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Inhalt....: Abstand eines Punktes von einer Geraden im R^3
Kategorie.: Unterrichtsmaterial
Mathematik: Geometrie R^2, Geometrie R^3, Lineare Algebra
MuPAD.....: 3.1.0
Datum.....: 2004-09-30
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: plot, matrix, plot::Curve3d, Color, RGB::Red, RGB::Green,
Funktionen: RGB::Black, plot::Point3d, solve, assume, Type::Real,
Funktionen: linalg::scalarProduct, plot::Curve3d, PointSize, norm
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Abstand eines Punktes von einer Geraden im R³
Dieses Arbeitsblatt basiert auf dem gleichbetitelten Abschnitt des Buches "Analytische
Geometrie mit MuPAD" (Band 10 der Reihe "Mathematik 1 x anders - Materialien und
Werkzeuge für computerunterstütztes Lernen, SciFace Software, 2004).
Dieses Buch steht unter der Adresse schule.mupad.de/literatur im PDF-Format zum kosten-
losen Download bereit.
Wir gehen im folgenden davon aus, dass wir eine Gerade g: x = a + k*v und
einen Punkt P gegeben haben, der nicht auf der Geraden liegt (wenn der Punkt
P auf der Geraden liegt, dann ist der Abstand von P zu g zwar trivialer Weise 0).
Der Abstand des Punktes P zu der Geraden g soll bestimmt werden. Zur Be-
rechnung des Abstands müssen wir im Prinzip das Lot l vom Punkt P auf die
Gerade g fällen. Stellen wir uns das Lot als Gerade vor, so besteht ein mög-
licher Ansatz darin, einen Lotgerade zu finden, deren Stützvektor durch den
Ortsvektor des Punktes P gegeben ist und deren Richtungsvektor orthogonal
zu dem Richtungsvektor der gegebenen Geraden g ist. Anschließend bestim-
men wir den Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Geraden g. Ist der Schnitt-
punkt L, diesen Punkt nennt man auch Lotfußpunkt, bestimmt, so ist der Ab-
stand des Punktes P von der Geraden g gegeben durch die Länge des Vek-
tors PL.
Das klingt sehr vielversprechend, doch gibt es einen nicht so ganz einfachen
Aspekt in unserer Überlegung: Das Affinden eines "richtigen'' Vektors, der
orthogonal zu dem Richtungsvektor der Geraden g ist und als Richtungsvektor
für die Lotgerade l fungieren kann.
Wie finden wir den "richtigen'' Vektor heraus? Wir stellen uns einfach vor, wir
hätten den Lotfuß L auf der Geraden g bereits gefunden. Dann muss der Vektor
LP orthogonal zu dem Richtungsvektor u der Geraden g sein. Die Situation ist
in dem oben genannten Buch in Form von MuPAD-Grafiken illustriert.
Mathematisch gilt, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren LP und u
gleich Null sein muss. Wir erhalten also die Gleichung
die es zu lösen gilt. Wäre der Punkt L völlig unbekannt, so wäre die Bestimmung
von L nicht möglich (L hat drei Koordinaten, d.h. wir hätten eine Gleichung mit
drei Variablen zu lösen -- die Lösung wäre also in der Regel nicht eindeutig).
Da der Punkt L aber auf der Geraden liegt, gibt es ein reelles k, so dass für
seinen Ortsvektor l gilt:
Da wir a und u als bekannt voraussetzen können, taucht also nur noch eine Un-
bekannte (nämlich k) in den Komponenten von l auf. Setzen wir diese Darstellung
für l in die Gleichung
ein (wobei wir wieder u und auch P als gegeben voraussetzen können), so er-
halten wir eine lineare Gleichung für k, die sich leicht lösen lässt. Anschließend
setzen wir den für k erhaltenen Wert in die Parameterform der Geraden g ein
und erhalten so den Ortsvektor l des Lotfußpunktes. Dann müssen wir nur noch
die Länge von LP berechnen und haben damit den Abstand des Punktes P zur
Geraden g berechnet.
