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Inhalt....: Analytische Geometrie mit MuPAD - Übung 20
Kategorie.: Arbeitsblatt
Mathematik: Geometrie R^2, Geometrie R^3, Lineare Algebra
MuPAD.....: 3.1.0
Datum.....: 2004-09-30
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: matrix, plot, plot::Curve3d, Color, RGB::Red, RGB::Blue, solve
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Analytische Geometrie mit MuPAD - Übung 20
Dieses Arbeitsblatt stellt eine mögliche Lösung der oben genannten Aufgabe aus dem Buch
"Analytische Geometrie mit MuPAD" (Band 10 der Reihe "Mathematik 1 x anders -
Materialien und Werkzeuge für computerunterstütztes Lernen, SciFace Software, 2004).
Dieses Buch steht unter der Adresse schule.mupad.de/literatur im PDF-Format zum kosten-
losen Download bereit.
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Zuerst definieren wir die Parameterformen der Geraden in MuPAD:
ParameterformG1:= matrix([ 2,1,-2]) + k * matrix([ 3, -2, 2]):
ParameterformG2:= matrix([-4,5,-6]) + l * matrix([-6, 4, -4]):
ParameterformG3:= matrix([-2,3,-4]) + m * matrix([ 1,-2/3,2/3]):
Wir zeichnen die Gerade g1 in roter Farbe, die Gerade g2 in blauer Farbe
und die Gerade g3 in grüner Farbe:
g1:= plot::Curve3d(ParameterformG1, k = -1..1,
Color = RGB::Red):
g2:= plot::Curve3d(ParameterformG2, l = -1..1,
Color = RGB::Blue):
g3:= plot::Curve3d(ParameterformG3, m = -5..5,
Color = RGB::Green):
plot(g1, g2, g3)
Die blaue und die rote Gerade scheinen identisch zu sein und die
grüne Gerade scheint parallel zu der blauen und der roten Gerade
zu verlaufen. Unsere Vermutungen sind also:
1.) g1 und g2 sind identisch.
2.) g3 ist parallel zu g1 (und damit auch zu g2, wenn wir 1 gezeigt haben).
Wir stellen das Gleichungssystem auf, das sich ergibt, wenn wir g1
und g2 gleichsetzen:
Gl:= {ParameterformG1[1] = ParameterformG2[1],
ParameterformG1[2] = ParameterformG2[2],
ParameterformG1[3] = ParameterformG2[3]}
Auflösen nach k und l ergibt:
solve(Gl, {k, l})
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, d.h. g1 und g2
sind in der Tat identisch. Damit ist die Behauptung 1.) bewiesen.
Zu Beweis von 2.) müssen wir zuerst zeigen, dass g3 und g1 die
gleiche Richtung haben, d.h. dass ihre Richtungsvektoren
Vielfache voneinander sind:
matrix([3,-2,2]) = p * matrix([ 1,-2/3,2/3])
Wir stellen das Gleichungssystem auf, dass sich aus den drei
Komponenten ergibt und lösen es nach p:
Gl:= {3 = p, -2 = -2*p/3, 2 = 2*p/3}
solve(Gl, p)
Der Richtungsvektor von g3 multipliziert mit 3 ergibt also den Richtungs-
vektor von g1, d.h. g1 und g3 haben die gleiche Richtung. Wir müssen
nur noch zeigen, dass die beiden Geraden keinen gemeinsamen
Punkt haben. Wir setzen also die Parameterformen gleich und lösen
das entstehende Gleichungssystem nach k und m auf:
Gl:= {ParameterformG1[1] = ParameterformG3[1],
ParameterformG1[2] = ParameterformG3[2],
ParameterformG1[3] = ParameterformG3[3]}
solve(Gl, {m ,k})
Die Lösungsmenge ist leer, d.h. g1 und g3 haben keinen gemeinsamen
Punkt und müssen folglich parallel sein.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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