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Inhalt....: Analytische Geometrie mit MuPAD - Übung 11
Kategorie.: Arbeitsblatt
Mathematik: Geometrie R^2, Geometrie R^3, Lineare Algebra
MuPAD.....: 3.1.0
Datum.....: 2004-09-30
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: matrix, linalg::scalarProduct, norm, solve
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Analytische Geometrie mit MuPAD - Übung 11
Dieses Arbeitsblatt stellt eine mögliche Lösung der oben genannten Aufgabe aus dem Buch
"Analytische Geometrie mit MuPAD" (Band 10 der Reihe "Mathematik 1 x anders -
Materialien und Werkzeuge für computerunterstütztes Lernen, SciFace Software, 2004).
Dieses Buch steht unter der Adresse schule.mupad.de/literatur im PDF-Format zum kosten-
losen Download bereit.
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Wir definieren die beiden allgemeinen Vektoren v und w in MuPAD:
assume({v1, v2, v3, w1, w2, w3}, Type::Real):
v:= matrix([v1, v2, v3]):
w:= matrix([w1, w2, w3]):
Sind v und w orthogonal, so beträgt der Winkel alpha zwischen beiden
Vektoren PI/2 (im Bogenmaß gerechnet):
alpha:= PI/2
Die rechte Seite der Formel zur Berechnung des Winkels alpha lautet:
Rechte_Seite:= linalg::scalarProduct(v, w)/(norm(v, 2) * norm(w,2))
Die linke Seite der Formel zur Berechnung des Winkels alpha lautet:
Linke_Seite:= cos(alpha)
Setzen wir die rechte und die linke Seite gleich und multiplizieren wir
bei Seiten mit dem Nenner der rechten Seite, so ergibt sich:
Nenner:= denom(Rechte_Seite):
Linke_Seite * Nenner = Rechte_Seite * Nenner
Die rechte Seite der letzten Gleichung ist aber gerade das Skalarprodukt
von v und w, d.h. wir haben die erste Richtung der Behauptung gezeigt.
delete alpha:
Andererseits: Wenn das Skalarprodukt von v und w gleich Null ist,
dann gilt
Skalarprodukt:= linalg::scalarProduct(v, w) = 0
Der Winkel alpha zwischen v und w ergibt sich aus der Gleichung
Gleichung:= cos(alpha) =
linalg::scalarProduct(v, w)/(norm(v, 2) * norm(w, 2))
Setzen wir dort für das Skalarprodukt den Wert Null ein, so erhalten wir
Gleichung | Skalarprodukt
Diese Gleichung können wir leicht nach alpha auflösen:
solve(cos(alpha) = 0, alpha)
Da wir im Prinzip den betragsmässig kleinsten Winkel suchen, kommt
nur PI/2 also Ergebnis in Frage (d.h. in der obigen Lösungsmenge das
Element für k = 0). Dies bedeutet aber, dass v und w orthogonal sind.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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