\mnb150<nb wrap="0" txtwidth="80" autowidth="0" pprint="1" typeset="1" xface="Times New Roman" xsize="240" xbold="0" xitalic="0" xcolor="#0000FF" slidents="1" sizemult="71" minsize="160" ifont="0 280 255 0 49 Courier New" ofont="0 280 16711680 0 49 Courier New" tfont="0 280 0 0 34 Arial"></nb>ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fswiss\fprq2 Arial;}{\f5\fmodern\fprq1\fcharset1 Courier New;}{\f6\froman\fprq2 Times New Roman;}{\f7\fswiss\fprq2 Arial Black;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b _____________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs20\cf0 
\par Inhalt....: Roulettestrategien II
\par Kategorie.: Arbeitsblatt
\par Mathematik: Stochastik, Programmierung
\par MuPAD.....: 3.1.0
\par Datum.....: \plain\f5\fs20\cf0 2005-07-04\plain\f3\fs20\cf0 
\par Autoren...: Thorsten Fraas <thorstenfraas@gmx.de>
\par Funktionen: contains, for, has, if, begin, stats::binomialRandom
\par Funktionen: op, plot::Polygon2d, AxesTitles\plain\f3\fs20\cf0\b 
\par _____________________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs36\cf0\b 
\par Empirische Untersuchung von Roulettestrategien II\plain\f7\fs36\cf0 
\par \plain\f6\fs24\cf0 
\par \plain\f4\fs24\cf2\b Zur Einf\'fchrung bitte die Einleitung in Notebook "roulette1.mnb" lesen.
\par 
\par Aufbau dieses Notebooks:
\par 1. Grundlegende Prozeduren f\'fcr das gesamte Notebook
\par 2. Progressionsspiele
\par   a) Einfache Martingalstrategie
\par   b) Supermartingalstrategie
\par   
\par Vorbemerkung:
\par \plain\f4\fs24\cf0 I\plain\f4\fs24\cf2 n vielen Casinos gibt es die Sonderregel, dass beim Auftauchen der Null der Spieler 
\par nach dem Setzen auf die Einfachen Chancen die H\'e4lfte seines Einsatzes zur\'fcckerh\'e4lt. 
\par Je nach Casino gibt es weitere solcher Sonderregeln f\'fcr das Verhalten beim 
\par Erscheinen der Null. 
\par Ich habe es unterlassen derartige Sonderregeln in die Prozeduren
\par zu integrieren, da die 100%-ige Modellierung  des Spiels den theoretischen Teil meiner Arbeit  
\par (siehe Anmerkung am Ende des Dokuments) mathematisch nicht mehr handhabbar h\'e4tte 
\par werden lassen. Ich musste also vereinfachte Annahmen machen, um den Umfang einer 
\par Staatsexamensarbeit einhalten zu k\'f6nnen. 
\par In Notebook  5 habe ich sp\'e4ter nach Beenden der Arbeit  versucht, die Sonderregel in die 
\par Prozeduren zu integrieren. Dies ist mir f\'fcr die Einfache Martingalstrategie und die 
\par Supermartingalstrategie gelungen. Somit ist Notebook 5 als Anhang zu verstehen, der 
\par den Leser dazu motivieren kann, auch die anderen Prozeduren umzuschreiben.
\par \plain\f4\fs36\cf0 
\par 
\par \plain\f4\fs32\cf0 1. Grundlegende Prozeduren f\'fcr das gesamte Notebook
\par \plain\f4\fs24\cf0 In diesem Notebook werden einige Prozeduren immer wieder verwendet.  
\par Wir wollen sie deshalb gleich zu Beginn festlegen.
\par Die Prozedur \plain\f4\fs24\cf3 roulette\plain\f4\fs24\cf0  simuliert ein Roulettespiel, wobei \plain\f4\fs24\cf3 n\plain\f4\fs24\cf0 -Spiele gemacht werden 
\par und der Spieler mit  Wahrscheinlichkeit \plain\f4\fs24\cf3 p\plain\f4\fs24\cf0  gewinnt. Es wird eine Liste mit 
\par Nullen und Einsen ausgegeben. Eine Eins gibt ein gewonnenes Spiel an, 
\par die Null steht f\'fcr ein verlorenes Spiel.
