\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fswiss\fprq2 Arial;}{\f5\fmodern\fprq1\fcharset1 Courier New;}{\f6\froman\fprq2 Times New Roman;}{\f7\fswiss\fprq2 Arial Black;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b _____________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs20\cf0
\par Inhalt....: Anhang Roulettestrategien
\par Kategorie.: Arbeitsblatt
\par Mathematik: Stochastik, Programmierung
\par MuPAD.....: 3.1.0
\par Datum.....: \plain\f5\fs20\cf0 2005-07-04\plain\f3\fs20\cf0
\par Autoren...: Thorsten Fraas
\par Funktionen: contains, for, has, if, local, begin, proc, random, op
\par Funktionen: plot::Polygon2d, plot\plain\f3\fs20\cf0\b
\par _____________________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs36\cf0\b
\par Empirische Untersuchung von Roulettestrategien V\plain\f7\fs36\cf0
\par \plain\f6\fs24\cf0
\par \plain\f4\fs24\cf2\b Zur Einf\'fchrung bitte die Einleitung in Notebook "roulette1.mnb" lesen.
\par
\par Dieses Notebook besch\'e4ftigt sich (wie schon in den Notebooks "roulette1.mnb"
\par und "roulette2.mnb" angesprochen) mit der Programmierung der Einfachen
\par Martingalstrategie und der Supermartingalstrategie.
\par Es unterscheidet sich von Notebook "roulette2.mnb" darin, dass hier in die Pro-
\par zeduren der beiden Strategien eine Sonderregel f\'fcr das Verhalten beim Erscheinen
\par der Null integriert wurde.
\par Der Spieler erh\'e4lt beim Setzen auf die Einfachen Chancen n\'e4mlich die H\'e4lfte seines
\par Einsatzes zur\'fcck, wenn die Null auftaucht.
\par
\par Dem interessierten Leser bleibt es \'fcberlassen, diese Sonderregel in die Prozeduren
\par der \'fcbrigen Strategien zu integrieren, um das Roulettespiel 100%ig zu modellieren.
\par
\par Aufbau dieses Notebooks:
\par 1. Progressionsspiele
\par a) Einfache Martingalstrategie
\par b) Supermartingalstrategie
\par \plain\f4\fs24\cf0
\par
\par \plain\f4\fs32\cf0 1. Progressionsspiele
\par \plain\f4\fs24\cf0
\par \plain\f4\fs28\cf0 a) Einfache Martingalstrategie
\par \plain\f6\fs24\cf0
\par \plain\f4\fs24\cf0 Es soll die bekannte Verdoppelungsstrategie beim Roulette - auch Einfache Martingalstrategie
\par genannt - empirisch untersucht werden. Die Strategie sieht folgenderma\'dfen aus:
\par Der Spieler beginnt mit \plain\f4\fs24\cf3 KG\plain\f4\fs24\cf0 Euro und setzt \plain\f4\fs24\cf3 m\plain\f4\fs24\cf0 Euro auf die Einfachen Chancen (Rot oder Schwarz,
\par Gerade oder Ungerade, Manque (Zahlen 1-18) oder Passe (Zahlen 19-36)).
\par Beim Auftreten der Null gibt es eine Sonderregel: Der Spieler erh\'e4lt die H\'e4lfte seines Einsatzes
\par zur\'fcck. Wenn der Spieler gewinnt, legt er den gewonnen Euro zu seinem Kapital und spielt weiter.
\par Falls der Spieler verliert, setzt er den doppelten Betrag des vorhergehenden Einsatzes ein.
\par Damit hofft er, eine Verlustserie mit einem Gewinn auszugleichen und sogar noch einen Euro
\par zu gewinnen.
\par Ein m\'f6glicher Spielverlauf k\'f6nnte also sein:
\par
\par \pard\li1000\ri4\plain\f4\fs24\cf0 1. Spiel: 1 Euro gesetzt - verloren
\par 2. Spiel: 2 Euro gesetzt - verloren
\par 3. Spiel: 4 Euro gesetzt - verloren
\par 4. Spiel: 8 Euro gesetzt - gewonnen.
