________________________________________________________________________________
Inhalt....: Berechnung des Differenzenquotienten
Kategorie.: Handwerkskasten
Mathematik: Analysis
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2002-02-06
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: limit
________________________________________________________________________________
Elementare MuPAD-Funktionen:
Berechnung des Differenzenquotienten
Gewöhnlich wird die Differenziation als Grenzwertprozeß eingeführt. Wie man mit MuPAD auch
Grenzwerte des Differenzenquotienten berechnen kann, sehen wir im folgenden.
Die Definition der Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x_0 ist gegeben
als Grenzwert des Differenzenquotienten:
Wir können mit MuPAD Grenzwerte mit Hilfe der Funktion limit berechnen.
Sie erhält stets zwei Argumente:
1. Argument: Die Funktion, deren Grenzwert wir betrachten möchten.
2. Argument: Eine Gleichung, die angibt, für welchen Parameter welcher
Grenzwert gebildet werden soll.
Wir betrachten ein ganz einfaches Beispiel: Die Normalparabel.
f:= x -> x^2
Der Differenzenquotient an einer beliebigen Stelle x_0 ist also gegeben durch
Dquotient_f:= (f(x_0 + h) - f(x_0)) / h
Jetzt erhalten wir die Ableitung durch Grenzwertbildung für h gegen 0.
limit(Dquotient_f, h = 0)
Auch kompliziertere Ableitungen lassen sich auf diese Weise ermitteln.
Sei dazu g die Funktion sin(x):
g:= x -> sin(x):
Dquotient_g:= (g(x_0 + h) - g(x_0)) / h
Grenzwertbildung liefert das erwartete Ergebnis:
limit(Dquotient_g, h = 0)
________________________________________________________________________________
Aufgaben:
1. Berechnen Sie mit Hilfe der Funktion limit wie oben die Ableitungen der folgenden Funktionen als
Grenzwert des Differenzenquotienten an einer beliebigen Stelle x_0:
(a) f:= 4*x^2 - 2*x
(b) g:= 6*x^3 - 3*x
(c) h:= cos(x)
(d) l:= 3*exp(x) - 1
_______________________________________________________________________________
Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie unter: http://schule.mupad.de bzw. http://studium.mupad.de
_______________________________________________________________________________