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}roulette:=proc(n,p)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf3 local A,i,k;
\par begin
\par kessel:=stats::binomialRandom(1,p):kessel()$ k=1..n;
\par A:=[kessel() $i=1..n];
\par end_proc:
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 
\par Nun werden wir eine Prozedur schreiben, die 
\par a) den Spielverlauf angibt, 
\par b) anzeigt, an welchen Stellen die Einsen stehen, zu welchen Zeitpunkten der Spieler also 
\par     gewonnen hat und
\par c) angibt, an welchen Stellen die Nullen stehen, wann der Spieler also verloren hat:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}zeit:=proc(n,p)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf3 local A,B,C,F,G,S,i,j;
\par begin
\par S:=roulette(n,p);
\par A:=[0$n];
\par A[1]:=contains(S,1);
\par    for j from 2 to n do
\par    A[j]:=contains(S,1,A[j-1]+1);
\par       if A[j]=0 then break;
\par       end_if;
\par    end_for;
\par B:=[op(A,i)$i=1.._plus(op(S))];
\par C:=[0$n];
\par C[1]:=contains(S,0);
\par    for j from 2 to n do
\par    C[j]:=contains(S,0,C[j-1]+1);
\par       if C[j]=0 then break;
\par       end_if;
\par    end_for;
\par F:=[op(C,i)$i=1..n-_plus(op(S))];
\par G:=[S,B,F]
\par end_proc:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}zeit(10,18/37)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Nun haben wir wichtige Prozeduren festgelegt und werden einige Strategien simulieren.
\par 
\par \plain\f4\fs32\cf0 2. Progressionsspiele
\par \plain\f4\fs24\cf0 
\par \plain\f4\fs28\cf0 a) Einfache Martingalstrategie
\par \plain\f6\fs24\cf0 
\par \plain\f4\fs24\cf0 Empirisch untersucht werden soll zun\'e4chst die bekannte Verdoppelungsstrategie 
\par beim Roulette - auch Einfache Martingalstrategie genannt.
\par Die Strategie sieht folgenderma\'dfen aus:
\par Der Spieler beginnt mit \plain\f4\fs24\cf3 K\plain\f4\fs24\cf0  Euro und setzt einen Euro auf die Einfachen Chancen 
\par (Rot oder Schwarz, Gerade oder Ungerade, Manque (Zahlen 1-18) oder Passe (Zahlen 19-36)).
\par F\'fcr die Erfolgswahrscheinlichkeit eines Laufs w\'e4hlen wir \plain\f4\fs24\cf3 p\plain\f4\fs24\cf0 <1/2, 
\par wobei die Null bereits ber\'fccksichtigt ist, z.B. \plain\f4\fs24\cf3 p\plain\f4\fs24\cf0 =18/37 (die Null ist weder Gerade, noch Ungerade, 
\par weder Rot noch Schwarz).
\par 
\par Wenn der Spieler gewinnt, legt er den gewonnen Euro zu seinem Kapital und spielt weiter. 
\par Falls der Spieler verliert, setzt er den doppelten Betrag des vorhergehenden Einsatzes ein. 
\par Damit hofft er, eine Verlustserie mit einem Gewinn auszugleichen und sogar noch 
\par einen Euro zu gewinnen.
\par Ein m\'f6glicher Spielverlauf k\'f6nnte also sein:
\par 
\par \pard\li1000\ri4\plain\f4\fs24\cf0 1. Spiel: 1 Euro gesetzt - verloren
\par 2. Spiel: 2 Euro gesetzt - verloren
\par 3. Spiel: 4 Euro gesetzt - verloren
\par 4. Spiel: 8 Euro gesetzt - gewonnen.
