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Inhalt....: Bewegungslehre - Am Beispiel von Zügen
Kategorie.: Unterrichtsmaterial
Mathematik: Analysis
MuPAD.....: 3.1.1
Datum.....: 2006-10-24
Autoren...: Thomas Himmelbauer <j.himmelbauer@chello.at>
Funktionen: -->, plot::Point2d, plot::Line2d, plot::Function2d, ViewingBox
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BEWEGUNGSLEHRE:
1) Gleichförmige Bewegung: Keine Veränderung der Geschwindigkeit
Welche Fragen können an jemanden gestellt werden, der mit dem Zug eine Fahrt
unternimmt, die diese Fahrt betreffen?
a) Wohin fährst du? z.B. Antwort: nach Linz
b) Von wo fährst du weg? z.B. Antwort: von Wien
c) Wann fährst du weg? z.B. Antwort: um 6 Uhr
d) Wie schnell fährst du? z. B. Antwort: 90 km pro Stunde
e) Wann bist du in St. Pölten? z. B. Antwort: um 7 Uhr
f) Wo bist du um 8 Uhr? z. B. Antwort: in Amstetten
Die Fragen beschäftigen sich also mit Zeit, Ort und Geschwindigkeit.
In der Physik werden für diese Begriffe folgende Abkürzungen und
Einheiten verwendet.
Wir wollen nun für eine möglichst einfache Bewegung ein mathematische Modell finden,
mit welchem sich unsere Fragen beantworten lassen.
Wir wollen den Zug der Einfachheit wegen zunächst als Punkt darstellen.
Dazu erzeugen wir ein Graphikobjekt Punkt im zweidimensionalen Raum.
Da es unseren Zug darstellt, nennen wir es Zug1.
Erklärung des Befehles
Ende der Erklärung
Zug1:= plot::Point2d(0,30, PointSize=3, Color=RGB::Green)
Mit dem Befehl plot können wir unseren Punkt nun darstellen.
Erklärung des Befehls
Ende der Erklärung
plot(Zug1, XAxisVisible=FALSE, ViewingBox=[-1..1,-50..200])
Damit haben wir unsere Bahnlinie mit dem Zug als Punkt erzeugt.
Nun soll sich der Zug aber bewegen.
Dazu muss sich die y-Koordinate des Zuges verändern.
Wir wählen als y-Koordinate die Variable t und lassen diese
von 0 bis 20 laufen.
Dann muss sich die x-Koordinate von 0 bis 20 verändern.
Zug1:= plot::Point2d(0, t, t=0..20, PointSize=3, Color=RGB::Green)
plot(Zug1, XAxisVisible=FALSE, ViewingBox=[-1..1,-50..200])
Misst man die Dauer der Animation, so erhält man als Ergebnis 10 Sekunden.
Da die y-Position des Zuges von der Zeit abhängt, ist es günstig die Variable t als Zeit zu
betrachten und die Zeitdauer und die Dauer der Animation in Einklang zu bringen.
Dann läuft die Animation in Echtzeit der Bewegung ab.
Zug1:= plot::Point2d(0,t, t=0..20,
TimeBegin=0,
TimeEnd=20,
PointSize=3,
Color=RGB::Green)
plot(Zug1,
XAxisVisible=FALSE,
ViewingBox=[-1..1,-50..200])
Der Zug legt nun in 20 Sekunden eine Strecke von 20m zurück.
Seine Geschwindigkeit beträgt also 1m pro Sekunde.
Aufgabe 1:
Zusätzliche soll nun ein zweiter Zug mit doppelt so großer Geschwindigkeit
(2m pro Sekunde) fahren.
Die Fahrtdauer beider Züge soll 15 Sekunden betragen.
Zug1:= plot::Point2d(0,t, t=0..15,
TimeBegin=0,
TimeEnd=15,
PointSize=3,
Color=RGB::Green)
Damit der 2. Zug doppelt so schnell fährt, wählen wir
als y-Koordinate 2*t, denn dann legt der Zug2 in der gleichen Zeit t
eine doppelt so große Strecke wie Zug1 zurück.
Zug2:= plot::Point2d(0,2*t, t=0..15,
TimeBegin=0,
TimeEnd=15,
PointSize=3,
Color=RGB::Red)
plot(Zug1, Zug2,
XAxisVisible=FALSE,
ViewingBox=[-1..1,-50..200])
Aufgabe 2:
Wieder sollen die Bewegung zweier Züge dargestellt werden.
Zug1 soll mit 20m pro Sekunde und Zug2 soll mit 30m pro Sekunde unterwegs sein.
Die Fahrtdauer beider Züge soll 5 Sekunden betragen.
Wählen wir für die y-Koordinaten der Züge 20*t, bzw. 30*t, so legen die
Züge in jeder Sekunde 20m bzw. 30m zurück.
Zug1:= plot::Point2d(0,20*t,t=0..5,
TimeBegin=0,
TimeEnd=5,
PointSize=3,
Color=RGB::Green)
Zug2:= plot::Point2d(0,30*t, t=0..5,
TimeBegin=0,
TimeEnd=5,
PointSize=3,
Color=RGB::Red)
plot(Zug1, Zug2,
XAxisVisible=FALSE,
ViewingBox=[-1..1,-50..200])
Aufgabe 3:
Der erste Zug soll nun zusätzlich nicht im Ursprung sondern bei der
Position y=40 starten.
Wählen wir für die y-Koordinate des 1. Zuges 40+20*t, so befindet sich
dieser Zug zum Zeitpunkt t=0 an der y-Position 40.
