\mnb150<nb wrap="0" txtwidth="80" autowidth="0" pprint="1" typeset="1" xface="Times New Roman" xsize="240" xbold="0" xitalic="0" xcolor="#0000FF" slidents="1" sizemult="71" minsize="160" ifont="0 280 255 0 49 Courier New" ofont="0 280 16711680 0 49 Courier New" tfont="0 280 0 0 34 Arial"></nb>ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fmodern\fprq1\fcharset1 Courier New;}{\f5\froman\fprq2 Times New Roman;}{\f6\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f7\fswiss\fprq2 Arial Black;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f6\fs20\cf0\b _____________________________________________________________________________________
\par \plain\f6\fs20\cf0 
\par Inhalt....: Roulettestrategien I
\par Kategorie.: Arbeitsblatt
\par Mathematik: Stochastik, Programmierung
\par MuPAD.....: 3.1.0
\par Datum.....: \plain\f4\fs20\cf0 2005-07-04\plain\f6\fs20\cf0 
\par Autoren...: Thorsten Fraas <thorstenfraas@gmx.de>
\par Funktionen: contains, for, has, if, mod, AxesTitles, stats::sample
\par Funktionen: op, plot::Polygon2d, stats::mean\plain\f6\fs20\cf0\b 
\par _____________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs36\cf0\b 
\par Empirische Untersuchung von Roulettestrategien I\plain\f7\fs36\cf0 
\par \plain\f5\fs24\cf0 
\par \plain\f3\fs24\cf1\b In diesem aus f\'fcnf Notebooks bestehenden Paket werden Eigenschaften 
\par verschiedener gel\'e4ufiger Roulettestrategien empirisch untersucht. Die Strategien 
\par werden in den ersten drei Notebooks programmiert:
\par 
\par Dieses Notebook gibt allgemeine Informationen zum Roulettespiel und erl\'e4utert 
\par kurz den Unterschied der beiden Arten von Roulettestrategien 
\par (Masse \'e9gale-Spiele und Progressionsspiele).
\par Es besch\'e4ftigt sich dann mit den Masse \'e9gale-Spielen.
\par 
\par Die beiden folgenden Notebooks behandeln die sogenannten Progressionsspiele. 
\par Darunter fallen die Einfache Martingalstrategie, die Supermartingalstrategie 
\par (beide Notebook 2), die Amerikanische Martingalstrategie und die 
\par Whittacker- Progression (beide in Notebook 3).
\par 
\par Im vierten Notebook werden alle Strategien anhand eines identischen Spielverlaufs
\par miteinander verglichen. 
\par 
\par Das f\'fcnfte Notebook besch\'e4ftigt sich mit einem bei der Programmierung der 
\par Strategien aufgetretenen Problem und versucht dies ansatzweise zu l\'f6sen. Der
\par interessierte Leser kann versuchen, die Probleml\'f6sung an dieser Stelle fortzuf\'fchren.
\par 
\par Aufbau dieses Notebooks:
\par 1. Allgemeine Informationen zum Roulettespiel
\par 2. Masse \'e9gale-Spiele
\par   2.1 Masse \'e9gale-Spiele f\'fcr vorsichtige Spieler
\par   2.2 Masse \'e9gale-Spiele f\'fcr "Zocker"
\par   2.3 Wann ist der Spieler bankrott oder hat sein Ziel erreicht?
\par   2.4 Wie wahrscheinlich ist es, dass der Spieler bankrott geht?
\par 3. "Spielempfehlung"
\par 
\par \plain\f3\fs32\cf0 1. Allgemeine Informationen zum Roulettespiel
\par 
\par \plain\f3\fs24\cf0 Roulette z\'e4hlt unter den Gesellschaftsspielen zu den Gl\'fccksspielen und unterscheidet 
\par sich damit von kombinatorischen Spielen wie Schach und strategischen Spielen wie Poker 
\par dadurch, dass nicht mit Logik oder Bluff, sondern mit Gl\'fcck gewonnen wird. 
\par Da es zahlreiche Varianten des Roulettespiels gibt, wollen wir das klassische, 
\par meistgespielte, sogenannte franz\'f6sische Roulettespiel betrachten. Der Ablauf eines Spiels 
\par d\'fcrfte jedem bekannt sein. Der Spieler hat verschiedene M\'f6glichkeiten auf Zahlen von 
\par 0 bis 36 zu setzen. Die f\'fcr dieses Notebook relevanten M\'f6glichkeiten sollen sich auf 
\par die Einfachen Chancen beschr\'e4nken. Zu den Einfachen Chancen z\'e4hlt das Setzen auf 
\par Rot oder Schwarz, Gerade oder Ungerade und Manque (Zahlen von 1 bis 18) oder 
\par Passe (Zahlen von 19 bis 36). Die Null z\'e4hlt zu keinem dieser Bereiche.