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 
\par Diese stufenweise Steigerung der Satzh\'f6he nennt man Progression. Da sich die Steigerung 
\par immer auf das vorher verlorene Spiel bezieht, ist diese Art der Strategie eine Verlustprogression. 
\par Die Steigerung endet mit einem gewonnen Spiel und beginnt dann wieder von vorne, d.h., dass 
\par dann ein neuer Progressionslauf beginnt. 
\par In unserem Beispiel hatte der Spieler vor dem 4. Spiel insgesamt 7 Euro verloren, nun gewinnt 
\par er nach dem 4. Spiel auf einen Schlag 8 Euro und hat insgesamt einen Euro gewonnen. 
\par Dies h\'f6rt sich gut an, doch in der Strategie verbergen sich Gefahren. 
\par Diese Gefahren sollen deutlich gemacht werden.
\par 
\par Zuerst die Prozedur:
\par \plain\f6\fs24\cf0 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}martingal:=proc(n,p,K)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf3 local D,E,G,H,S,ST,Z,g,t;
\par begin
\par Z:=zeit(n,p);
\par S:=op(Z,1);\plain\f3\fs24\cf1 /*Hier stehen die Spielst\'e4nde*/\plain\f3\fs24\cf3 
\par D:=op(Z,2);\plain\f3\fs24\cf1 /*Hier stehen die Gewinnzeiten*/\plain\f3\fs24\cf3 
\par E:=op(Z,3);\plain\f3\fs24\cf1 /*Hier stehen die Verlustzeiten*/\plain\f3\fs24\cf3 
\par \plain\f3\fs24\cf1 /*-----------------------------------------------------------*/
\par /*Im folgenden Abschnitt wird die Martingalstrategie simuliert*/
\par \plain\f3\fs24\cf3 G:=[0$n];
\par   if S[1]=1 then G[1]:=K+1;
\par   else G[1]:=K-1;
\par   end_if;
\par   for t from 2 to nops(S) do
\par    if S[t]=1 then G[t]:=K+contains(D,t);
\par    elif S[t]=0 then
\par       if S[t-1]=1 then G[t]:=G[t-1]-1;
\par       elif S[t-1]=0 then
\par          for g from 2 to t do
\par             if has(E,t-g)=TRUE then G[t]:=G[t-1]-(2^(g));
\par              elif has(E,t-g)=FALSE then 
\par                  G[t]:=G[t-1]-(2^(g-1));break;
\par             end_if;
\par          end_for;
\par       end_if;
\par    end_if;
\par   end_for;    
\par ST:=[op(G,t)$t=1..nops(G)]; 
\par \plain\f3\fs24\cf1 /*Hier stehen jetzt die Spielst\'e4nde*/
\par \plain\f3\fs24\cf3 end_proc:
\par \pard\ri4\plain\f6\fs24\cf0 
\par \plain\f4\fs24\cf0 Nun gibt man an, wie viele Spiele man spielen und mit welchem Anfangsbetrag man starten will 
\par (als Erfolgswahrscheinlichkeit w\'e4hle man der Einfachheit halber beim Setzen auf die 
\par Einfachen Chancen \plain\f4\fs24\cf3 p\plain\f4\fs24\cf0 =18/37). 
\par Die folgende Liste gibt die Spielst\'e4nde an:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}martingal(10,18/37,100)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Die folgende Grafik verdeutlicht den Spielverlauf nach 100 Spielen mit einem Anfangsbetrag von
\par 50 Euro anschaulich. Man gewinnt auf Dauer ungef\'e4hr in jedem zweiten Spiel einen Euro, aber 
\par eine l\'e4ngere Verlustserie ruiniert den Spieler (abh\'e4ngig vom Starteinsatz). 
\par Dazu im Folgenden mehr.