Zug1:= plot::Point2d(0,40+20*t, t=0..5,
TimeBegin=0,
TimeEnd=5,
PointSize=3,
Color=RGB::Green)
Zug2:=plot::Point2d(0,30*t, t=0..5,
TimeBegin=0,
TimeEnd=5,
PointSize=3,
Color=RGB::Red)
plot(Zug1, Zug2,
XAxisVisible=FALSE,
ViewingBox=[-1..1,-50..200])
Aufgabe 4:
Der erste Zug soll bei der y-Position y=100 starten und dem
zweiten Zug entgegenfahren.
Die andere Fahrtrichtung erhält man durch eine negative Geschwindigkeit.
Zug1:= plot::Point2d(0,100-20*t, t=0..5,
TimeBegin=0,
TimeEnd=5,
PointSize=3,
Color=RGB::Green)
Zug2:=plot::Point2d(0,30*t, t=0..5,
TimeBegin=0,
TimeEnd=5,
PointSize=3,
Color=RGB::Red)
plot(Zug1, Zug2,
XAxisVisible=FALSE,
ViewingBox=[-1..1,-50..200])
Aufgabe 5:
Zusätzlich soll der zweite Zug nun 2 Sekunden später starten als
der erste Zug.
Zug1:= plot::Point2d(0,100-20*t, t=0..5,
TimeBegin=0,
TimeEnd=5,
PointSize=3,
Color=RGB::Green)
Da der Zug2 2 Sekunden später startet, wird der Zeitfaktor
zu (t-2) verändert. Außerdem darf die Bewegung erst mit t=2s starten.
Zug2:= plot::Point2d(0,30*(t-2), t=2..5,
TimeBegin=2,
TimeEnd=5,
PointSize=3,
Color=RGB::Red)
plot(Zug1, Zug2,
XAxisVisible=FALSE,
ViewingBox=[-1..1,-50..200])
Wir halten folgende Formel für die gleichförmige Bewegung fest:
Aufgabe 6:
Um 9 Uhr 15 fährt ein Schnellzug mit einer Geschwindigkeit
von Wien Richtung Salzburg.
Um 9 Uhr 48 fährt ein
Gütterzug mit einer Geschwindigkeit
von Salzburg nach Wien. Die Strecke Wien Salzburg soll mit 300km
angenommen werden.
Stelle die Fahrt der Züge als Animation dar (1 Sekunde:= 1 Stunde)!
Für die Zeit ist die Uhrzeit zu verwenden.
Berechne, wann und wo begegnen einander die
beiden Züge?
Frames legt die Anzahl der Bilder der Animation fest. Ein hoher Wert
ermöglicht eine flüssige Animation.
Zug1:= plot::Point2d(0,90*(t-9.25), t=9.25..24,
TimeBegin=9.25,
TimeEnd=24,
PointSize=3,
Color=RGB::Green,Frames=200)
Zug2:=plot::Point2d(0,300-70*(t-9.8),t=9.8..24,
TimeBegin=9.8,
TimeEnd=24,
PointSize=3,
Color=RGB::Red,Frames=200)
YTicksDistance legt den Abstand zwischen bezeichneten Markierungen
auf der y-Achse fest.
plot(Zug1,Zug2,
XAxisVisible=FALSE,
ViewingBox=[-1..1,0..300],YTicksDistance=20)
Zur Berechnung des Zeitpunktes des Zusammentreffens
setzen wir die beiden Weg-Zeit-Gesetze gleich.
loes:= solve(90*(t-9.25)=300-70*(t-9.8),t)
ttreff:= op(loes)
Durch Einsetzen dieser Zeit in die Weg-Zeit-Gesetze erhalten wir
den Ort des Zusammentreffens.
90*(ttreff-9.25)
300-70*(ttreff-9.8)
2)Weg-Zeit-Diagramme:
Wieder wollen wir die Bewegunge eines Zuges darstellen.
Er soll bei der Position 10 starten und eine Geschwindigkeit
von 25m pro Sekunde besitzen.
Zunächst geben wird das Weg-Zeit-Gesetz des Zuges ein.
py:= t --> 10+25*t
Dann erzeugen wir die Animation der Zugsbewegung.
AnimationZug:= plot::Point2d(0,py(t), t=0..10,
TimeBegin=0,
TimeEnd=10,
PointSize=3,
Color=RGB::Blue,
Frames=200)
Es folgt der Graph des Weg-Zeit-Gesetzes, also der zurückgelegte
Weg in Abhängigkeit von der Zeit.
Wegzeit:= plot::Function2d(py(t), t=0..10)
Nun werden Animation und Weg-Zeit-Diagramm gleichzeitig dargestellt.
XAxisTitle legt die Bezeichnung der x-Achse fest.
plot(Wegzeit, AnimationZug,
ViewingBox=[0..10,0..300],
YTicksDistance=20,
XAxisTitle="t")
Um das Weg-Zeit-Diagramm besser zu verstehen, können wir
es durch eine Animation zeitlich entstehen lassen.
Erklärung des folgenden Befehls
Ende der Erklärung
AnimationWegZeit:= plot::Line2d([0,10],[t,py(t)],
t=0..10,
Color=RGB::Blue,
LineWidth=1)
plot(Wegzeit, AnimationZug, AnimationWegZeit,
ViewingBox=[0..10,0..300],YTicksDistance=20,XAxisTitle="t")
Vorteil des Weg-Zeit-Diagrammes gegenüber der Animation der
Bewegung ist, dass auch die Zeit abgelesen werden kann. Nachteil ist,
dass Graph gerne als Bahnkurve der Bewegung interpretiert wird.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen zum Einsatz von MuPAD in der Lehre finden Sie auf unserem WebPortal
MuPAD in Schule und Studium unter: http://schule.mupad.de bzw. http://studium.mupad.de.
2. Weitere Materialen für die Sek. I erhalten Sie unter http://schule.mupad.de insbesondere über
die Volltextsuche, Stichwort: Himmelbauer.
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