszeile zu klicken und den Befehl erneut ausführen zu
lassen (auf diese Weise entsteht zumindest annähernd der Eindruck, das
Rad habe sich gedreht, denn das hervorgehobene Feld befindet sich
stets - unabhängig von der Farbe - an der festen Position rechts oben).
Unter Umständen bietet es sich sogar an, die Prozeduren im Textfeld
"Datei - Eigenschaften - Initialisierungs-Kommandos" zu hinterlegen.
Auf diese Weise können die Prozeduren vor den SchülerInnen auch
ganz verborgen werden (in diesem Notebook sind die Prozeduren
zusätzlich in dem erwähnten Textfeld eingetragen).
Aufgabe für die SchülerInnen: Führen Sie das Glückrad-Spiel
30 Mal durch. Notieren Sie dabei diejenige Farbe, die sich in
jedem Durchlauf gezeigt hat. Berechnen Sie anschließend die
relative Häufigkeit, mit der jedes der Felder vorgekommen ist.
Tragen Sie die exakten relativen Häufigkeiten in diese dafür
vorgesehene Tabelle ein. Geben sie auch gerundete Werte
als Näherung an.
Rot____Grau____Grün____Blau____Schwarz
-----------------------------------------------------------------------------------------
abs. Hkt.
(exakt)
-----------------------------------------------------------------------------------------
rel. Hkt.
(exakt)
-----------------------------------------------------------------------------------------
rel. Hkt.
(Näherung)
-----------------------------------------------------------------------------------------
Was fällt Ihnen auf?
Drehen()
Jetzt bietet sich die Möglichkeit, den Begriff der Wahrscheinlichkeit im
Unterricht einzuführen und die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen,
dass eines der Felder erdreht wird. Vergleich mit den von den
SchülerInnen gefunden experimentellen Ergebnissen sollte den Satz
Mit zunehmender Versuchsanzahl in einem Laplace-Experiment
geht die relative Häufigkeit eines Ereignisses in seine Wahrschein-
lichkeit über.
plausibel machen.
Im folgenden werden in der Regel die elementaren Rechenregeln für
Laplace-Wahrscheinlichkeiten eingeführt. Nach einem kurzen Exkurs
über Mengen (Vereinigung, Durchschnitt bzw. Schnittmenge etc.)
können auch diese experimentell motiviert werden:
Aufgabe für die SchülerInnen: Drehen Sie das Glücksrad er-
neut 30-mal. Notieren Sie sich die relative Häufigkeit der Ereig-
nisse
E1:_Schwarz oder Rot
E2:_Rot oder Grün
E3:_Schwarz oder Rot oder Grün
Tragen Sie die exakten und die gerundeten Ergebnisse in die fol-
gende Tabelle ein:
Schwarz / Rot___Rot / Grün__Schwarz / Rot / Grün _
-----------------------------------------------------------------------------------------
abs. Hkt.
(exakt)
-----------------------------------------------------------------------------------------
rel. Hkt.
(exakt)
-----------------------------------------------------------------------------------------
rel. Hkt.
(Näherung)
-----------------------------------------------------------------------------------------
Äußern Sie eine Vermutung, wie sich die Wahrscheinlichkeit
P(E3) = P(E1 oder E2)
mit Hilfe der Ereignisse E1 und E2 berechnen lässt. Begründen
Sie - nach Möglichkeit zuerst anhand der Ergebnisse ihres Ex-
periments und anschließend theoretisch - warum die Formel
P(E3) = P(E1) + P(E2)
nicht korrekt sein kann.
Drehen()
Das Glücksrad-Spiel kann auch zur Motivation der Binomialverteilung ver-
wendet werden. Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße
ist leicht berechenbar und kann ebenfalls mit Hilfe des Spiel auf experimentelle
Weise ermittelt werden.
Aufgabe für die SchülerInnen: Wir spielen folgendes Spiel:
Das Glücksrad wird 20-mal gedreht. Die Farben Blau und Rot
zeigen einen "Treffer" an, zeigen sich die Farben Grün, Grau
oder Schwarz, so hat man verloren. Ermitteln Sie experimentell
die Anzahl der Gewinne bei 20-maligem Drehen des Glückrads.
Bestimmen Sie dann die Treffer-Wahrscheinlichkeit (per Hand -
ohne Benutzung von MuPAD), bei einmaligem Drehen des Glücks-
rads einen Gewinn zu erzielen.
(a) Versuchen Sie einen mathematischen Zusammenhang zwischen
der Anzahl der Durchführungen (also 20-maliges Drehen) und der
ermittelten Trefferwahrscheinlichkeit zu finden.
Im folgenden bezeichnen wir die Trefferwahrscheinlichkeit mit
p und die Anzahl der Durchführung (also die Zahl, wie oft wir
das Glücksrad hintereinander drehen) mit N.
(b) Verallgemeinern Sie den Sachverhalt aus (a), indem Sie eine
Formel zur Berechnung der erwarteten Trefferanzahl mit Hilfe
der Treffer-Wahrscheinlichkeit p und der Anzahl der Durch-
führungen N erstellen.
Drehen()
________________________________________________________________________________
Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie unter: http://schule.mupad.de bzw. http://studium.mupad.de
________________________________________________________________________________