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Inhalt....: Abstand eines Punktes von einer Ebene im R^3
Kategorie.: Unterrichtsmaterial
Mathematik: Geometrie R^2, Geometrie R^3, Lineare Algebra
MuPAD.....: 3.1.0
Datum.....: 2004-09-30
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: plot, matrix, plot::Surface, Color, RGB::Red, RGB::Green,
Funktionen: RGB::Black, plot::Point3d, solve, assume, Type::Real,
Funktionen: linalg::scalarProduct, linalg::crossProduct, subs
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Abstand eines Punktes von einer Ebene im R³
Dieses Arbeitsblatt basiert auf dem gleichbetitelten Abschnitt des Buches "Analytische
Geometrie mit MuPAD" (Band 10 der Reihe "Mathematik 1 x anders - Materialien und
Werkzeuge für computerunterstütztes Lernen, SciFace Software, 2004).
Dieses Buch steht unter der Adresse schule.mupad.de/literatur im PDF-Format zum kosten-
losen Download bereit.
Wie berechnet man den Abstand eines Punktes oder einer Geraden von einer
Ebene? In diesem Arbeitsblatt wollen wir uns zunächst überlegen, wie man den
Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen kann. Den Abstand einer
Geraden von einer Ebene zu berechnen ist leicht, wenn wir dies beherrschen.
Gegeben sei also eine Ebene F und ein Punkt P, der nicht auf der Ebene liegt
(andernfalls ist der Abstand des Punktes zur Ebene eh Null und es gibt gar
nichts zu berechnen). Zur Berechnung des Abstands von P zu F müssen wir
das Lot von P auf F bestimmen.
Der in der obigen Abbildung in grüner Farbe eingezeichnete Lotvektor vom
Lotfußpunkt auf der Ebene (diesen wollen wir im folgenden mit L bezeichnen)
hin zu dem Punkt P steht senkrecht auf der Ebene F. Er ist also nichts weiter
als ein Normalenvektor der Ebene F. Wir können uns daher einen beliebigen
Normalenvektor n der Ebene F wählen und die Gerade durch den Punkt P mit
Richtungsvektor n bestimmen. Anschließend bestimmen wir den Schnittpunkt
dieser sogenannten Lotgeraden mit der Ebene F und erhalten so den Lotfuß-
punkt L auf der Ebene F.
Der Abstand von P zu F ist dann gegeben durch die Länge des Vektors LP
(in grüner Farbe in der obigen Abbildung zu sehen).
Betrachten wir z.B. die Ebene F in Parameterform
sowie den Punkt P(1|2|3), der nicht auf der Ebene F liegt (diese Behauptung
ist in den Übungsaufgaben am Ende dieses Abschnitts nachzuweisen). Wir
definieren die Parameterform der Ebene F in \mupad{} und zeichnen die
Ebene und den Punkt P in ein gemeinsames Koordinatensystem:
ParameterformF:= matrix([1,0,1]) + r*matrix([1,1,-3])
+ s*matrix([1,-1,1]):
OrtsvektorP:= matrix([1,2,3]):
F:= plot::Surface(ParameterformF, r = -1..1, s = -1..1):
P:= plot::Point3d(OrtsvektorP):
plot(F,P)
Als erstes bestimmen wir einen Normalenvektor n der Ebene F mit Hilfe von
linalg::crossProduct als Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren der
Ebene:
n:= linalg::crossProduct(matrix([1,1,-3]),
matrix([1,-1,1]))
Dann stellen wir eine Parameterform der Lotgeraden l durch P mit Richtungs-
vektor n auf
ParameterformL:= OrtsvektorP + k*n
und bestimmen den Schnittpunkt mit der Ebene F, indem wir die Parameterform
der Ebene F und die Parameterform der Gerade l gleichsetzen und das ent-
stehende Gleichungssystem Gl mit Hilfe von solve nach den Parametern r, s
und k lösen:
Gl:= {ParameterformF[1] = ParameterformL[1],
ParameterformF[2] = ParameterformL[2],
ParameterformF[3] = ParameterformL[3]}:
solve(Gl, {r,s,k})
Setzen wir die Werte r = -1/2 und s = -1/2 in die Parameterform der Ebene F ein,
so erhalten wir die Ortsvektor des Lotfußpunktes L auf der Ebene F:
OrtsvektorL:= ParameterformF | (r = -1/2,
s = -1/2)
Zur Veranschaulichung unserer bisherigen Ergebnisse zeichnen wir den Punkt P,
die Ebene F sowie den Lotfußpunkt L und den Vektor LP in ein gemeinsames
Koordinatensystem:
L:= plot::Point3d(OrtsvektorL):
VektorLP:= plot::Arrow3d(OrtsvektorL, OrtsvektorP,
Color = RGB::Green):
plot(F, P, L, VektorLP, Scaling = Constrained)
Der Abstand des Punktes P zu der Ebene F entspricht nun der Länge des
Vektors LP, also:
d:= norm(OrtsvektorP - OrtsvektorL, 2)
bzw. wieder auf 10 signifikante Stellen gerundet:
float(d)
Liegt die Ebene F in Koordinatenform a*x + b*y + c*z + d = 0 vor, so ent-
sprechen die Koeffizienten a, b und c von x, y und z den Komponenten eines
Normalenvektors der Ebene F. Man kann dann die Lotgerade durch den Punkt,
dessen Abstand zur Ebene F berechnet werden soll, ganz genau so berechnen,
wie wir es oben im Fall der Ebene in Parameterform getan haben. Lediglich der
Lotfußpunkt als Schnittpunkt der Lotgerade mit der Ebene muss dann auf andere
Weise berechnet werden. Damit können wir auch den Abstand eines beliebigen
Punktes von einer Ebene in Koordinatenform berechnen.
Übungen:
(i) Zeigen Sie rechnerisch, dass der oben definierte Punkt
P nicht auf der oben definierten Ebene F liegt.
(ii) Gegeben sei der Punkt P(1|3|-1) und die Ebene F in
Parameterform
Zeigen Sie, dass P nicht auf F liegt. Bestimmen Sie den
Abstand des Punktes P von der Ebene F. Zeichnen Sie
anschließend sowohl den Punkt P als auch die Ebene F
zusammen mit dem entsprechenden Lotfußpunkt und
dem Lotvektor in ein gemeinsames Koordinatensystem.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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