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0
\par Diese stufenweise Steigerung der Satzh\'f6he nennt man Progression. Da sich die Steigerung
\par immer auf das vorher verlorene Spiel bezieht, ist diese Art der Strategie eine Verlustprogression.
\par Die Steigerung endet mit einem gewonnen Spiel und beginnt dann wieder von vorne, d.h., dass
\par dann ein neuer Progressionslauf beginnt. In unserem Beispiel hatte der Spieler vor dem 4. Spiel
\par insgesamt 7 Euro verloren, nun gewinnt er nach dem 4. Spiel auf einen Schlag 8 Euro und hat
\par insgesamt einen Euro gewonnen. Dies h\'f6rt sich gut an, doch in der Strategie verbergen sich
\par Gefahren. Diese Gefahren sollen deutlich gemacht werden.
\par
\par Zuerst die Prozedur: Wir simulieren stellvertretend f\'fcr alle Einfachen Chancen das Setzen
\par auf gerade Zahlen.
\par \plain\f6\fs24\cf0
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}martingal:=proc(n,KG,m)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf3 local K,S,i,Z,A,Kapital,l,Bild;
\par begin
\par K:=[KG, 0 $ n]://Gesamtkapital vor dem
\par //Spiel und jeweils nach j Spielen, j=1..n
\par S:=[m, 0 $ n-1]://Einsatz in den n Spielen
\par Z:=[0 $ n]://Zahlen, die in den n Spielen fallen
\par A:=[[0 $ 4] $ n]:
\par Z[1]:=random(0..36)():
\par if Z[1] mod 2=0 and Z[1]>0
\par then K[2]:=K[1]+S[1]: S[2]:=S[1]:
\par /*im Fall von Gewinn setzt man bei
\par dieser Strategie immer das gleiche
\par wie im vorangegangenen Spiel*/
\par elif Z[1] mod 2=1
\par then K[2]:=K[1]-S[1]: S[2]:=2*S[1]:
\par /*im Fall von Verlust setzt man immer
\par das Doppelte des Vorangegangenen*/
\par else K[2]:=K[1]-S[1]/2: S[2]:=S[1]/2:
\par /*im Fall der Null setzt man die H\'e4lfte dessen, was man
\par vorher gesetzt hat*/
\par end_if:
\par
\par for i from 2 to n-1 do
\par Z[i]:=random(0..36)():
\par if Z[i] mod 2=0 and Z[i]>0 then
\par K[i+1]:=K[i]+S[i]:
\par S[i+1]:=S[1]:
\par elif Z[i] mod 2=1 then
\par K[i+1]:=K[i]-S[i]:
\par S[i+1]:=2*S[i]:
\par else K[i+1]:=K[i]-S[i]/2: S[i+1]:=S[i]/2
\par end_if:
\par end_for:
\par
\par Z[n]:=random(0..36)():
\par if Z[n] mod 2=0 and Z[n]>0 then K[n+1]:=K[n]+S[n]:
\par elif Z[n] mod 2=1 then K[n+1]:=K[n]-S[n]:
\par else K[n+1]:=K[n]-S[n]/2:
\par end_if:
\par return(K);
\par end_proc:
\par \pard\ri4\plain\f3\fs24\cf3
\par \plain\f6\fs24\cf0
\par \plain\f4\fs24\cf0 Nun gibt man an, wie viele Spiele man spielen und mit welchem Anfangsbetrag man starten will
\par Die folgende Liste gibt die Spielst\'e4nde an, wenn 10 Spiele gemacht werden, der Spieler
\par mit 50 Euro beginnt und sein Starteinsatz immer 1 Euro ist.
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}martingal(10,50,1)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Die folgende Grafik verdeutlicht den Spielverlauf nach 100 Spielen mit einem Anfangsbetrag von
\par 50 Euro anschaulich.
