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Inhalt....: Abstand zweier Punkte
Kategorie.: Unterrichtsmaterial
Mathematik: Geometrie R^2, Geometrie R^3, Lineare Algebra
MuPAD.....: 3.1.0
Datum.....: 2004-09-30
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: plot, matrix, plot::Arrow3d, Color, RGB::Green, plot::Point3d
Funktionen: assume, Type::Real, norm, ViewingBox
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Abstand zweier Punkte
Dieses Arbeitsblatt basiert auf dem gleichbetitelten Abschnitt des Buches "Analytische
Geometrie mit MuPAD" (Band 10 der Reihe "Mathematik 1 x anders - Materialien und
Werkzeuge für computerunterstütztes Lernen, SciFace Software, 2004).
Dieses Buch steht unter der Adresse schule.mupad.de/literatur im PDF-Format zum kosten-
losen Download bereit.
Wir können mit Hilfe des Längenbegriffs für Vektoren im R² und R³ nun den
Abstand zwischen zwei Punkten im Zweidimensionalen ebenso wie im Drei-
dimensionalen berechnen.
Im folgenden beschäftigen wir uns nur mit dem Fall, dass der Abstand zweier
Punkte P(p1|p2|p3) und Q(q1|q2|q3) im Raum berechnet werden soll.
Die Abstandsberechnung zweier Punkte im Zweidimensionalen macht man im
Prinzip genau so wie im dreidimensionalen Fall.
Gegeben seien die beiden Punkte P(1|1|1) und Q(-3|0|-4), die wir zunächst mit
MuPAD in ein gemeinsames Koordinatensystem zeichnen:
P:= plot::Point3d([1,1,1]):
Q:= plot::Point3d([-3,0,-4], Color = RGB::Green):
plot(P, Q, ViewingBox = [-5..5, -5..5, -5..5])
Wie kann man nun den Abstand von P und Q berechnen? Der Abstand der
beiden Punkte entspricht offensichtlich genau der Länge des Vektors zwischen
den beiden Punkte:
VektorPQ:= plot::Arrow3d([1,1,1], [-3,0,-4]):
plot(P, Q, VektorPQ, ViewingBox = [-5..5, -5..5, -5..5])
Wir müssen also nur die Länge des in blauer Farbe eingezeichneten Vektors
bestimmen. Geometrisch ist der blaue Vektor genau der Differenzvektor der
Vektoren
OrtsvektorP:= matrix([1,1,1]);
OrtsvektorQ:= matrix([-3,0,-4])
Geometrisch ist der blaue Vektor ja nichts anderes, als der "Weg'' von P nach Q.
Man gelangt aber von P nach Q, indem man von P aus den zugehörigen Ortsvektor
in entgegengesetzter Richtung zum Ursprung (0|0|0) zurückläuft und dann den Orts-
vektor zum Punkt Q in Pfeilrichtung vom Ursprung (0|0|0) hin zum Punkt Q folgt.
Damit ist also der Abstand von P und Q gegeben durch
norm(OrtsvektorQ - OrtsvektorP, 2)
Ganz allgemein können wir für die Berechnung des Abstands zweier allgemeiner
Punkte P(p1|p2|p3) und Q(q1|q2|q3) mit MuPAD die folgende Formel
angeben:
assume({p1,p2,p3,q1,q2,q3}, Type::Real):
OrtsvektorP:= matrix([p1,p2,p3]):
OrtsvektorQ:= matrix([q1,q2,q3]):
AbstandPQ:= norm(OrtsvektorQ - OrtsvektorP, 2)
Übungen:
(i) Zeichen Sie die beiden Punkte P(1|5|-2) und Q(-1|1|-1)
in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie den
Vektor von P nach Q sowie die Ortsvektoren der Punkte
P und Q mit in das Koordinatensystem. Berechnen Sie
dann den Abstand der beiden Punkte.
(ii) Finden Sie mit MuPAD eine Formel, mit deren Hilfe sich
allgemein der Abstand eines Punkte P(p1|p2|p3) mit reellen
Zahlen p1,p2,p3 vom Koordinatenursprung berechnen lässt.
(iii) Finden Sie mit MuPAD eine Formel, mit der sich der Ab-
stand zweier allgemeiner Punkte P(p1|p2) und Q(q1|q2) im
R² mit reellen Zahlen p1,p2,q1,q2 rechnen lässt.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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