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Inhalt....: Abiturklausur
Kategorie.: Arbeitsblatt
Mathematik: Analysis
MuPAD.....: 3.1.0
Datum.....: 2002-03-06
Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
Funktionen: int, plotfunc2d, YRange, normal, Simplify, partfrac, float
Funktionen: ->, -->, limit, Right, Left
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Lösung einer Abiturklausur mit MuPAD
In diesem Notebook wollen wir eine Abiturklausur, die im Schuljahr 1996/1997 in Sachsen
gestellt wurde, mit MuPAD bearbeiten.
Aufgabe 1.)
Gegeben ist die Funktion
a.) Geben Sie den größten Definitionsbereich von f an, und ermitteln Sie
für den Graphen von f die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
b.) Bestimmen Sie die Koordinaten der lokalen Extrema sowie die Art der
Extrema, und untersuchen Sie den Graphen der Funktion f auf die
Existenz von Wendepunkten.
c.) Untersuchen Sie das Verhalten von f in der Umgebung der Polstelle.
Ermitteln Sie eine Gleichung der linearen Funktion, deren Graph
Asymptote an den Graphen von f ist.
d.) Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall -5 <= x <= 5.
Lösung:
a) Geben Sie den größten Definitionsbereich von f an, und ermitteln Sie
für den Graphen von f die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen.
solve(4*x - 4 = 0, x)
Die Funktion ist also für x = 1 nicht definiert.
f:= x -> (x^2 + 2*x + 1) / (4*x - 4)
solve(f(x) = 0, x)
Die Funktion besitzt genau eine Nullstelle: Sie liegt bei x = -1.
f(0)
Der Schnittpunkt mit der y-Achse ist: S(0 | -1/4)
b.) Bestimmen Sie die Koordinaten der lokalen Extrema sowie die Art der
Extrema, und untersuchen Sie den Graphen der Funktion f auf die
Existenz von Wendepunkten.
f'(x)
L:= solve(f'(x) = 0, x)
f''(x)
sign(f''(L[1])), sign(f''(L[2]))
Bei x = -1 befindet ein Hochpunkt der Funktion f(x) und bei x = 3 ein
Tiefpunkt. Jetzt werden noch die zugehörigen y-Koordinaten berechnet.
f(L[1]), f(L[2])
Das lokale Maximum hat die Koordinaten HP(-1|0), das lokale Minimum TP(3|2).
Nun zu den Wendepunkten.
solve(f''(x) = 0, x)
Man sieht, dass es keine Wendpunkte geben kann, da die zweite Ableitung
keine Nullstellen besitzt.
c.) Untersuchen Sie das Verhalten von f in der Umgebung der Polstelle.
Ermitteln Sie eine Gleichung der linearen Funktion, deren Graph
Asymptote an den Graphen von f ist.
limit(f(x), x = 1, Right),
limit(f(x), x = 1, Left)
Diese Grenzwerte stellen das Verhalten von f(x) an der Polstelle dar.
Jetzt wird eine Gleichung der linearen Funktion ermittelt, deren Graph
Asymptote an den Graphen von f(x) ist.
partfrac(f(x), x)
Die Funktion y = x/4 + 3/4 ist die Gleichung der gesuchten Asymptote,
denn für x gegen unendlich oder gegen minus unendlich konvergiert
der Ausdruck mit Nenner x - 1 gegen Null.
d.) Zeichnen Sie den Graphen von f im Intervall -5 <= x <= 5.
plotfunc2d(f, x/4 + 3/4, x = -5..5, YRange = -5..5)
Dies ist die graphische Darstellung der Funktion mit ihrer Asymptote.
Aufgabe 2.)
An den Graphen der Funktion f(x) existieren Tangenten, welche durch
den Koordinatenursprung verlaufen.
Ermitteln Sie rechnerisch für jede dieser Tangenten je eine Gleichung.
Lösung:
Gleichung:= f'(x) * x = f(x)
L:= solve(Gleichung, x)
f'(L[1]), f'(L[2])
Die Tangentengleichungen lauten y = 0 und y = -2*x. Wir zeichnen Sie
zusammen mit der Funktion f(x) in ein Koordinatensystem:
plotfunc2d(f, 0, -2*x, x = -2..2, YRange = -5..5)
Aufgabe 3.)
Der Graph der Funktion f(x) und die Geraden mit den Gleichungen y = 1/4 * (x+3)
(x Element von R), x = 3 und x = z (z Element von R ,z>3) begrenzen für jeden
Wert von z jeweils eine Fläche A(z) vollständig.
(a) Berechnen Sie den Inhalt A(z).
(b) Berechnen Sie den Wert z, für den der Inhalt dieser Fläche 1 beträgt.
(c) Berechnen Sie lim A(z) für z geht gegen unendlich.
Lösung
a) Berechnen Sie den Inhalt A(z).
A:= x -> int(f(x) - (1/4 * (x+3)), x = 3..z)
A(x)
b) Berechnen Sie den Wert z, für den der Inhalt dieser Fläche 1
beträgt.
L:= solve( A(x) = 1, z)
Simplify(L[1]) = float(L[1])
c) Berechnen Sie lim A(z) für z geht gegen unendlich.
limit(A(x), z = infinity)
Aufgabe 4.)
Für jedes u (u Element von R, u > 1) wird durch die Punkte A(0|0) B(u|0) und
C( u|f(u) ) ein Dreieck bestimmt. Ermitteln Sie den Wert u, für den das zugehörige
Dreieck den kleinsten Flächeninhalt aller so gebildeten Dreiecke hat.
area:= u -> 1/2 * u * f(u)
area(u)
Die Flächeninhaltsformel für ein nach Aufgabenstellung gebildetes Dreieck
ist gegeben durch:
area'(u); normal(area'(u))
Nun führen wir eine Untersuchung der Funktion auf relative Extrema durch.
Ermitteln der Nullstellen der ersten Ableitung:
L:= solve(area'(u) = 0, u)
Ermitteln der zweiten Ableitung:
area''(u);
normal(area''(u))
Wert:= area''(3/4 + 17^(1/2) / 4)
normal(Wert) = float(Wert)
Nachweis des Minimums:
is(Wert > 0)
Untersuchung des Verhaltens der Funktion an den Rändern des
Definitionsbereiches.
limit(area(u), u = infinity),
limit(area(u), u = -infinity)
plotfunc2d(area, u = 1..4, YRange = 0..10)
Das lokale Minimum ist zugleich globales Minimum.
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Anmerkungen:
1. Weitere Anregungen finden Sie unter: http://schule.mupad.de bzw. http://studium.mupad.de
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