\par Man gewinnt auf Dauer ungef\'e4hr in jedem zweiten Spiel einen Euro, aber eine l\'e4ngere Verlustserie
\par ruiniert den Spieler (abh\'e4ngig vom Starteinsatz).
\par Dazu im Folgenden mehr.
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}kurve1:=martingal(100,50,1):
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf3 Punkte1:=[n,kurve1[n]]$n=1..100:
\par plot(plot::Polygon2d([Punkte1],
\par AxesTitles=["Spiel","Kontostand"]));
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Wir sehen an dem obigen Beispiel, dass man nach 100 Spielen mit einem Anfangsbetrag von
\par 50 Euro ungef\'e4hr 100 Euro in der Tasche hat.
\par
\par Nun ist es interessant zu betrachten, was geschieht, wenn das Tischminimum nicht 1 Euro,
\par sondern \plain\f4\fs24\cf3 m\plain\f4\fs24\cf0 Euro ist. Schlie\'dflich existieren in Deutschland Tische mit 2,5,10, 20 und auch
\par 50 Euro Tischminimum.
\par Als Beispiel w\'e4hlen wir einmal 5 Euro Minimum:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}martingal(10,50,5)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Auch diese Werte wollen wir einmal graphisch veranschaulichen. Je gr\'f6\'dfer das Tischminimum,
\par desto gr\'f6\'dfer werden nat\'fcrlich auch die Ausschl\'e4ge der Kurve, weil durch das Verdoppeln die
\par Eins\'e4tze schneller anwachsen.
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}kurve2:=martingal(100,50,5):
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf3 Punkte2:=[n,kurve2[n]]$n=1..100:
\par plot(plot::Polygon2d([Punkte2],
\par AxesTitles=["Spiel","Kontostand"]));
\par
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Der Leser beachte die Ausschl\'e4ge unter die x-Achse.
\par Das Spiel w\'e4re nat\'fcrlich bereits nach dem ersten Erreichen der x-Achse beendet, weil der
\par Spieler bankrott w\'e4re.
\par \plain\f4\fs24\cf3
\par \plain\f4\fs24\cf0
\par
\par \plain\f4\fs28\cf0 b) Supermartingalstrategie
\par \plain\f6\fs24\cf0
\par \plain\f4\fs24\cf0 Die Supermartingalstrategie ist eine Abwandlung der Einfachen Martingalstrategie.
\par Das Progressionsschema der Supermartingale verl\'e4uft steiler als das der Einfachen
\par Martingale: 1-3-7-15-31-63-127-255-511-1023.
\par Der vorhergehende Einsatz wird verdoppelt und eine Satzeinheit wird noch addiert.
\par Ansonsten sind die Regeln die Gleichen, wie bei der Einfachen Martingalstrategie
\par Wir wollen diese Strategie gleich mit einem beliebigen Tischminimum \plain\f4\fs24\cf3 m\plain\f4\fs24\cf0 simulieren:
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}supermartingal:=proc(n,KG,m)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf3 local K,S,Z,i;
\par begin
\par K:=[KG, 0 $ n]://Gesamtkapital vor dem Spiel
\par //und jeweils nach j Spielen, j=1..n
\par S:=[m, 0 $ n-1]://Einsatz in den n Spielen
\par Z:=[0 $ n]://Zahlen, die in den n Spielen fallen
\par Z[1]:=random(0..36)():
\par if Z[1] mod 2=0 and Z[1]>0
\par then K[2]:=K[1]+S[1]: S[2]:=S[1]:
\par /*im Fall von Gewinn setzt man bei
\par dieser Strategie immer das gleiche
\par wie im vorangegangenen Spiel*/
\par elif Z[1] mod 2=1
\par then K[2]:=K[1]-S[1]: S[2]:=2*S[1]+m:
\par /*im Fall von Verlust setzt man immer
