\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fswiss\fprq2 Arial;}{\f5\fmodern\fprq1\fcharset1 Courier New;}{\f6\froman\fprq2 Times New Roman;}{\f7\fswiss\fprq2 Arial Black;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;\red128\green128\blue128;\red0\green128\blue0;\red255\green0\blue0;\red0\green0\blue255;} \deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b _____________________________________________________________________________________ \par \plain\f3\fs20\cf0 \par Inhalt....: Roulettestrategien IV \par Kategorie.: Arbeitsblatt \par Mathematik: Stochastik, Programmierung \par MuPAD.....: 3.1.0 \par Datum.....: \plain\f5\fs20\cf0 2005-07-04\plain\f3\fs20\cf0 \par Autoren...: Thorsten Fraas \par Funktionen: for, has, if, proc, begin, stats::binomialRandom \par Funktionen: op, plot::Polygon2d, contains, Color, Legend\plain\f3\fs20\cf0\b \par _____________________________________________________________________________________ \par \plain\f4\fs36\cf0\b \par Empirische Untersuchung von Roulettestrategien IV\plain\f7\fs36\cf0 \par \plain\f6\fs24\cf0 \par \plain\f4\fs24\cf2\b Zur Einf\'fchrung bitte die Einleitung in dem Notebook "roulette1.mnb" lesen. \par \plain\f4\fs36\cf0 \par \plain\f4\fs32\cf0 Vergleich der Roulettestrategien \par \plain\f6\fs24\cf0 \par \plain\f4\fs24\cf0 Wir wollen sehen, was mit dem Kontostand eines Spielers passieren w\'fcrde, wenn bei \par einem f\'fcr alle Strategien gleichen Spielverlauf entweder die \par a) Masse \'e9gale-Strategie, \par b) die Einfache Martingalstrategie, \par c) die Supermartingalstrategie \par d) die amerikanische Martingalstrategie oder \par e) die Whittacker Progression \par gespielt werden w\'fcrde. Wir vergleichen die Strategien also anhand eines \plain\f4\fs24\cf0\b\ul identischen\plain\f4\fs24\cf0\b \par Spielverlaufs. \par \plain\f4\fs24\cf0 In der folgenden Prozedur gibt \plain\f4\fs24\cf3 n\plain\f4\fs24\cf0 die Anzahl der Spiele an, \plain\f4\fs24\cf3 K\plain\f4\fs24\cf0 das Startkapital und \plain\f4\fs24\cf3 m\plain\f4\fs24\cf0 den \par Einsatz, mit dem der Spieler einen Lauf beginnt (in der Regel das Tischminimum). \par Die Prozedur besteht aus allen bisher programmierten Strategien. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}komplett:=proc(n,p,K,m) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf3 begin \par \par roulette:=proc(n,p) \par local A,i,k; \par begin \par kessel:=stats::binomialRandom(1,p):kessel()$ k=1..n; \par A:=[kessel() $i=1..n]; \par end_proc: \par \par Liste:=roulette(n,p); \par \par zeit:=proc(n,p) \par local A,B,C,F,G,i,j; \par begin \par S:=Liste; \par A:=[0$n]; \par A[1]:=contains(S,1); \par for j from 2 to n do \par A[j]:=contains(S,1,A[j-1]+1); \par if A[j]=0 then break; \par end_if; \par end_for; \par B:=[op(A,i)$i=1.._plus(op(S))]; \par C:=[0$n]; \par C[1]:=contains(S,0); \par for j from 2 to n do \par C[j]:=contains(S,0,C[j-1]+1); \par if C[j]=0 then break; \par end_if; \par end_for; \par F:=[op(C,i)$i=1..n-_plus(op(S))]; \par G:=[S,B,F] \par end_proc: \par \par spielstaendeallg:=proc(n,p,K,m) \par local A,B,Z,i; \par begin \par Z:=zeit(n,p); \par A:=op(Z,1); \par B:=[]; \par if A[1]>0 then A[1]:=K+m; \par else A[1]:=K-m; \par end_if; \par for i from 2 to nops(A) do \par if A[i]=1 then A[i]:=A[i-1]+m; \par elif A[i]=0 then A[i]:=A[i-1]-m; \par end_if; \par end_for; \par B:=[op(A,i)$i=1..nops(A)]; \par end_proc: \par \par martingalminimum:=proc(n,p,K,m) \par local D,E,G,S,ST,Z,g,t; \par begin \par Z:=zeit(n,p); \par S:=op(Z,1);/*Hier stehen die Spielst\'e4nde*/ \par D:=op(Z,2);/*Hier stehen die Gewinnzeiten*/ \par E:=op(Z,3);/*Hier stehen die Verlustzeiten*/ \par /*-----------------------------------------------------------*/ \par /*Im folgenden Abschnitt wird die Martingalstrategie simuliert*/ \par G:=[0$n]; \par if S[1]=1 then G[1]:=K+m; \par else G[1]:=K-m; \par end_if; \par for t from 2 to nops(S) do \par if S[t]=1 then G[t]:=K+contains(D,t)*m; \par elif S[t]=0 then \par if S[t-1]=1 then G[t]:=G[t-1]-m; \par elif S[t-1]=0 then \par for g from 2 to t do \par if has(E,t-g)=TRUE then G[t]:=G[t-1]-(2^(g)*m); \par elif has(E,t-g)=FALSE then \par G[t]:=G[t-1]-(2^(g-1)*m);break; \par end_if; \par end_for; \par end_if; \par end_if; \par end_for; \par ST:=[op(G,t)$t=1..nops(G)]; \par /*Hier stehen jetzt die Spielst\'e4nde*/ \par end_proc: \par \par \par supermartingal:=proc(n,p,K,m) \par local D,E,G,S,ST,Z,g,t; \par begin \par Z:=zeit(n,p); \par S:=op(Z,1);/*Hier stehen die Spielst\'e4nde*/ \par D:=op(Z,2);/*Hier stehen die Gewinnzeiten*/ \par E:=op(Z,3);/*Hier stehen die Verlustzeiten*/ \par /*-----------------------------------------------------------*/ \par /*Im folgenden Abschnitt wird die Supermartingalstrategie \par simuliert*/ \par G:=[0$n]; \par if S[1]=1 then G[1]:=K+m; \par else G[1]:=K-m; \par end_if; \par for t from 2 to nops(S) do \par if S[t]=1 then G[t]:=K+t*m; \par elif S[t]=0 then \par if S[t-1]=1 then G[t]:=G[t-1]-m; \par elif S[t-1]=0 then \par for g from 2 to t do \par if has(E,t-g)=TRUE then G[t]:=G[t-1]-(2*(2^(g)*m)-m); \par elif has(E,t-g)=FALSE then \par G[t]:=G[t-1]-(2*(2^(g-1)*m)-m);break; \par end_if; \par end_for; \par end_if; \par end_if; \par end_for; \par ST:=[op(G,t)$t=1..nops(G)]; \par end_proc: \par \par \par amerimartingal:=proc(n,p,K,m) \par local D,E,G,S,ST,Z,g,t; \par begin \par Z:=zeit(n,p); \par S:=op(Z,1);/*Hier stehen die Spielst\'e4nde*/ \par D:=op(Z,2);/*Hier stehen die Gewinnzeiten*/ \par E:=op(Z,3);/*Hier stehen die Verlustzeiten*/ \par /*-----------------------------------------------------------*/ \par /*Im folgenden Abschnitt wird die Strategie simuliert*/ \par G:=[0$n]; \par if S[1]=1 then G[1]:=K+m; \par else G[1]:=K-m; \par end_if; \par for t from 2 to nops(S) do \par if S[t]=1 then \par if contains(D,t)=1 then G[t]:=G[t-1]+t*m \par else G[t]:=G[t-1]+(t-op(D,contains(D,t)-1))*m; \par end_if; \par elif S[t]=0 then \par if S[t-1]=1 then G[t]:=G[t-1]-m; \par elif S[t-1]=0 then \par for g from 2 to t do \par if has(E,t-g)=TRUE then G[t]:=G[t-1]-((g+1)*m); \par elif has(E,t-g)=FALSE then G[t]:=G[t-1]-(g*m);break; \par end_if; \par end_for; \par end_if; \par end_if; \par end_for; \par ST:=[op(G,t)$t=1..nops(G)]; \par end_proc: \par \par \par whittacker:=proc(n,p,K,m) \par local D,E,G,S,ST,Z,t; \par begin \par Z:=zeit(n,p); \par S:=op(Z,1);/*Hier stehen die Spielst\'e4nde*/ \par D:=op(Z,2);/*Hier stehen die Gewinnzeiten*/ \par E:=op(Z,3);/*Hier stehen die Verlustzeiten*/ \par /*-----------------------------------------------------------*/ \par /*Im folgenden Abschnitt wird die Strategie simuliert*/ \par G:=[0$n]; \par if S[1]=1 then G[1]:=K+m; \par else G[1]:=K-m; \par end_if; \par for t from 2 to nops(S) do \par if S[t]=1 then \par if contains(D,t)=1 and t=2 then G[t]:=K+m \par elif contains(D,t)=1 and t=3 then G[t]:=K \par elif contains(D,t)=1 and t>3 then G[t]:=G[t-3] \par elif contains(D,t)>1 and (t-op(D,contains(D,t)-1))=1 then \par G[t]:=G[t-1]+m \par elif contains(D,t)>1 and (t-op(D,contains(D,t)-1))=2 then \par G[t]:=G[t-2]+m \par elif contains(D,t)>1 and (t-op(D,contains(D,t)-1))>2 then \par G[t]:=G[t-3] \par end_if; \par elif S[t]=0 then \par if contains(E,t)=1 then G[t]:=G[t-1]-m \par elif contains(E,t)=2 and (t-op(E,contains(E,t)-1))=1 then \par G[t]:=G[t-1]-2*m \par elif contains(E,t)=2 and (t-op(E,contains(E,t)-1))>1 then \par G[t]:=G[t-1]-m \par elif contains(E,t)>2 and (t-op(E,contains(E,t)-1))>1 then \par G[t]:=G[t-1]-m \par elif contains(E,t)>2 and (t-op(E,contains(E,t)-1))=1 \par and (t-op(E,contains(E,t)-2))=2 and t=3 then \par G[t]:=G[t-1]-3*m \par elif contains(E,t)>2 and (t-op(E,contains(E,t)-1))=1 \par and (t-op(E,contains(E,t)-2))=2 and t<>3 then \par G[t]:=G[t-1]-(G[t-3]-G[t-1]) \par elif contains(E,t)>2 and (t-op(E,contains(E,t)-1))=1 \par and (t-op(E,contains(E,t)-2))>2 then \par G[t]:=G[t-1]-2*m \par end_if; \par end_if; \par end_for; \par ST:=[op(G,t)$t=1..nops(G)]; \par end_proc: \par \par \par graph:=spielstaendeallg(n,p,K,m): \par Punktliste:=[l,graph[l]]$l=1..n: \par PU:=plot::Polygon2d([Punktliste], \par AxesTitles=["Spiel","Kontostand"], \par Color=RGB::Blue, \par Legend = "Masse \'e9gale-Spiel"): \par \par graph1:=martingalminimum(n,p,K,m): \par Punktliste1:=[l,graph1[l]]$l=1..n: \par PU1:=plot::Polygon2d([Punktliste1], \par AxesTitles=["Spiel","Kontostand"], \par Color=RGB::Black, \par Legend = "Einfache Martingalstrategie"): \par \par graph2:=supermartingal(n,p,K,m): \par Punktliste2:=[l,graph2[l]]$l=1..n: \par PU2:=plot::Polygon2d([Punktliste2], \par AxesTitles=["Spiel","Kontostand"], \par Color=RGB::Red, \par Legend = "Supermartingalstrategie"): \par \par graph3:=amerimartingal(n,p,K,m): \par Punktliste3:=[l,graph3[l]]$l=1..n: \par PU3:=plot::Polygon2d([Punktliste3], \par AxesTitles=["Spiel","Kontostand"], \par Color=RGB::PermanentGreen, \par Legend = "Amerikanische Martingalstrategie"): \par \par graph4:=whittacker(n,p,K,m): \par Punktliste4:=[l,graph4[l]]$l=1..n: \par PU4:=plot::Polygon2d([Punktliste4], \par AxesTitles=["Spiel","Kontostand"], \par Color=RGB::LightOrange, \par Legend = "Whittacker Progression"); \par \par PU5:=plot::Line2d([0, K], [n,K],LineStyle=Dashed, \par Color=RGB::Black): \par plot(PU,PU1,PU2,PU3,PU4,PU5, \par Width = 16*unit::cm, \par Height = 12*unit::cm) \par end_proc: \par \par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Im Folgenden machen wir 200 Spiele bei einem Startkapital von 100 Euro und einem \par Einsatz von 10 Euro. \par Das Schaubild zeigt uns den Verlauf des Kontostandes beim Spielen der 5 Strategien: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}komplett(200,1/2,100,10) \par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Nun k\'f6nnen wir die Strategien untereinander vergleichen. Es f\'e4llt auf, dass der Kontostand beim \par Spielen der Supermartingalstrategie am Ende am h\'f6chsten ist. Das ist kein Wunder, denn diese \par Strategie hat das steilste Progressionsschema. Man gewinnt im Schnitt pro Spiel zwei \par Satzeinheiten. Doch auch die Gefahr dieser Strategie wird im Schaubild deutlich: \par Durch die hohen Eins\'e4tze ist die Gefahr eines Bankrotts hier am gr\'f6\'dften. Eine Verlustserie kann \par den Spieler (abh\'e4ngig vom Startkapital und dem Tischminimum) schnell in den Ruin treiben. \par Au\'dferdem kann bei dieser Strategie schnell das Tischmaximum erreicht werden. \par Gew\'f6hnlich liegt es bei 2 und 5 Euro Tischen f\'fcr die Einfachen Chancen bei 7000 Euro. \par Bei der Einfachen Martingalstrategie liegen dieselben Risiken vor, der Spieler kann sich aber \par eine etwas l\'e4ngere Verlustserie leisten, da die Eins\'e4tze nicht ganz so schnell steigen. Wir