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Inhalt....: Abstand einer Gerade von einer Ebene im R^3
Kategorie.: Unterrichtsmaterial
Mathematik: Geometrie R^2, Geometrie R^3, Lineare Algebra
MuPAD.....: 3.1.0
Datum.....: 2004-09-30
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: plot, matrix, plot::Surface, Color, RGB::Red, RGB::Green,
Funktionen: RGB::Black, plot::Point3d, solve, assume, Type::Real,
Funktionen: linalg::scalarProduct, linalg::crossProduct, subs, plot::Curve3d
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Abstand einer Gerade von einer Ebene
Dieses Arbeitsblatt basiert auf dem gleichbetitelten Abschnitt des Buches "Analytische
Geometrie mit MuPAD" (Band 10 der Reihe "Mathematik 1 x anders - Materialien und
Werkzeuge für computerunterstütztes Lernen, SciFace Software, 2004).
Dieses Buch steht unter der Adresse schule.mupad.de/literatur im PDF-Format zum kosten-
losen Download bereit.
Sei F eine Ebene (in Koordinatenform oder in Parameterform), n ein Normalen-
vektor der Ebene sowie g: x = a + k * u eine Gerade. Wir setzen im folgenden
voraus, dass g parallel zu der Ebene F verläuft. Wenn g in der Ebene F liegt,
so ist der Abstand von g zu F eh Null und es ist nichts zu berechnen. Wenn die
Gerade g die Ebene F schneidet, ist der Abstand ebenfalls Null (der Abstand
der Gerade zur Ebene ist der minimale Abstand eines Punktes der Geraden
zur Ebene -- also im Fall, dass g die Ebene F scheidet, der Abstand des
Schnittpunktes von der Ebene).
Wenn g aber parallel zu der Ebene F verläuft, dann hat jeder Punkt auf g den
gleichen Abstand zur Ebene F und wir können uns einen beliebigen Punkt auf
g auswählen und nach der im vorhergehenden Abschnitt kennengelernten
Methode den Abstand dieses Punktes zur Ebene F berechnen.
Am einfachsten macht man sich selbst das Leben, wenn man den Punkt A auf
g wählt, also den Punkt des Ortsvektor der Stützvektor der Geraden g ist.
Schauen wir uns ein Beispiel an: Die Gerade g gegeben durch
verläuft parallel zu der Ebene F mit der Parameterdarstellung
Wir definieren die Parameterformen der Geraden g sowie der Ebene F in
MuPAD und zeichnen beide zusammen mit dem Antragspunkt -- nennen
wir ihn P -- der Geraden g in ein gemeinsames Koordinatensystem (dass
g und F tatsächlich parallel sind, ist in den Übungsaufgaben unten nachzu-
weisen):
OrtsvektorP:= matrix([1,-2,-2]):
ParameterformG:= OrtsvektorP + k*matrix([2,1,2]):
ParameterformF:= matrix([1, 2, 1]) + r*matrix([2,1,2])
+ s*matrix([2,2,1]):
P:= plot::Point3d(OrtsvektorP):
g:= plot::Curve3d(ParameterformG, k = -1..1):
F:= plot::Surface(ParameterformF, r = -1..1, s = -1..1):
plot(P, g, F)
Wir müssen jetzt nur noch den Abstand des in blauer Farbe eingezeichneten
Punktes P(1|-2|-2) von der Ebene F bestimmen: Wir berechnen mit Hilfe von
linalg::crossProduct einen Normalenvektor der Ebene F
n:= linalg::crossProduct(matrix([2,1,2]),
matrix([2,2,1]))
und bestimmen dann die Lotgerade l mit Richtungsvektor n, die durch den
Punkt P(1|-2|-2):
ParameterformL:= OrtsvektorP + m*n:
Schließlich bestimmen wir den Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene F,
indem wir die Parameterform der Ebene und die Parameterform der Geraden
gleichsetzen und das entstehende lineare Gleichungssystem nach m, r und
s lösen:
Gl:= {ParameterformF[1] = ParameterformL[1],
ParameterformF[2] = ParameterformL[2],
ParameterformF[3] = ParameterformL[3]}:
solve(Gl, {r,s,m})
Setzen wir die Werte r = -2/17 und s = -19/17 in die Parameterform der Ebene
F ein, so erhalten wir den Ortsvektor des Lotfußpunktes L auf der Ebene F:
OrtsvektorL:= subs(ParameterformF, r = - 2/17,
s= -19/17)
Zur Veranschaulichung zeichnen wir den Lotfußpunkt und die Lotgerade mit der
Geraden g, dem Punkt P sowie der Ebene F in ein gemeinsames Koordinaten-
system:
L:= plot::Point3d(OrtsvektorL):
Lotgerade:= plot::Curve3d(ParameterformL, m = -1..1,
Color = RGB::Green):
plot(P, g, F, L, Lotgerade,
Scaling = Constrained)
Der Abstand von F und g ist also jetzt durch die Länge des Lotvektors LP ge-
geben:
d:= norm(OrtsvektorP - OrtsvektorL, 2)
bzw. auf 10 signifikante Stellen gerundet ergibt sich:
float(d)
Übungen:
(i) Zeigen Sie rechnerisch, dass die oben definierte Gerade g
parallel zu der Ebene F verläuft.
(ii) Gegeben seien die Gerade g und die Ebene F in Parameter-
form
und
Zeigen Sie, dass g parallel zu F verläuft. Bestimmen Sie den Ab-
stand der Geraden g von der Ebene F. Zeichnen Sie anschließend
sowohl die Ebene F als auch die Gerade g sowie den Lotfußpunkt
und die Lotgerade in ein gemeinsames Koordinatenssystem.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe Mathematik 1 x anders. In dieser Reihe
wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gelöst. Die
Bücher können unter www.schule.mupad.de/literatur kostenfrei kopiert werden.
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