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Inhalt....: Binomialverteilung
Kategorie.: Grundkurs
Mathematik: Stochastik, Statistik
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2004-03-31
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: float, _plus, binomial, print, for, from, to, stats::binomialPF
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Binomialverteilung
Dieses Arbeitsblatt ist Bestandteil des MuPAD Grundkurses.
Wir geben die aus der Schule bekannte Bernoulli-Formel in MuPAD ein:
B:= (n, p, k) -> binomial(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
Nun können wir die entsprechenden Bernoulli-Wahrscheinlichkeiten für beliebige
Werte von n, p, k berechnen, wobei n die Anzahl der unabhängigen Durchführungen
des Experiments bezeichnet, p die zugehörige Trefferwahrscheinlichkeit und k die
Anzahl der Treffer, an der wir interessiert sind.
Die Wahrscheinlichkeit, bei 1000 Würfen mit einem idealen Würfel genau 150
Sechsen zu erhalten ist also
float( B(1000, 1/6, 150) )
Die Wahrscheinlichkeit zwischen 120 und 160 Sechsen zu erhalten, ist gegeben
durch
_plus( float( B(1000, 1/6, i) ) $ i = 120..160)
Dabei sorgt der Folgenoperator (Sequenzoperator) "$" dafür, dass alle Werte
für i = 120 bis i = 160 hintereinander geschrieben werden. Diese Folge oder
Sequenz von Werten kann dann direkt mit Hilfe von "_plus" aufaddiert werden.
Die obigen Wahrscheinlichkeiten für große Werte von n und k werden in der
Schule, weil sie sich in der Regel mit gewöhnlichen Taschrechnern nicht oder nur
sehr mühselig berechnen lassen, aus vorgefertigten Tabellen abgelesen. Zu nah
scheint dann doch oft der Zusammenhang zwischen angeblich praxisnahen
Aufgaben, deren Lösung sich letztendlich "zufällig" aus der im jeweiligen Buch
angegebenen Tabelle ablesen läßt. Mit MuPAD können wir uns derartige
Tabellen selbst erzeugen:
tabelle:= proc(n, p)
local k, s;
begin
print(NoNL, " ===========================\n".
" Binomial-Verteilungstabelle \n".
" ---------------------------\n".
" n = ".expr2text(n).
", p = ".expr2text(p)."\n".
" ===========================\n");
s:= 0.0;
for k from 0 to n do
s:= s + binomial(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k);
print(NoNL, " P(X <= ".expr2text(k).") = ".expr2text(s)."\n");
end_for;
print(NoNL, " ===========================\n");
end_proc:
tabelle(10, 1/6):
===========================
Binomial-Verteilungstabelle
---------------------------
n = 10, p = 1/6
===========================
P(X <= 0) = 0.1615055829
P(X <= 1) = 0.4845167487
P(X <= 2) = 0.7752267979
P(X <= 3) = 0.9302721574
P(X <= 4) = 0.9845380333
P(X <= 5) = 0.9975618435
P(X <= 6) = 0.9997324785
P(X <= 7) = 0.9999805511
P(X <= 8) = 0.9999991566
P(X <= 9) = 0.9999999835
P(X <= 10) = 1.0
===========================
In einem späteren Abschnitt werden wir auch auf Visualisierungsmöglichkeiten
der Binomialverteilung zu sprechen kommen.
Zum Abschluß dieses Abschnitts weisen wir noch darauf hin, dass das explizite
Eingeben der obigen Bernoulli-Formel in MuPAD eigentlich nicht zwingend not-
wendig ist. Die Statistik-Bibliothek stats bietet eine Reihe von vordefinierten
Wahrscheinlichkeitsverteilungen (viel mehr, als wir im Rahmen dieses Grund-
kurses behandeln können bzw. wollen). Darunter befindet sich auch die Binomial-
verteilung. Wir wollen unsere erste Rechnung von oben nochmals, aber diesmal
mit Hilfe der Funktion stats::binomialPDF, durchführen:
B:= stats::binomialPF(1000, 1/6)
float( B(150) )
Wie wir sehen, ist dies genau das Ergebnis, welches wir oben schon erhalten
hatten.
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Übungen:
1. Fertigen Sie mit MuPAD eine Binomialverteilungstabelle für n = 100 und p = 3/7, indem Sie die
__obigen Prozedur kopieren und in ein MuPAD Notebook (per Copy & Paste) einfügen.
__Experimentieren Sie ein wenig mit der Prozedur, indem Sie Kleinigkeiten in der Ausgabe mani-
__pulieren. Können Sie die Genauigkeit der berechneten Werte herauf- oder heruntersetzen.
__Informieren Sie sich dazu über die Variable DIGITS in MuPAD.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie unter: http://schule.mupad.de bzw. http://studium.mupad.de
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