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Inhalt....: Grafische Interpretation der Näherung von DeMoivre-Laplace
Kategorie.: Arbeitsblatt
Mathematik: Stochastik, Statistik
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2002-01-17
Autoren...: Julia Faflek <faflek@upb.de>
Funktionen: stats::binomialPF, stats::normalPDF, plot, plot::Polygon2d
Funktionen: plot::Function2d
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Die Näherung von DeMoivre-Laplace
Das Beispiel liefert eine grafische Interpretation der Approximation von standardisierten
binomialverteilten Zufallsvariablen durch die Normalverteilung und veranschaulicht die wachsende
Angleichung an die Gauß-Glocke mit Zunahme des Stichprobenumfangs.
Wir wollen eine Prozedur schreiben, die bei Eingabe von n und p eine Glocke
einer binomialverteilten Zufallsvariable zeichnet. Dabei bezeichne n die Anzahl
der Durchführungen eines Bernoulli-Experiments und p die Erfolgswahrschein-
lichkeit.
Glocke := proc(n, p)
local Punkte;
begin
Punkte := [0 $ n+1];
for j from 0 to n do
Punkte[j+1] := [j, stats::binomialPF(n, p)(j)]
end_for;
plot::Polygon2d(Punkte, args(3..args(0)));
end_proc:
Wir erhalten mit dem Aufruf
plot(Glocke(10, 0.5))
die gewünschte Glocke. Um einen Zusammenhang zwischen den Parametern
und der Glocke zu erkennen, zeichnen wir mehrere Glocken mit unter-
schiedlichen Parametern in eine Graphik.
plot(plot::Scene2d(Glocke(4, 0.5, Color = RGB::Blue),
Glocke(16, 0.5, Color = RGB::Red),
Glocke(64, 0.5, Color = RGB::Black)))
Wie man gut erkennen kann, halbiert sich die Glockenhöhe bei jedem
Übergang und die Fläche wird ungefähr verdoppelt.
Im Vergleich zu den Parametern können wir folgenden Zusammenhang
feststellen:
Die Gipfelhöhe wird durch den Faktor 1/Standardabweichung verkleinert
und die Fläche wird mit der Standardabweichung multipliziert.
Um dieses Verhalten auszugleichen, standardisieren wir die binomial-
verteilte Zufallsvariable, das heißt wir setzen für die Werte auf der x-Achse
und für die y-Werte
wobei sigma die Standardabweichung und mue den Erwartungswert bezeichne.
Durch Verwendung dieser Werte verändern wir die Prozedur Glocke wie folgt.
Glocke := proc(n, p)
local Punkte;
begin
mue := n*p;
sigma := sqrt(n*p*(1-p));
Punkte := [0 $ n+1];
for j from 0 to n do
Punkte[j+1] := [(j-mue)/sigma,
sigma*stats::binomialPF(n,p)(j)]
end_for;
plot::Polygon2d(Punkte, args(3..args(0)));
end_proc:
Damit können wir nun Glocken zeichnen lassen, deren Gipfel sich auf der
y-Achse befindet und die alle ungefähr die gleiche Fläche unter der Glocke
beschreiben.
plot( plot::Scene2d( Glocke(4, 0.5, Color = RGB::Blue),
Glocke(16, 0.5, Color = RGB::Red),
Glocke(64, 0.5, Color = RGB::Black)))
Die so erzeugten Glocken nähern sich der sogenannten Gauß-Glocke an.
Zum direkten Vergleich zeichnen wir die Gauß-Funktion, die von der
MuPAD Bibliothek stats zur Statistik bereitgestellt wird:
f := stats::normalPDF(0,1):
plot(plot::Function2d(f(x), x = -7.5..7.5))
plot(plot::Scene2d(Glocke(4, 0.5, Color = RGB::Blue),
Glocke(16, 0.5, Color = RGB::Blue),
Glocke(64, 0.5, Color = RGB::Black)))
Diese Graphiken zeigen deutlich, dass die Binomialverteilung für große Werte
n durch die Normalverteilung approximiert werden kann.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie unter: http://schule.mupad.de bzw. http://studium.mupad.de
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