Schauen wir uns ein Beispiel an: Gegeben sei der Punkt P(1|2|3) und die Gerade
Zuerst zeichnen wir den Punkt mit Hilfe von plot::Point3d und die Gerade
mit Hilfe von plot::Curve3d in ein gemeinsames Koordinatensystem:
ParameterformG:= matrix([1,2,1]) + k*matrix([1,-1,1]):
OrtsvektorP:= matrix([1,2,3]):
P:= plot::Point3d(OrtsvektorP, Color = RGB::Red):
g:= plot::Curve3d(ParameterformG, k = -2..2):
plot(P,g)
Da der Lotfußpunkt L auf der Geraden liegt, ist sein Ortsvektor von der Gestalt
OrtsvektorL:= ParameterformG
für einen zu bestimmenden Wert für k. Wir hatten uns oben überlegt, dass die
Orthogonlitätsbedingung uns die folgende lineare Gleichung in k liefert:
Gl:= linalg::scalarProduct(OrtsvektorP - OrtsvektorL,
matrix([1,-1,1])) = 0
Das Auflösen der Gleichung nach k erledigt wie immer solve für uns:
solve(Gl, k)
Damit ist der Ortsvektor des Lotfußpunktes von P aus auf die Gerade g gegeben
durch:
OrtsvektorL:= ParameterformG | k = 2/3
Wir zeichnen den Lotfußpunkt L (in schwarzer Farbe RGB::Black), den Vektor
vom Lotfußpunkt hin zum Punkt P (mit Hilfe von plot::Arrow3d in grüner Farbe
RGB::Green sowie den Punkt P selbst und die Gerade g zur Veranschaulichung
in ein gemeinsames Koordinatensystem:
L:= plot::Point3d(OrtsvektorL, Color = RGB::Black):
VektorLP:= plot::Arrow3d(OrtsvektorL, OrtsvektorP,
Color = RGB::Green):
plot(L, VektorLP, g, P, Scaling = Constrained)
Nachdem der Lotfußpunkt L bestimmt ist, müssen wir nur noch die Länge des
Vektors LP bestimmen und erhalten so den Abstand des Punktes P zur Geraden
g:
d:= norm(OrtsvektorP - OrtsvektorL, 2)
Auf 10 signifikante Stelle gerundet ergibt sich damit das Endergebnis
float(d)
Gerade in der Analytischen Geometrie führen häufig mehrere Wege zum Ziel.
So kann der Abstand des Punkte P(1|2|3) von der Geraden g mit
auch über eine Hilfsebene H berechnet werden. Man geht dazu wie folgt vor:
Man bestimmt diejenige Ebene, die den Punkt P als Stützvektor und den
Richtungsvektor der Geraden g als Normalenvektor besitzt.
Der Schnittpunkt von Gerade und Ebene ist dann der Lotfußpunkt L und wir
können den Abstand von P und g wie oben als Länge des Vektors LP be-
rechnen. In unserem Beispiel ist damit eine Gleichung dieser Hilfsebene H
gegeben durch
assume({x,y,z}, Type::Real):
KForm:= linalg::scalarProduct(matrix([1,-1,1]),
matrix([x,y,z]) - matrix([1,2,3])) = 0
Der Lotfußpunkt L ergibt sich als Schnittpunkt der Ebenen mit der Geraden
g, indem wir die Komponenten der Parameterform von g in die Koordinaten-
form der Ebene einsetzen:
Gl:= KForm | (x = ParameterformG[1],
y = ParameterformG[2],
z = ParameterformG[3])
Als Lösung erhalten wir -- wie oben bereits gesehen -- den Wert k = 2/3, der
auf den Lotfußpunkt L(5/3|4/3|5/3) führt, wenn wir ihn in die Parameterform
der Geraden g einsetzen. Der Abstand von P zu g ergibt sich dann wieder als
Länge des Vektors LP.
Übungen:
(i) Gegeben sei der Punkt P(3|1|1) sowie die Gerade
Zeigen Sie, dass P nicht auf g liegt. Zeichnen Sie an-
schließend P und g in ein gemeinsames Koordinaten-
system.
Berechnen Sie dann den Abstand von P zu g nach
beiden in diesem Arbeitsblatt vorgestellten Methoden
(einmal über die Bedingung, dass das Skalarprodukt
Null wird und einmal durch Bestimmung einer ge-
eigneten Hilfsebene).
Zeichnen Sie zum Abschluß die Hilfsebene, den Punkt
und die Gerade in ein gemeinsames Koordinatensystem.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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