haben \par aber gesehen, dass auch diese Strategie auf lange Sicht zu gef\'e4hrlich ist, da sich die \par Wahrscheinlichkeit, bankrott zu gehen, im Schnitt mit der Anzahl der get\'e4tigten Spiele erh\'f6ht. \par Auf sehr kurze Sicht k\'f6nnte man mit der Strategie etwas Geld verdienen, doch Strategien sind \par dazu da, lange gespielt zu werden und dies funktioniert hier nicht. Der Leser kann sich davon \par \'fcberzeugen, indem er die Anzahl \plain\f4\fs24\cf3 n\plain\f4\fs24\cf0 der Spiele in den Prozeduren erh\'f6ht. Man wird fast sicher bei \par gro\'dfem \plain\f4\fs24\cf3 n\plain\f4\fs24\cf0 in einem der \plain\f4\fs24\cf3 n\plain\f4\fs24\cf0 Spiele bankrott gehen. Theoretisch l\'e4sst sich dies nat\'fcrlich auch zeigen. \par Es sei hier auf die in der Anmerkung erw\'e4hnte Examensarbeit verwiesen. \par Alle \'fcbrigen Progressionen laufen in Abstufungen nach flacheren Progressionsschemata ab, \par also ist die Gefahr eines Bankrotts geringer, man erzielt im Schnitt aber auch einen geringeren \par Gewinn; mit obigem Spielverlauf h\'e4tte man beim Spielen der Masse \'e9gale-Strategie sogar nach \par 200 Spielen einen Verlust zu beklagen und mit der amerikanischen Martingalstrategie w\'fcrde man \par lediglich wieder bei seinem Startkapital landen. Auch diese Strategien sind mit den gleichen \par abgeschw\'e4chten Argumenten wie oben nicht empfehlenswert. Man mache sich das durch \par Wiederholen der Prozeduren an den entsprechenden Graphen einmal deutlich. \par Doch lohnt sich wenigstens das Masse \'e9gale-Spiel? Klares Nein! Sie ist die denkbar schlechteste \par Strategie: Wir hatten gesehen, dass es z.B. kl\'fcger ist, im ersten Spiel "Alles oder Nichts" \par zu spielen, da dort nur eine Bankrottwahrscheinlichkeit von etwas mehr als 50% vorliegt und man \par z.B. sein Startkapital von 50 Euro verdoppeln kann. Wollte man das mit dem Masse \'e9gale-Spiel \par erreichen, w\'fcrde man mit einer Wahrscheinlichkeit von \'fcber 93% scheitern!! \par \par Fazit: Albert Einstein soll einmal gesagt haben "Auf keinen Fall bringt es einer fertig, beim Roulette \par zu gewinnen, es sei denn, er stiehlt Geld vom Tisch, wenn der Croupier nicht hinsieht." \par Dem ist nichts hinzuzuf\'fcgen.\plain\f4\fs24\cf3 \par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________ \par \plain\f4\fs22\cf0 \par \plain\f4\fs22\cf2\b Anmerkungen:\plain\f4\fs22\cf2 \par \plain\f4\fs20\cf2\b 1\plain\f4\fs20\cf2 . Weitere Anregungen zum Einsatz von MuPAD in der Lehre finden Sie auf unserem WebPortal \par \plain\f4\fs20\cf0 \plain\f4\fs20\cf2 \plain\f4\fs20\cf2\i MuPAD in Schule und Studium\plain\f4\fs20\cf2 unter: \plain\f4\fs20\cf4 http://schule.mupad.de\plain\f4\fs20\cf2 bzw. \plain\f4\fs20\cf4 http://studium.mupad.de\plain\f4\fs20\cf2 . \par \par \plain\f4\fs20\cf2\b 2\plain\f4\fs20\cf2 . Mathematische Formeln in diesem Notebook stammen aus der Examensarbeit \par "Roulette - Theorie und Simulation eines Gl\'fccksspiels", die vom Autor im Rahmen \par der Ersten Staatspr\'fcfung f\'fcr das Lehramt an Gymnasien im Jahr 2004 am \par Institut f\'fcr Mathematische Stochastik an der Georg-August Universit\'e4t in \par G\'f6ttingen angefertigt wurde. Die programmierten Roulettestrategien wurden im \par Rahmen dieser Arbeit ebenfalls mathematisch untersucht. \par Der interessierte Leser sei darauf verwiesen. Entsprechende Teile der Arbeit \par k\'f6nnen gerne auf Anfrage beim Autor angefordert werden.\plain\f6\fs20\cf2 \par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________ \par \plain\f4\fs24\cf3 \par }