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Inhalt....: Abstand windschiefer Geraden im R^3
Kategorie.: Unterrichtsmaterial
Mathematik: Geometrie R^2, Geometrie R^3, Lineare Algebra
MuPAD.....: 3.1.0
Datum.....: 2004-09-30
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: plot, matrix, plot::Curve3d, Color, RGB::Red, plot::Arrow3d,
Funktionen: RGB::Blue, plot::Point3d, solve, assume, Type::Real,
Funktionen: linalg::scalarProduct, plot::Curve3d, norm
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Abstand windschiefer Geraden im R³
Dieses Arbeitsblatt basiert auf dem gleichbetitelten Abschnitt des Buches "Analytische
Geometrie mit MuPAD" (Band 10 der Reihe "Mathematik 1 x anders - Materialien und
Werkzeuge für computerunterstütztes Lernen, SciFace Software, 2004).
Dieses Buch steht unter der Adresse schule.mupad.de/literatur im PDF-Format zum kosten-
losen Download bereit.
Nicht ganz so einfach wie bei einem gegebenen Punkt den Abstand von einer
Geraden zu bestimmen oder auch den Abstand zweier paralleler Geraden zu
berechnen ist es, wenn die beiden Geraden windschief sind. Seien
windschief. Um den Abstand von g und h zu berechnen, müssen wir im Prinzip
natürlich auch wieder den Abstand eines Punktes auf h von der Geraden g (oder
umgekehrt) bestimmen. Im Gegensatz zu parallelen Geraden können wir uns
diesen Punkt auf der Geraden h aber nicht frei auswählen.
Es gibt auf jeder der beiden windschiefen Geraden genau einen Punkt, der von
dem jeweils anderen Punkt auf der zweiten Geraden minimalen Abstand hat.
Wir bezeichnen den entsprechenden Punkt auf g mit L1 und den entsprechen-
den Punkt auf h mit L2. Wir stellen uns jetzt einfach vor, wir hätten die Punkte
L1 bzw. L2 bereits berechnet.
Wie schon bei der Bestimmung des Abstands eines Punktes von einer Geraden,
muss dann der Vektor L1L2 senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden g
stehen, d.h.
Ebenso muss er aber auch senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden h
stehen, d.h.
Weil L1 ein Punkt der Geraden g ist und L2 ein Punkt der Geraden h ist, muss
es Werte für k und r geben derart, dass für die Ortsvektoren von L1 bzw. L2 gilt:
Die gesamte Situation ist in dem oben genannten Buch in Form einer MuPAD-Grafik
illustriert.
Läßt sich das Problem nun lösen? Die Antwort ist: Ja, denn die Komponenten von
L1L2 = l2 - l1 hängen zwar jetzt von zwei Parametern ab (nämlich von k und von r),
aber wir haben auch zwei Bedignungen. Diese beiden Bedingungen liefern uns ein
Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten, dass, sofern die
beiden Geraden in der Tat windschief sind, auch immer eine eindeutige Lösung
besitzt. Ist das Gleichungssystem gelöst, so müssen wir die Werte für k und r nur
noch in die Parameterformen der Geraden gbzw. h einsetzen und erhalten so die
Ortsvektoren der Punkte L1 und L2. Der Abstand von g und h ist dann entsprechend
durch die Länge des Vektors L1L2 gegeben.
Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an: Die beiden Geraden
sind windschief (diese Behauptung ist in den Übungsaufgaben am Ende dieses
Abschnitts nachzuweisen). Wir definieren ihre Parameterformen in MuPAD und
zeichnen beide Geraden zunächst in ein gemeinsames Koordinatensystem:
ParameterformG:= matrix([1,1,1]) + k * matrix([1,-1,1]):
ParameterformH:= matrix([1,1,2]) + r * matrix([-1,-1,1]):
g:= plot::Curve3d(ParameterformG, k = -1..1):
h:= plot::Curve3d(ParameterformH, r = -1..1,
Color = RGB::Red):
plot(g,h)
Da die Lotfußpunkte L1 und L2, die wir nun finden müssen, nach unseren obigen
Ausführungen Punkte der Geraden g bzw. h sind, gilt:
OrtsvektorL1:= ParameterformG;
OrtsvektorL2:= ParameterformH;
Die Orthogonalität des Vektors L1L2 = l2 - l1 zu den beiden Richtungsvektoren der
Geraden führt auf die beiden linearen Gleichungen:
Gl1:= linalg::scalarProduct(
OrtsvektorL2 - OrtsvektorL1,
matrix([1,-1,1])) = 0;
Gl2:= linalg::scalarProduct(
OrtsvektorL2 - OrtsvektorL1,
matrix([-1,-1,1])) = 0
Wir lösen das Gleichungssystem mit Hilfe der MuPAD-Funktion solve:
solve({Gl1, Gl2}, {k,r})
Jetzt müssen wir nur noch die Werte k = 1/4 und r = -1/4 in die Parameterform der
Geraden g bzw. h einsetzen und erhalten so die Ortsvektoren der Punkte L1 bzw.
L2:
OrtsvektorL1:= ParameterformG | k = 1/4;
OrtsvektorL2:= ParameterformH | r = -1/4
Zeichnen wir die Punkt L1 und L2 sowie den Vektor L1L2 zusammen mit den beiden
Geraden g und h in ein gemeinsames Koordinatensystem, so ergibt sich:
L1:= plot::Point3d(OrtsvektorL1, Color = RGB::Black):
L2:= plot::Point3d(OrtsvektorL2, Color = RGB::Black):
VektorL1L2:= plot::Arrow3d(OrtsvektorL1, OrtsvektorL2,
Color = RGB::Green):
plot(g, h, L1, L2, VektorL1L2, Scaling = Constrained)
Der Abstand von g und h entspricht jetzt also der Länge des Vektors L1L2 (oben
in grüner Farbe eingezeichnet):
d:= norm(OrtsvektorL2 - OrtsvektorL1, 2)
Auf 10 signifikante Stellen gerundet ergibt das:
float(d)
Wie schon bei der Abstandsberechung eines Punktes von einer Geraden,
wollen wir auch noch eine alternative Möglichkeit vorstellen, mit der sich der
Abstand zweier windschiefer Geraden berechnen lässt. Auch hier definiert
man eine Hilfsebene H. Die Idee ist die folgende: Wir bestimmen eine Ebene
H, die die Gerade h enthält und parallel zu der Geraden g verläuft. Haben wir
eine solche Ebene gefunden, so müssen wir nur noch den Abstand der Ge-
raden g von der Ebene H berechnen. Dieses Verfahren behandeln wir weiter
unten.
Übungen:
(i) Zeigen Sie rechnerisch, dass die beiden Geraden
g und h, die zu Beginn dieses Abschnitts definiert
wurden, in der Tat windschief sind.
(ii) Gegeben seien die beiden Geraden
Zeigen Sie, dass g und h windschief sind und berechnen Sie ihren
Abstand. Zeichnen Sie anschließend beide Geraden mit den beiden
Lotfußpunkten und deren Verbindungsvektor in ein gemeinsames
Koordinatensystem.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.sschule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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