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}kurve1:=martingal(100,18/37,50):
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf3 Punkte1:=[n,kurve1[n]]$n=1..100:
\par plot(plot::Polygon2d([Punkte1],
\par                      AxesTitles=["Spiel","Kontostand"]));
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Wir sehen an dem obigen Beispiel, dass man nach 100 Spielen mit einem Anfangsbetrag von
\par 50 Euro ungef\'e4hr 100 Euro in der Tasche hat. Problematisch ist dabei allerdings die Tatsache, 
\par dass wir bei einer Verlustserie von 6 Spielen pleite sind und dann gar nicht mehr weiter spielen 
\par k\'f6nnten, denn wir h\'e4tten nach 6 Spielen 63 Euro verloren und m\'fcssten im
\par n\'e4chsten Spiel 64 Euro einsetzen, die wir aber gar nicht mehr in der Tasche haben.
\par Die Prozedur \plain\f4\fs24\cf3 dauer\plain\f4\fs24\cf0  gibt an, wann der Spieler das erste Mal bankrott ist:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}dauer:=proc(n,p,K)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf3 local N,P;
\par begin
\par N:=martingal(n,p,K):
\par P:=select(N,hastype,Type::NegInt):
\par contains(N,op(P,1))
\par end_proc:
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}dauer(100,18/37,50)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Der Spieler ist in diesem Beispiel schon nach 7 Spielen pleite, wenn er mit 50 Euro beginnt.
\par \plain\f6\fs24\cf0 
\par \plain\f4\fs24\cf0 Wir wollen noch wissen, wie lang die l\'e4ngste Verlustserie ist:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}verlustserie:=proc(n,p,K)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf3 local D,E,G,H,J,L,S,ST,Z,g,t,q,s;
\par  begin
\par Z:=zeit(n,p);
\par S:=op(Z,1);
\par D:=op(Z,2);
\par E:=op(Z,3);
\par G:=[0$n];
\par   if S[1]=1 then G[1]:=K+1;
\par   else G[1]:=K-1;
\par   end_if;
\par   for t from 2 to nops(S) do
\par    if S[t]=1 then G[t]:=K+contains(D,t);
\par    elif S[t]=0 then
\par       if S[t-1]=1 then G[t]:=G[t-1]-1;
\par       elif S[t-1]=0 then
\par          for g from 2 to t do
\par             if has(E,t-g)=TRUE then G[t]:=G[t-1]-(2^(g));
\par              elif has(E,t-g)=FALSE then 
\par                G[t]:=G[t-1]-(2^(g-1));break;
\par             end_if;
\par          end_for;
\par       end_if;
\par    end_if;
\par   end_for;    
\par ST:=[op(G,t)$t=1..nops(G)]; 
\par \plain\f3\fs24\cf1 /*-------------------------------------------------------------*/
\par /*Bis hier war die Prozedur wie gehabt, nun folgt die 
\par   Programmierung der Verlustserie*/
\par \plain\f3\fs24\cf3 H:=[0$n];
\par    for q from 2 to nops(D) do
\par       H[q]:=((op(D,q)-op(D,q-1)-1));
\par    end_for;
\par J:=([op(H,s)$s=1..n]);
\par L:=max(max(J),op(D,1)-1,n-op(D,nops(D)));
\par end_proc:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}verlustserie(100,18/37,50)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 In diesem Beispiel hat der Spieler also achtmal in Folge verloren! Er hat dabei 255 Euro 
\par verloren und ist folglich pleite.
\par Nun ist es interessant zu betrachten, was geschieht, wenn das Tischminimum nicht 1 Euro, 
\par sondern \plain\f4\fs24\cf3 m\plain\f4\fs24\cf0  Euro ist. 
\par Schlie\'dflich existieren in Deutschland Tische mit 2,5,10, 20 und auch 50 Euro Tischminimum.
