\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f5\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f6\froman\fprq2 Times New Roman;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f5\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par
\par \plain\f5\fs20\cf0 Inhalt....: Arithmetisches Mittel, Varianz, Kovarianz und Korrelationskoeffizient
\par Kategorie.: Grundkurs
\par Mathematik: Stochastik, Statistik
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2004-03-31
\par Autoren...: Kai Gehrs
\par Funktionen: stats::hypergeometricPF, float, stats::binomialPF, stats::mean,
\par Funktionen: stats::median, stats::binomialRandom, stats::covariance,
\par Funktionen: stats::correlation
\par \plain\f5\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs36\cf0\b
\par \plain\f3\fs40\cf0\b Arithmetisches Mittel, Varianz, Kovarianz und
\par Korrelationskoeffizient
\par
\par \plain\f3\fs24\cf2 Dieses Arbeitsblatt ist Bestandteil des \plain\f3\fs24\cf2\b MuPAD Grundkurses\plain\f3\fs24\cf2 .\plain\f6\fs24
\par
\par \plain\f3\fs28 Wir wollen sehen, wie man das arithmetische Mittel, die Varianz, die Kovarianz
\par und den Korrelationskoeffizienten mit MuPAD berechnen kann. Neben der Be-
\par rechnung dieser statistischen Kenngr\'f6\'dfen werden wir auch lernen, wie man auf
\par bestimmte in MuPAD vordefinierte Verteilungen zugreift und spezielle Zufallsge-
\par neratoren zur Erzeugung von Datens\'e4tzen benutzen kann. Dazu betrachten wir
\par ein umfangreicheres Beispiel:
\par
\par Eine Buchbestellung besteht aus 5000 B\'fcchern, von denen 1000 einen besch\'e4-
\par digten Einband besitzen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 zuf\'e4llig
\par ohne Zur\'fccklegen herausgenommenen B\'fcchern genau 5 einen besch\'e4digten Ein-
\par band besitzen.
\par
\par Hier liegt eine hypergeometrische Zufallsvariable mit den Parametern N = 5000,
\par X = 1000 und n = 30 vor. Anstatt Verteilungen wie zurvor die Binomialverteilung
\par oder die Normalverteilung per Hand in MuPAD einzugeben, k\'f6nnen wir auch die
\par entsprechenden Funktione in der MuPAD Statistik Bibliothek nutzen.
\par
\par Die gesuchte Wahrscheinlichkeit von oben, l\'e4\'dft sich wie folgt in MuPAD berech-
\par nen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}stats::hypergeometricPF(5000, 1000, 30)(5)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}float(%)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Approximativ k\'f6nnen wir die Binomialverteilung mit n = 30 und p = X/N zur Be-
\par rechnung der Wahrscheinlichkeit verwenden:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}stats::binomialPF(30, 1/5)(5)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}float(%)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Wir erzeugen nun einen Datensatz mit 20 hypergeometrischverteilten Zufalls-
\par zahlen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}Daten := [stats::hypergeometricRandom(5000, 1000, 30)()
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f5\fs28\cf3 $ i = 1..20]
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Von diesen Daten wollen wir einige Kenngr\'f6\'dfen bestimmen. Die Berechnung
\par des arithmetischen Mittels erhalten wir \'fcber:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}stats::mean(Daten)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Auch der Median l\'e4\'dft sich sehr leicht berechnen:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}stats::median(Daten)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Varianz und Standardabweichung des Datensatzes lassen sich mit Hilfe der
\par Funktionen stats::variance und stats::stdev ermitteln:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}stats::variance(Daten)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}stats::stdev(Daten)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Zus\'e4tzlich erzeugen wir einen neuen Datensatz mit binomialverteilten Zufallszahlen.
\par An diesem wollen wir die Berechnung der Kovarianz und des Korrelationskoeffizienten
\par erproben:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}Daten_approx := [stats::binomialRandom(30, 1/5)() $ j = 1..20]
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f5\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}stats::covariance(Daten, Daten_approx);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f5\fs28\cf3 stats::correlation(Daten, Daten_approx);
\par float(%)
\par \pard\ri4\plain\f5\fs20\cf0\b
\par ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf4\b
\par \plain\f3\fs22\cf5\b \'dcbungen:
\par 1.\plain\f3\fs22\cf5 F\'fchren Sie die obigen Berechnungen mit MuPAD selbst aus: Achten Sie dabei insbesondere
\par \plain\f3\fs22\cf1 __\plain\f3\fs22\cf5 darauf, dass die entsprechenden Zufallsgeneratoren andere Werte liefern (erzeugen Sie sich
\par \plain\f3\fs22\cf1 __\plain\f3\fs22\cf5 mehrmals hintereinander auf die gleiche Weise einen entsprechenden Datensatz - dann sollten
\par \plain\f3\fs22\cf1 __\plain\f3\fs22\cf5 Sie jedesmal aufs Neue zuf\'e4lligen Zahlen erhalten). Berechnen Sie auch die entsprechenden
\par \plain\f3\fs22\cf1 __\plain\f3\fs22\cf5 Kenngr\'f6\'dfen von oben.
\par \plain\f5\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0
\par \plain\f3\fs22\cf2\b Anmerkungen:\plain\f3\fs22\cf2
\par \plain\f3\fs20\cf2\b 1\plain\f3\fs20\cf2 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f3\fs20\cf3 Mathematik 1 x anders\plain\f3\fs20\cf2 . In dieser Reihe
\par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die
\par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f4\fs20\cf4 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f3\fs20\cf2 kostenfrei kopiert werden.
\par \plain\f3\fs20\cf4
\par \plain\f5\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f5\fs28\cf3
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\par }