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Inhalt....: Berechnung von Summen
Kategorie.: Handwerkskasten
Mathematik: Analysis
MuPAD.....: 3.0.0
Datum.....: 2002-02-06
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: sum, infinity, nops
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Elementare MuPAD-Funktionen:
Berechnung von Summen
Summation ist per Hand oder mit dem Taschenrechner oft eine leidige Angelegenheit - vor
allem dann, wenn man nicht nur über zwei, sondern vielleicht über 10 oder 2000 Summanden
addieren möchte.
Summation erledigt man in MuPAD mit Hilfe der Funktion sum. Sie erhält
stets zwei Argumente:
1. Argument: Die Folge oder mathematische Vorschrift, über deren Werte
aufsummiert werden soll
2. Argument: Der Laufindex der Summe, in Form einer Gleichung
Laufindex = untere_Grenze..obere_Grenze.
Ein Aufruf ist also im allgemeinen stets von der Form
sum( Folge, Laufindex = untere_Grenze..obere_Grenze ).
Betrachten wir einige Beispiele. Wir wollen die Summe der Zahlen von 1 bis
100 berechnen. Schon Carl Friedrich Gauß wußte: Das Ergebnis ist gegeben
durch
(100*101) / 2
Wir können uns nun die Summe auch explizit berechnen lassen:
sum(i, i = 1..100)
Für die Summe der ersten 100 Quadratzahlen gibt es ebenfalls
entsprechende Formeln. Wir verzichten hier jedoch auf diese
Formeln und berechnen die Summe explizit mit Hilfe von sum:
sum(i^2, i = 1..100)
Nützlich ist die Funktion sum darüber hinaus auch dann, wenn über die Werte
einer Liste L aufsummiert werden soll. Solche Anwendungen tauchen recht
häufig in der Stochastik, bei der Berechnung von Erwartungswerten oder
Varianzen, auf.
L sei ein Liste mit den folgenden Elementen
L:= [31,11,73,35,343,6,5,323,21,6,9,23,21,45,76,23,
122,456,67,88,89]
Wir erfragen die Länge der Liste über den Befehl nops (number of oprands):
nops(L)
Jetzt lässt sich die Summe über all ihre Elemente spielend leicht und vor allem
schnell berechnen. Mit L[ i ] erhalten wir das i-te Element der Liste. Wir
summieren für i = 1 bis 21 auf.
sum(L[i], i = 1..21)
Ebenso kann man über die Elemente von Mengen aufsummieren.
Neben konkreten Summationen bietet MuPAD zudem die Möglichkeit mit
allgemeinen Laufindizes zu arbeiten: So liefert uns MuPAD z.B. die
Formel von Gauß oder die Formel zur Berechnung der ersten n
Quadratzahlen:
sum(i, i = 1..n)
sum(i^2, i = 1..n)
Auch unendliche Summen können wir auf diese Weise berechnen: Die
harmonische Reihe divergiert und MuPAD liefert uns das korrekte Ergebnis
sum(1/i, i = 1..infinity)
Im Gegensatz dazu wurde die Konvergenz der Reihe
bereits von Euler gezeigt. Wir erhalten das Ergebnis
sum(1/i^2, i = 1..infinity)
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Aufgaben:
1. Berechnen Sie die folgenden Summen mit MuPAD:
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie unter: http://schule.mupad.de bzw. http://studium.mupad.de
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