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}martingalminimum:=proc(n,p,K,m)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf3 local D,E,G,S,ST,Z,g,t;
\par begin
\par Z:=zeit(n,p);
\par S:=op(Z,1);\plain\f3\fs24\cf1 /*Hier stehen die Spielst\'e4nde*/
\par \plain\f3\fs24\cf3 D:=op(Z,2);\plain\f3\fs24\cf1 /*Hier stehen die Gewinnzeiten*/
\par \plain\f3\fs24\cf3 E:=op(Z,3);\plain\f3\fs24\cf1 /*Hier stehen die Verlustzeiten*/
\par /*-----------------------------------------------------------*/
\par /*Im folgenden Abschnitt wird die Martingalstrategie simuliert*/\plain\f3\fs24\cf3 
\par G:=[0$n];
\par   if S[1]=1 then G[1]:=K+m;
\par   else G[1]:=K-m;
\par   end_if;
\par   for t from 2 to nops(S) do
\par    if S[t]=1 then G[t]:=K+contains(D,t)*m;
\par    elif S[t]=0 then
\par       if S[t-1]=1 then G[t]:=G[t-1]-m;
\par       elif S[t-1]=0 then
\par          for g from 2 to t do
\par             if has(E,t-g)=TRUE then G[t]:=G[t-1]-(2^(g)*m);
\par              elif has(E,t-g)=FALSE then 
\par                G[t]:=G[t-1]-(2^(g-1)*m);break;
\par             end_if;
\par          end_for;
\par       end_if;
\par    end_if;
\par   end_for;    
\par ST:=[op(G,t)$t=1..nops(G)]; \plain\f3\fs24\cf1 /*Hier stehen jetzt die Spielst\'e4nde*/\plain\f3\fs24\cf3 
\par end_proc:
\par 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}martingalminimum(10,18/37,50,2)
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Auch diese Werte wollen wir einmal graphisch veranschaulichen. Je gr\'f6\'dfer das Tischminimum, 
\par desto gr\'f6\'dfer werden nat\'fcrlich auch die Ausschl\'e4ge der Kurve, weil durch das Verdoppeln 
\par die Eins\'e4tze schneller anwachsen.
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}kurve2:=martingalminimum(100,18/37,50,5):
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf3 Punkte2:=[n,kurve2[n]]$n=1..100:
\par plot(plot::Polygon2d([Punkte2],
\par      AxesTitles=["Spiel","Kontostand"]));
\par 
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Der Leser beachte die Ausschl\'e4ge unter die x-Achse. 
\par Das Spiel w\'e4re nat\'fcrlich bereits nach dem ersten Erreichen der x-Achse beendet, weil der 
\par Spieler bankrott w\'e4re.\plain\f4\fs24\cf3 
\par \plain\f4\fs24\cf0 
\par \plain\f4\fs28\cf0 b) Supermartingalstrategie
\par \plain\f6\fs24\cf0 
\par \plain\f4\fs24\cf0 Die Supermartingalstrategie ist eine Abwandlung der Einfachen Martingalstrategie. 
\par Das Progressionsschema der Supermartingale verl\'e4uft steiler als das der Einfachen Martingale:
\par 1-3-7-15-31-63-127-255-511-1023.
