________________________________________________________________________________
Inhalt....: Analytische Geometrie mit MuPAD - Übung 21
Kategorie.: Arbeitsblatt
Mathematik: Geometrie R^2, Geometrie R^3, Lineare Algebra
MuPAD.....: 3.1.0
Datum.....: 2004-09-30
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: matrix, plot, plot::Curve3d, Color, RGB::Red, RGB::Blue, solve
________________________________________________________________________________
Analytische Geometrie mit MuPAD - Übung 21
Dieses Arbeitsblatt stellt eine mögliche Lösung der oben genannten Aufgabe aus dem Buch
"Analytische Geometrie mit MuPAD" (Band 10 der Reihe "Mathematik 1 x anders -
Materialien und Werkzeuge für computerunterstütztes Lernen, SciFace Software, 2004).
Dieses Buch steht unter der Adresse schule.mupad.de/literatur im PDF-Format zum kosten-
losen Download bereit.
-
Zuerst definieren wir die Parameterformen der Geraden in MuPAD:
ParameterformG1:= matrix([ 2,1,-2]) + k * matrix([ 3,-2, 2]):
ParameterformG2:= matrix([-4,5,-6]) + l * matrix([-2, 1,-4]):
ParameterformG3:= matrix([-2,3,-4]) + m * matrix([ 1,-2, 3]):
Wir zeichnen die Gerade g1 in roter Farbe, die Gerade g2 in blauer Farbe
und die Gerade g3 in grüner Farbe:
g1:= plot::Curve3d(ParameterformG1, k = -3..0,
Color = RGB::Red):
g2:= plot::Curve3d(ParameterformG2, l = -2..2,
Color = RGB::Blue):
g3:= plot::Curve3d(ParameterformG3, m = -1..1,
Color = RGB::Green):
plot(g1, g2, g3)
Die blaue und die rote Gerade scheinen sich zu schneiden, während die
grüne Gerade windschief sowohl zu der roten als auch zu der blauen
Gerade zu verlaufen scheint. Unsere Vermutungen sind also:
1.) g1 und g2 schneiden sich.
2.) g1 und g3 sind windschief.
3.) g2 und g3 sind windschief.
Wir stellen das Gleichungssystem auf, das sich ergibt, wenn wir g1
und g2 gleichsetzen:
Gl:= {ParameterformG1[1] = ParameterformG2[1],
ParameterformG1[2] = ParameterformG2[2],
ParameterformG1[3] = ParameterformG2[3]}
Auflösen nach k und l ergibt:
solve(Gl, {k, l})
Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung, d..h. g1 und g2 schneiden
sich in der Tat und wir erhalten den Ortsvektor des Schnittpunktes, indem
wir l = 0 in die Parameterform der Geraden g2 einsetzen:
ParameterformG2 | l = 0
Damit ist die Behauptung 1.) bewiesen.
Zum Beweis von 2.) müssen wir zuerst zeigen, dass g1 und g3 verschiedenen
Richtungen haben, d.h. dass ihre Richtungsvektoren keine Vielfache voneinan-
der sind:
matrix([3,-2,2]) = p * matrix([1,-2,3])
Wir stellen das Gleichungssystem auf, dass sich aus den drei
Komponenten ergibt und lösen es nach p:
Gl:= {3 = p, -2 = -2*p, 2 = 3*p}
solve(Gl, p)
Das Gleichungssystem hat keine Lösung, d.h. die Richtungsvektoren
von g1 und g3 sind keine skalaren Vielfachen voneiander, was wiederum
bedeutet, dass g1 und g3 verschiedene Richtungen haben. Wenn nun
g1 und g3 auch keinen gemeinsamen Punkt haben, so müssen sie
windschief sein:
Gl:= {ParameterformG1[1] = ParameterformG3[1],
ParameterformG1[2] = ParameterformG3[2],
ParameterformG1[3] = ParameterformG3[3]}
solve(Gl, {m ,k})
Dies zeigt unsere Behauptung.
Zum Beweis von 3.) müssen wir wieder zeigen, dass g2 und g3 verschiedenen
Richtungen haben, d.h. dass ihre Richtungsvektoren keine Vielfache voneinan-
der sind:
matrix([-2,1,-4]) = p * matrix([1,-2,3])
Wir stellen das Gleichungssystem auf, dass sich aus den drei
Komponenten ergibt und lösen es nach p:
Gl:= {-2 = p, 1 = -2*p, -4 = 3*p}
solve(Gl, p)
Das Gleichungssystem hat keine Lösung, d.h. die Richtungsvektoren
von g2 und g3 sind keine skalaren Vielfachen voneiander. Wenn g2
und g3 auch keinen gemeinsamen Punkt haben, so müssen sie wind-
schief sein:
Gl:= {ParameterformG2[1] = ParameterformG3[1],
ParameterformG2[2] = ParameterformG3[2],
ParameterformG2[3] = ParameterformG3[3]}
solve(Gl, {l ,m})
Dies zeigt die Behauptung 3.)
________________________________________________________________________________
Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
________________________________________________________________________________