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Inhalt....: Boxplot - Interpretation von Aktienkursen
Kategorie.: Arbeitsblatt
Mathematik: Statistik, Stochastik
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2002-05-16
Autoren...: Julia Faflek <faflek@mupad.de>
Funktionen: plot, plot::Point2d, plot::Polygon2d, plot::Boxplot
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Boxplots - Interpretation von Aktienkursen
Der Boxplot ist eine grafische Veranschaulichung, mit deren Hilfe man sich einen Überblick
über die Verteilungssituation von Daten einer statistischen Stichprobe verschaffen kann.
Im folgenden wird der Einsatz von Boxplots anhand einfacher Beispiele aus dem Alltag
demonstriert. Zusätzlich wird ansatzweise erläutert und erklärt, wie diese zu interpretieren sind.
Ein Beispiel für den sinnvollen Einsatz von Boxplots ist der Vergleich
von Aktien. Die Frage
"In welche Aktie sollte man am besten investieren?"
kann so mathematisch diskutiert werden.
Dabei soll der Verlauf der letzten zwei Wochen Aufschluss über die
Charakteristik der Aktie geben.
Folgende Werte hatten Aktie1 und Aktie2 in den letzten 14 Tagen:
Aktie1:= [58.91, 59, 59.8, 57.6, 60, 57.1, 58.1, 55.1,
59.4, 62.2, 64, 65.5, 67.2, 69.5]:
Aktie2:= [19.5, 18.4, 14.2, 15.4, 13.9, 14.5, 14.9,
16.7, 18.5, 19.3, 21.5, 20.4, 22.6, 24.5]:
Die Beantwortung folgender Fragen wird uns die Entscheidung erleichtern:
(a) In welchem Bereich liegen 50% der Daten? Insbesondere: Wie groß ist
dieser Bereich?
(b) Wie groß ist der Median und in welchem Verhältnis steht er zu den übrigen
Daten?
Stellen wir zunächst die beiden Aktienkurse in einer Grafik dar:
plot( plot::Polygon2d([[i,Aktie1[i]] $ i = 1..nops(Aktie1)]),
plot::Point2d(i ,Aktie1[i],
Color = RGB::Black,
PointSize = 2 * unit::mm)
$ i = 1..nops(Aktie1),
plot::Polygon2d([[i,Aktie2[i]] $ i = 1..nops(Aktie1)]),
plot::Point2d(i ,Aktie2[i],
Color = RGB::Black,
PointSize = 2 * unit::mm)
$ i = 1..nops(Aktie2),
GridVisible = TRUE
):
Die blaue Kurve verläuft zwar viel tiefer als die rote, aber über das Verhalten
der Aktien und ihre Gewinnchancen sagt diese Grafik nichts aus.
Daher vergleichen wir nun die Boxplots beider Aktienkurse:
plot( plot::Boxplot(Aktie1, Aktie2,
Colors = [RGB::Red, RGB::Blue],
LineWidth = 0.6 * unit::mm),
GridVisible = TRUE
):
Wir können den Mittelwert, die Höchst- und Tiefstkurse sowie den Bereich, in
dem sich 50% der Kurse befinden, ablesen. Die Aktie1 (rot) hat zwar höhere
Werte angenommen als die zweite (blau), jedoch interessiert uns nicht ein
absoluter Wertevergleich beider Aktien, sondern das Kursverhalten, die
Schwankungen und die Stabilität der Aktien.
Daher betrachten wir relative Daten. Wir dividieren dazu jeden Wert, außer
den ersten, durch seinen Vorgänger und erhalten somit Werte, die die
Kursänderungen besser charakterisieren.
Aktie1_r:= [Aktie1[i+1]/Aktie1[i] $ i=1..nops(Aktie1)-1]:
Aktie2_r:= [Aktie2[i+1]/Aktie2[i] $ i=1..nops(Aktie2)-1]:
Auch für diese Daten stellen wir den Kursverlauf zunächst grafisch dar:
plot( plot::Polygon2d([[i,Aktie1_r[i]] $ i = 1..nops(Aktie1_r)]),
plot::Point2d(i ,Aktie1_r[i],
Color = RGB::Black,
PointSize = 2 * unit::mm)
$ i = 1..nops(Aktie1_r),
plot::Polygon2d([[i,Aktie2_r[i]] $ i = 1..nops(Aktie1_r)]),
plot::Point2d(i ,Aktie2_r[i],
Color = RGB::Black,
PointSize = 2 * unit::mm)
$ i = 1..nops(Aktie2_r),
plot::Function2d(1, x = 1..nops(Aktie2_r),
Color = RGB::Green),
GridVisible = TRUE
):
Hier sehen wir deutlichere Unterschiede als bei dem Vergleich der Absolut-
werte. Ein Wert größer 1 bedeutet eine Wertsteigerung, ein Wert kleiner 1
einen Wertverlust. Beide Kurven nehmen nur dreimal Werte unter 1 an.
Jedoch scheint die blaue Aktie stärkeren Schwankungen zu unterliegen
als die rote.
Aus den Boxplots der relativen Daten erhalten wir weitere Informationen:
plot( plot::Boxplot(Aktie1_r, Aktie2_r,
Colors = [RGB::Red, RGB::Blue],
LineWidth = 0.6 * unit::mm, Notched),
GridVisible = TRUE
):
Nun können wir uns den zu Beginn gestellten Fragen zuwenden:
(a) Die Box der ersten Aktie ist stark zusammengestaucht. Dies bedeutet,
dass auftretende Kursschwankungen nur sehr schwach sind. 50% der
Werte liegen ungefähr zwischen 1 und 1.03. Daher ist bei einem zu-
fälligen Kauf der Aktien und einem Verkauf am Folgetag ein Gewinn
zu erwarten. Die blaue Box dagegen ist gestreckt. Daran können
wir erkennen, dass diese Aktie starken Schwankungen unterliegt.
Mit ihr kann man höhere, aber auch risikoreichere, Gewinne erzielen.
(b) Wir können sehen, dass die Medianlinie bei beiden Aktien oberhalb von
1 verläuft. Allerdings verlaufen diese Linien im oberen Bereich der Box,
d.h. die Schwankungen nach unten sind kräftiger als die Kursanstiege.
Der Median der blauen Aktie liegt höher als der der roten Aktie. Damit
ist der Gewinnbetrag höher.
Als Fazit läßt sich daher schließen: Die erste Aktie ist eine solidere Anlage.
Für gewiefte Spekulanten ist die zweite Aktie sehr reizvoll. Will man jedoch
längerfristig Kapital anlegen, so sollte man in Aktie1 investieren.
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Übungen:
1. Erzeugen Sie mit Hilfe der Funktionen stats::normalRandom, stats::cauchyRandom und
stats::exponentialRandom normal-, cauchy- und exponentialverteilte Zufallszahlen.
Erzeugen Sie Boxplots für jede Verteilungssituation und vergleichen Sie diese miteinander.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie unter: http://schule.mupad.de bzw. http://studium.mupad.de
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