\par Der vorhergehende Einsatz wird verdoppelt und eine Satzeinheit wird noch addiert. Ansonsten 
\par gelten die gleichen Regeln wie bei der Einfachen Martingalstrategie
\par Wir wollen diese Strategie gleich mit einem beliebigen Tischminimum \plain\f4\fs24\cf3 m\plain\f4\fs24\cf0  simulieren:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}supermartingal:=proc(n,p,K,m)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf3 local D,E,G,S,ST,Z,g,t;
\par begin
\par Z:=zeit(n,p);
\par S:=op(Z,1);\plain\f3\fs24\cf1 /*Hier stehen die Spielst\'e4nde*/
\par \plain\f3\fs24\cf3 D:=op(Z,2);\plain\f3\fs24\cf1 /*Hier stehen die Gewinnzeiten*/
\par \plain\f3\fs24\cf3 E:=op(Z,3);\plain\f3\fs24\cf1 /*Hier stehen die Verlustzeiten*/
\par           /*-----------------------------------------------------------*/
\par           /*Im folgenden Abschnitt wird die Supermartingalstrategie simuliert*/
\par \plain\f3\fs24\cf3 G:=[0$n];
\par   if S[1]=1 then G[1]:=K+m;
\par   else G[1]:=K-m;
\par   end_if;
\par   for t from 2 to nops(S) do
\par    if S[t]=1 then G[t]:=K+t*m;
\par    elif S[t]=0 then
\par       if S[t-1]=1 then G[t]:=G[t-1]-m;
\par       elif S[t-1]=0 then
\par          for g from 2 to t do
\par             if has(E,t-g)=TRUE then 
\par                G[t]:=G[t-1]-(2*(2^(g)*m)-m);
\par              elif has(E,t-g)=FALSE then 
\par                G[t]:=G[t-1]-(2*(2^(g-1)*m)-m);break;
\par             end_if;
\par          end_for;
\par       end_if;
\par    end_if;
\par   end_for;    
\par ST:=[op(G,t)$t=1..nops(G)];
\par end_proc:
\par 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}supermartingal(10,18/37,100,1)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}kurve3:=supermartingal(100,18/37,50,5):
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf3 Punkte3:=[n,kurve3[n]]$n=1..100:
\par plot(plot::Polygon2d([Punkte3],
\par      AxesTitles=["Spiel","Kontostand"]));
\par \pard\ri4\plain\f4\fs24\cf0 Wir sehen: Die Kurve verl\'e4uft wesentlich steiler als bei der Einfachen Martingalstrategie. 
\par Der Spieler kann im Schnitt pro Spiel mit zwei gewonnen Satzeinheiten rechnen, durch die 
\par hohen Eins\'e4tze allerdings auch mit einer h\'f6heren Wahrscheinlichkeit f\'fcr gr\'f6\'dfere Verluste, 
\par die ihn schneller in den Bankrott bringen k\'f6nnen. 
\par 
\par Im 4. Notebook werden die Strategien untereinander bei gleichem Spielverlauf verglichen. 
\par Wir werden dort sehen, wie sich der Kontostand des Spielers entwickelt h\'e4tte, wenn er bei 
\par identischem Spielverlauf die Supermartingalstrategie oder die Einfache Martingalstrategie 
\par gespielt h\'e4tte.
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\par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs22\cf0 
\par \plain\f4\fs22\cf2\b Anmerkungen:\plain\f4\fs22\cf2 
\par \plain\f4\fs20\cf2\b 1\plain\f4\fs20\cf2 .  Weitere Anregungen zum Einsatz von MuPAD in der Lehre finden Sie auf unserem WebPortal
\par \plain\f4\fs20\cf0    \plain\f4\fs20\cf2   \plain\f4\fs20\cf2\i MuPAD in Schule und Studium\plain\f4\fs20\cf2  unter: \plain\f4\fs20\cf4 http://schule.mupad.de\plain\f4\fs20\cf2  bzw. \plain\f4\fs20\cf4 http://studium.mupad.de\plain\f4\fs20\cf2 .
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\par \plain\f4\fs20\cf2\b 2\plain\f4\fs20\cf2 . Mathematische Formeln in diesem Notebook stammen aus der Examensarbeit 
\par    "Roulette - Theorie und Simulation eines Gl\'fccksspiels", die vom Autor im Rahmen 
\par    der Ersten Staatspr\'fcfung f\'fcr das Lehramt an Gymnasien im Jahr 2004 am 
\par    Institut f\'fcr Mathematische Stochastik an der Georg-August Universit\'e4t in   
\par    G\'f6ttingen angefertigt wurde. Die programmierten Roulettestrategien wurden im 
\par    Rahmen dieser Arbeit ebenfalls mathematisch untersucht.
\par    Der interessierte Leser sei darauf verwiesen. Entsprechende Teile der Arbeit 
\par    k\'f6nnen gerne auf Anfrage beim Autor angefordert werden.\plain\f6\fs20\cf2 
\par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs24\cf2\b 
\par }