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Inhalt....: Bestimmung einer Funktionsgleichung aus Eigenschaften
Kategorie.: Unterrichtsmaterial
Mathematik: Analysis
MuPAD.....: 4.0.0
Datum.....: 2007-05-14
Autoren...: August Barkhausen <abarkhausen@gmx.de>
Funktionen: ->, -->, |, delete, solve, plot, plot::Function2d, plot::Point2d
Funktionen: table, Legend, Extension, Inifinite
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Bestimmung einer Funktionsgleichung aus gegebenen Eigenschaften
inklusive Berücksichtigung von Extremal- und Wendepunkten.
Im folgenden Beispiel soll die Vorgehensweisen zur Bestimmung der Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion aus Eigenschaften anhand eines auch manuell rechenbaren Beispiels dargestellt werden. Die manuelle Rechenbarkeit ermöglicht so eine leichte Überprüfung der Ergebnisse. Nachdem dann die grundsätzliche Vorgehensweise geklärt ist kann man die erlerntenTechniken auf komplexere, nicht mehr manuell rechenbare Beispiels übertragen.
Aufgabe: Gesucht ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades mit folgenden Eigenschaften:
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Ein Wendepunkt ist bei |
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Ein Tiefpunkt ist bei |
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Eine Nullstelle ist bei |
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Einige Variablen (Parameter) vorsichtshalber zurücksetzen (löschen), da sie nach vom Anwender während des Experimentierens in diesem Notebook ggf. mit Werten belegt wurden.
delete a,b,c,d,e,k,l
Eine ganzrationale Funktion 4. Grades lässt sich wie folgt schreiben:
f:= x -> a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e
Die ersten beiden Ableitungen sind:
f'(x)
f''(x)
f'''(x)
Bei manueller Rechnung wird man aus den Bedingungen für die Punkte nun Bedingungen für die Funktion und deren Ableitungen erschließen und daraus ein lineares Gleichungssystem erstellen, das man dann löst. Diese Vorgehensweise soll hier mit MuPAD Pro durchgeführt werden. Es ergeben sich folgende Bedingungen für die Funktion:
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Nullstelle ist bei |
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Tiefpunkt ist bei |
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Wendepunkt ist bei |
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Aufstellen und Lösen des Gleichungssystems:
Es wird, entsprechend der Reihenfolge der obigen Bedingungen mit k=24 und l=24, ein lineare Gleichungssystem aufgestellt:
N:= 2:
T:= -sqrt(3):
W:= 1:
Gleichungen:= {
f (N) = 0,
f' (T) = 0,
f'' (T) = k,
f'' (W) = 0,
f'''(W) = l
}:
k:= 24:
l:= 24:
Wir lassen uns zunächst die linken und rechten Seiten des aufgestellten Gleichungssystem noch einmal übersichtlich anzeigen
table(Gleichungen)
und berechnen und benennen dann die Lösung als L.
L:= solve(Gleichungen, {a,b,c,d,e})
Definition der Funktion und Probe:
Wir definieren unsere Funktion g nun als f "unter den Bedingungen" (= |) der Lösung L und lassen uns zudem den Funktionsterm g(x) anzeigen:
g:= f | L;
g(x)
Alternativ kann auch die folgende Schreibweise verwendet werden. Hinweis: Im Gegensatz zu -> wertet --> die rechte Seite des Operators (hier: "die Funktion f unter der Bedingung L") erst aus, bevor die Funktion / Abbildung definiert wird.
g:= x --> f(x) | L
Eine kleine Rechenprobe (g ausgewertet an der Nullstelle):
g(2) = float(g(2))
Der Funktionsgraph von g, ergänzt um die gegebenen Punkten der Aufgabenstellung, zeigt uns, dass der richtige Funktionsterm ermittelt wurde. Auf eine weitergehende Analyse wird verzichtet.
Punkte:= plot::Point2d( N, g(N), Legend="Nullstelle (gegeben)", Color=RGB::Red ),
plot::Point2d( T, g(T), Legend="Tiefpunkt (gegeben)", Color=RGB::Magenta ),
plot::Point2d( W, g(W), Legend="Wendestelle (gegeben)", Color=RGB::Green ):
plot( plot::Function2d( g(x), Legend="Ermittelte Funktion (k=".k.",l=".l.")", x=-3..3),
Punkte
)
Die Wahl der Werte k=24 und l=24 war willkürlich, aber so gewählt, dass im Ergebnis nur "glatte" Zahlen auftreten. Wie verändert sich der Funktionsterm der zu ermittelnden Funktion wenn man die Parameter k und l variiert?
Wir löschen dazu zunächst die Werte der Parameter k und l. Dann lösen wir unser Gleichungssystem mit den formalen Parametern k und l bzgl. {a, b, c, d, e} und definieren anschließend eine Funktionenschar h(x)[ k,l ].
delete k, l:
table(Gleichungen);
h:= x --> f(x) | solve(Gleichungen, {a,b,c,d,e})
Wir animieren den Funktionsgraph der Funktion h(x)[ k=24,l ] nun für den Parameter l = -24..48 (man beachte dabei , dass l=0 keine gültige Lösung ist, da es der Wendepunkt-Bedingung widerspricht):
plot( plot::Function2d( h(x)|k=24, x=-3..3, l=-24..48, Legend="Funktion, k=24, l=-24..48"),
TimeRange=-2.4..4.8,
plot::Line2d([T,0],[T,0.1], Color=RGB::Magenta, Extension = Infinite),
plot::Line2d([W,0],[W,0.1], Color=RGB::Green, Extension = Infinite),
Punkte
)
