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Inhalt....: Abstand zweier paralleler Geraden
Kategorie.: Unterrichtsmaterial
Mathematik: Geometrie R^2, Geometrie R^3, Lineare Algebra
MuPAD.....: 3.1.0
Datum.....: 2004-09-30
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: plot, matrix, plot::Curve3d, Color, RGB::Red,
Funktionen: RGB::Blue, plot::Point3d, solve, assume, Type::Real,
Funktionen: linalg::scalarProduct, plot::Curve3d, norm
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Abstand zweier paralleler Geraden
Dieses Arbeitsblatt basiert auf dem gleichbetitelten Abschnitt des Buches "Analytische
Geometrie mit MuPAD" (Band 10 der Reihe "Mathematik 1 x anders - Materialien und
Werkzeuge für computerunterstütztes Lernen, SciFace Software, 2004).
Dieses Buch steht unter der Adresse schule.mupad.de/literatur im PDF-Format zum kosten-
losen Download bereit.
Wissen gehen davon aus, dass die beiden Geraden
parallel sind, so hat jeder Punkt auf der Geraden h den gleichen Abstand von
der Geraden g. Wir können uns also einfach irgendeinen Punkt auf h aussuchen
und nach einer möglichen Variante den Abstand dieses Punktes zur Geraden
g berechnen. In jedem Fall liegt der Punkt B mit Ortsvektor b auf h, d.h. der
Punkt B ist die einfachste Wahl, die wir treffen können.
Betrachten wir ein Beispiel. Die beiden Geraden
sind parallel (diese Behauptung ist in den Übungsaufgaben am Ende dieses
Abschnitts nachzuweisen). Wir definieren beide Geraden in MuPAD und zeichnen
Sie zusammen mit ihren Antragspunkten in ein gemeinsames Koordinatensystem:
ParameterformG:= matrix([1,2,1]) + k*matrix([1,-1,1]):
ParameterformH:= matrix([2,2,2]) + r*matrix([1,-1,1]):
OrtsvektorA:= matrix([1,2,1]):
OrtsvektorB:= matrix([2,2,2]):
A:= plot::Point3d(OrtsvektorA):
B:= plot::Point3d(OrtsvektorB, Color = RGB::Red):
g:= plot::Curve3d(ParameterformG, k = -1..1):
h:= plot::Curve3d(ParameterformH, r = -1..1,
Color = RGB::Red):
plot(A, B, g, h)
Der Abstand von g und h ist also der Abstand des Punktes P(2|2|2) (Stützpunkt
der Geraden h) zu der Geraden g. Diesen Abstand berechnen wir wie folgt:
OrtsvektorL:= ParameterformG
für einen zu bestimmenden Wert für k. Die Orthogonlitätsbedingung lautet:
Gl:= linalg::scalarProduct(OrtsvektorB - OrtsvektorL,
matrix([1,-1,1])) = 0
Das Auflösen der Gleichung nach k erledigt wie immer solve für uns:
solve(Gl, k)
Damit ist der Ortsvektor des Lotfußpunktes von P aus auf die Gerade g ge-
geben durch:
OrtsvektorL:= ParameterformG | k = 2/3
d:= norm(OrtsvektorB - OrtsvektorL, 2)
Auf 10 signifikante Stelle gerundet ergibt sich damit das Endergebnis
float(d)
Übungen:
(i) Zeigen Sie rechnerisch, dass die beiden Geraden g und h, die
zu Beginn dieses Arbeitsblattes definiert wurden, in der Tat parallel
sind.
(ii) Gegeben seien die beiden Geraden
Zeigen Sie, dass g und h parallel sind und berechnen Sie ihren Ab-
stand. Zeichnen Sie anschließend die beiden Geraden sowie den
von Ihnen gewählten Lotvektor mit den Lotfußpunkten in ein gemein-
sames Koordinatensystem.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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