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Inhalt....: Berechnung des asymptotischen Verhaltens einer Funktion
Kategorie.: Handwerkskasten
Mathematik: Analysis
MuPAD.....: 3.1.0
Datum.....: 2002-02-06
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: limit, infinity, plotfunc2d, YRange, ->
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Elementare MuPAD-Funktionen:
Asymptotisches Verhalten von Funktionen
Grenzverhalten von Funktionen kann in der Regel nicht mit einem gewöhnlichen
Taschenrechner bestimmt werden. Dazu bedarf es mächtigerer Werkzeuge. Eine
Möglichkeit, solches asymptotisches Verhalten von Funktionen zu bestimmen,
bietet MuPAD in Form der Funktion limit.
Wir wollen die MuPAD Funktion limit zur Berechnung des asymptotischen
Verhaltens einer Funktion an den Rändern ihres Definitionsbereichs
kennenlernen.
Die Funktion limit erhält stets zwei Argumente:
1. Argument: Die Funktion, deren Verhalten bestimmt werden soll.
2. Argument: Eine Gleichung, die angibt, welchen Grenzwert wir
betrachten möchten.
Rückgabewert ist der Grenzwert der Funktion an der angegebenen Stelle.
Versuchen wir, limit zu verwenden, um das asymptotische Verhalten der
e-Funktion zu bestimmen:
f:= x -> exp(x)
Der Graph der Funktion ist gegeben durch
plotfunc2d(f(x), x = -3..3, YRange = -1..10)
Man sieht ganz deutlich: Die Funktion ist auf der gesamten reellen Achse
definiert. Für x gegen minus Unendlich strebt f gegen 0, für x gegen
Unendlich strebt sie gegen Unendlich.
In MuPAD steht infinity für den Wert Unendlich. Damit können wir das
asymptotische Verhalten wie folgt bestimmen:
limit(f(x), x = infinity)
und entsprechend für x gegen minus Unendlich
limit(f(x), x = -infinity)
Betrachten wir nun eine gebrochenrationale Funktion der Gestalt
g:= x -> (x^2 - 5*x + 3) / (x^2 - 9)
Die Funktion besitzt an den Stellen x = 3 und x = -3 Pole. Die
Grenzwerte an diesen Polen sind unter Umständen unterschiedlich,
je nachdem, ob wir den Grenzwert von links oder von rechts
betrachten.
plotfunc2d(g(x), x = -10..10, YRange = -10..10)
Als drittes Argument können wir der Funktion limit auch die Option Left
oder Right zur linksseitigen bzw. rechtsseitigen Grenzwertbestimmung
übergeben.
Es gilt also, wie man an der obigen Graphik unschwer verifizieren kann:
limit(g(x), x = -3, Left),
limit(g(x), x = -3, Right);
limit(g(x), x = 3, Left),
limit(g(x), x = 3, Right);
Für x gegen Unendlich bzw. x gegen minus Unendlich erhalten wir
limit(g(x), x = infinity),
limit(g(x), x = -infinity);
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Aufgaben:
1. Berechnen Sie mit Hilfe der Funktion limit wie oben das asymptotische Verhalten der angegebenen
Funktionen:
(a) f:= 4*x^2 - 2*x
(b) g:= (6*x - 3) / (x^2 - 1)
(c) h:= 1 / exp(x)
(d) l:= 3*exp(x) - 1
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie unter: http://schule.mupad.de bzw. http://studium.mupad.de
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