\par das Doppelte des Vorangegangenen zuz\'fcglich
\par einer Satzeinheit*/
\par else K[2]:=K[1]-S[1]/2: S[2]:=S[1]/2:
\par /*im Fall der Null setzt man die H\'e4lfte dessen, was man
\par vorher gesetzt hat*/
\par end_if:
\par
\par for i from 2 to n-1 do
\par Z[i]:=random(0..36)():
\par if Z[i] mod 2=0 and Z[i]>0 then
\par K[i+1]:=K[i]+S[i]: S[i+1]:=S[1]:
\par elif Z[i] mod 2=1 then
\par K[i+1]:=K[i]-S[i]: S[i+1]:=2*S[i]+m:
\par else K[i+1]:=K[i]-S[i]/2: S[i+1]:=S[i]/2
\par end_if:
\par if S[i+1]>=K[i+1] then print("Bankrott vor Spielende");
\par break:
\par end_if;
\par end_for:
\par
\par Z[n]:=random(0..36)():
\par if Z[n] mod 2=0 and Z[n]>0 then K[n+1]:=K[n]+S[n]:
\par elif Z[n] mod 2=1 then K[n+1]:=K[n]-S[n]:
\par else K[n+1]:=K[n]-S[n]/2:
\par end_if:
\par return(K);
\par end_proc:
\par
\par
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Bei der Programmierung haben wir dieses Mal ber\'fccksichtigt, dass der Spieler aufh\'f6ren muss
\par zu spielen, wenn er kein Geld mehr hat, der Einsatz also gr\'f6\'dfer als das Kapital wird.
\par
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}supermartingal(10,50,2)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}kurve3:=supermartingal(100,500,2):
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf3 Punkte3:=[n,kurve3[n]]$n=1..100:
\par plot(plot::Polygon2d([Punkte3],
\par AxesTitles=["Spiel","Kontostand"]));
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Wir sehen: Die Kurve verl\'e4uft wesentlich steiler als bei der Einfachen Martingalstrategie. Der
\par Spieler kann im Schnitt pro Spiel mit 2 gewonnen Satzeinheiten rechnen, durch die hohen
\par Eins\'e4tze allerdings auch mit einer h\'f6heren Wahrscheinlichkeit f\'fcr gr\'f6\'dfere Verluste, die ihn
\par schneller in den Bankrott bringen k\'f6nnen.
\par
\par \plain\f3\fs24\cf0\b _______________________________________________________________\plain\f3\fs20\cf0\b
\par \plain\f4\fs22\cf0
\par \plain\f4\fs22\cf2\b Anmerkungen:\plain\f4\fs22\cf2
\par \plain\f4\fs20\cf2\b 1\plain\f4\fs20\cf2 . Weitere Anregungen zum Einsatz von MuPAD in der Lehre finden Sie auf unserem WebPortal
\par \plain\f4\fs20\cf0 \plain\f4\fs20\cf2 \plain\f4\fs20\cf2\i MuPAD in Schule und Studium\plain\f4\fs20\cf2 unter: \plain\f4\fs20\cf4 http://schule.mupad.de\plain\f4\fs20\cf2 bzw. \plain\f4\fs20\cf4 http://studium.mupad.de\plain\f4\fs20\cf2 .
\par
\par \plain\f4\fs20\cf2\b 2\plain\f4\fs20\cf2 . Mathematische Formeln in diesem Notebook stammen aus der Examensarbeit
\par "Roulette - Theorie und Simulation eines Gl\'fccksspiels", die vom Autor im Rahmen
\par der Ersten Staatspr\'fcfung f\'fcr das Lehramt an Gymnasien im Jahr 2004 am
\par Institut f\'fcr Mathematische Stochastik an der Georg-August Universit\'e4t in
\par G\'f6ttingen angefertigt wurde. Die programmierten Roulettestrategien wurden im
\par Rahmen dieser Arbeit ebenfalls mathematisch untersucht.
\par Der interessierte Leser sei darauf verwiesen. Entsprechende Teile der Arbeit
\par k\'f6nnen gerne auf Anfrage beim Autor angefordert werden.\plain\f6\fs20\cf2
\par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs24\cf0
\par }