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Inhalt....: Asymptotisches Verhalten von Funktionen
Kategorie.: Grundkurs
Mathematik: Analysis
MuPAD.....: 3.1.0
Datum.....: 2005-04-04
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: limit, infinity, Left, Right, partfrac, ->
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Asymptotisches Verhalten von Funktionen
Dieses Arbeitsblatt ist Bestandteil des MuPAD Grundkurses.
Bei der Diskussion gebrochen-rationaler Funktionen ist oft das Verhalten dieser
Funktionen in einer Umgebung ihrer Definitionslücken sowie ihr Verhalten für x
gegen unendlich und x gegen minus unendlich von Interesse. MuPAD bietet mit
der Funktion "limit" die Möglichkeit, Grenzwerte von Funktionen zu berechnen.
Die Aufrufsyntax dieser MuPAD Routine ist ganz ähnlich zum Gebrauch von
"solve": Als erstes Argument übergibt man den Funktionsterm, als zweites
Argument eine Gleichung der Form "Funktionsvariable = Wert". Ein Aufruf der
Form "limit(f, x = infinity)" berechnet den Grenzwert der Funktion f für x gegen
unendlich. Ganz analog lässt sich mittels "limit(f, x = -infinity)" der Grenzwert der
Funktion f für x gegen minus unendlich bestimmen. Anstelle von "infinity" und
"-infinity" können wir genauso gut jede andere Zahl betrachten und den ent-
sprechenden Grenzwert, wenn x gegen diese Zahl konvergiert, berechnen.
Einige Beispiele werden wie immer für Klarheit sorgen:
f:= x -> 1/x
limit(f(x), x = infinity)
limit(f(x), x = -infinity)
Dies sind die Ergebnisse, die wir auch erwartet haben. Die Hyperbelfunktion
1/x besitzt die x-Achse als waagerechte Asymptote und nähert sich dieser
sowohl für x gegen unendlich als auch für x gegen minus unendlich.
Als nächstes wollen wir ein wenig kompliziertere Funktionen betrachten:
g:= x -> (3*x^2 + 2*x) / (4*x^2 - 3)
limit(g(x), x = infinity)
limit(g(x), x = -infinity)
h:= x -> x^3 - x
limit(h(x), x = infinity)
limit(h(x), x = -infinity)
Anhand des letzten Beispiels kann man sehr schön erkennen, dass MuPAD
uns auch uneigentliche Grenzwerte berechnet, also die Werte unendlich bzw.
minus unendlich liefert im Fall des kubischen Polynoms x^3 - x liefert.
Bei gebrochen-rationalen Funktionen mit Polstellen können wir den Grenz-
wert an einer Polstelle nicht auf die bisherige Weise berechnen, wie es das
folgende Beispiel der Funktion k zeigt, die bei x = -1 und bei x = 1 Polstellen
besitzt:
k:= x -> (x^2 + 1) / (1 - x^2)
limit(k(x), x = 1)
limit(k(x), x = -1)
Die Antwort, die uns MuPAD gibt ist "undefiniert", d.h. der Grenzwert existiert
nicht (nicht einmal im uneigentlichen Sinn). Um zu sehen, warum MuPAD uns
diesen Grenzwert nicht einfach berechnet, werfen wir einen Blick auf den Graphen
der Funktion (wir werden erst ein wenig später genauer lernen, wie wir mit MuPAD
Funktionen grafisch darstellen können - an dieser Stelle geben wir daher nur den
Graphen, nicht aber den Weg an, wie man ihn mit MuPAD erzeugt). Die Funktion,
die wir betrachten, sieht wie folgt aus:
Schauen wir uns den Graphen der Funktion an, so sind die Grenzwerte
an den Stellen x = -1 und x = 1 der Funktion durchaus verschieden - je
nachdem, ob man sich von rechts oder von links nähert. Generell müssen
wir in MuPAD bei der Untersuchung von Definitionslücken stets angeben,
ob wir den "rechtsseitigen Grenzwert" oder den "linksseitigen Grenzwert"
an einer Stelle berechnet haben möchten. Den "rechtsseitigen Grenzwert"
berechnet uns MuPAD, wenn wir dem Aufruf der Funktion "limit" als drittes
Argument die Zusatzoption "Right" übergeben. Entsprechend erhalten wir
den "linksseitigen Grenzwert" durch zusätzliche Angabe der Option "Left"
als drittes Argument bei einem Aufruf von "limit". In unserem Beispiel sieht
dies wie folgt aus:
limit(k(x), x = -1, Left),
limit(k(x), x = -1, Right)
limit(k(x), x = 1, Left),
limit(k(x), x = 1, Right)
Vergleichen wir die berechneten uneigentlichen Grenzwerte mit dem Graphen
der Funktion k (siehe oben), so wird deutlich, dass die Ergebnisse korrekt sein
müssen.
Auf eine letzte Besonderheit gilt es an dieser Stelle noch zu verweisen: Betrachtet
man gebrochen-rationale Funktionen, deren Zählergrad größer ist als ihr Nennergrad,
so sind die Grenzwerte von x gegen unendlich und x gegen minus unendlich stets
uneigentlich (d.h. also gleich unendlich oder gleich minus unendlich). In der Regel
genügt einem diese Information aber. Man sucht zusätzlich eine einfachere Funktion,
der sich die entsprechende gebrochen-rationale Funktion im Unendlichen annähert.
Den Term einer solchen Funktion können wir nicht mit "limit" berechnen. Stattdessen
können wir jedoch die MuPAD Funktion "partfrac" benutzen, die eine Partialbruchzer-
legung berechnet. Anhand der Partialbruchzerlegung lässt sich dann die Asymptote
ablesen. Auch dazu betrachten wir ein Beispiel:
l:= x -> (x^3 - 2*x + 1) / (2*x^2 - 2)
partfrac(l(x))
An der Ausgabe erkennt man leicht, dass für x gegen unendlich oder minus unendlich
der Ausdruck, in dem x nur im Nenner auftaucht, gegen Null konvergiert. Damit ist
sowohl für x gegen unendlich als auch für x gegen minus unendlich die lineare Funktion
x/2 eine Asymptote des Graphen der Funktion l.
Im "Handwerkskasten" finden sich in dem Notebook "Berechnung des asymptotischen
Verhaltens einer Funktion" zusätzliche Beispiele und weitere ergänzende Erklärungen
zum Umgang mit der Funktion "limit". Zur Berechnung der Partialbruchzerlegung finden
sich weitere Informationen in dem Notebook "Partialbruchzerlegung", welches eben-
falls im "Handwerkskasten" verfügbar ist.
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Übungen:
1. Untersuchen Sie das Verhalten der folgenden Funktionen an den Rändern ihres Definitionsbereichs
__und an ihren Polstellen (falls vorhanden).
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie unter: http://schule.mupad.de bzw. http://studium.mupad.de
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