\par Wir werden uns mit zwei Arten von Spielstrategien beim Roulette besch\'e4ftigen: 
\par Dem sogenannten Masse \'e9gale-Spiel und dem Progressionsspiel. 
\par Beim Masse \'e9gale-Spiel setzt man zu Beginn jedes Spiels immer den gleichen Betrag 
\par auf die Einfachen Chancen. 
\par Beim Progressionsspiel variiert der Einsatz und h\'e4ngt davon ab, ob man im Spiel zuvor 
\par gewonnen oder verloren hat. 
\par Die einzelnen Strategien werden im Folgenden n\'e4her beschrieben. Wer mehr Informationen
\par zu Roulettespielregeln ben\'f6tigt, kann sich im Internet auf der Homepage jeder Spielbank 
\par dar\'fcber informieren.
\par \plain\f3\fs28\cf0 
\par  
\par \plain\f3\fs32\cf0 2. Masse \'e9gale-Spiele
\par \plain\f3\fs36\cf0 
\par \plain\f3\fs28\cf0 2.1 Masse \'e9gale-Spiele f\'fcr vorsichtige Spieler
\par \plain\f5\fs24\cf0 
\par \plain\f3\fs24\cf0 Wir wollen im Folgenden das sogenannte Masse \'e9gale-Spiel simulieren. Dabei setzt 
\par der Spieler, der mit einem Startkapital von \plain\f3\fs24\cf2 K\plain\f3\fs24\cf0  Euro beginnt, \plain\f3\fs24\cf2 n\plain\f3\fs24\cf0  Spiele lang bei jedem Spiel 
\par vorsichtig 1 Euro auf die Einfachen Chancen (also z.B. die geraden Zahlen). 
\par Eine Besonderheit ist, dass der Spieler beim Setzen auf die Einfachen Chancen, 
\par wenn die Null f\'e4llt, die ja weder gerade noch ungerade ist, unter anderem die M\'f6glichkeit 
\par hat, die H\'e4lfte seines Einsatzes zur\'fcckzuverlangen.
\par Wir ber\'fccksichtigen dies in der folgenden Prozedur, in der wir Zufallszahlen von 0 bis 36 
\par erzeugen und allen geraden Zahlen den Wert 1 zuordnen (das entspricht also einem Euro 
\par Gewinn beim Setzen auf gerade Zahlen), allen ungeraden Zahlen den Wert -1 (da der 
\par Spieler verloren hat) und der Null den Wert -1/2.
\par \plain\f3\fs28\cf0 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}masseegale:=proc(n,K)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf2 local A,B,i;
\par  begin
\par   zufallszahlen:=proc(n)
\par  begin
\par   kessel := random(0..36): kessel() $ i = 1..n
\par  end_proc:
\par B:=[0$n];
\par A:=zufallszahlen(n);
\par  if A[1]mod 2=0 and A[1]>0 then B[1]:=K+1;
\par   elif A[1]=0 then B[1]:=K-1/2
\par   else B[1]:=K-1
\par  end_if;
\par  for i from 2 to n do
\par    if (A[i]mod 2 = 0) and A[i]>0 then B[i]:=B[i-1]+1
\par     elif A[i]=0 then B[i]:=B[i-1]-1/2
\par     else B[i]:=B[i-1]-1;
\par    end_if;
\par  end_for;
\par B;
\par end_proc:
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}masseegale(10,50)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}schaubild:=masseegale(200,50):
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf2 Pktliste:=[n,schaubild[n]]$n=1..200:
\par plot(plot::Polygon2d([Pktliste],
\par  AxesTitles=["Spiel","Kontostand"]));
\par \pard\ri4\plain\f3\fs24\cf0 Auf diese Weise k\'f6nnen wir den Verlauf des Kontostandes beim Spielen 
\par dieser Strategie simulieren.
\par \plain\f3\fs28\cf0 
\par \plain\f3\fs32\cf0 
\par \plain\f3\fs28\cf0 2.2 Masse \'e9gale-Spiele f\'fcr "Zocker"
\par 
\par \plain\f3\fs24\cf0 Wir wollen die Prozedur nun etwas abwandeln:
\par Im Casino gibt es Tische, bei denen das Tischminimum 2, 5, 10, 20 oder auch 
\par 50 Euro betr\'e4gt. Der Spieler gebe sich nun nicht mehr mit einem 1-Euro-Tisch 
\par zufrieden, sondern er will seinen Einsatz erh\'f6hen. Er beginne weiterhin mit \plain\f3\fs24\cf2 K\plain\f3\fs24\cf0  Euro 
\par und setze bei jedem Spiel \plain\f3\fs24\cf2 m\plain\f3\fs24\cf0  Euro auf die Einfachen Chancen (also z.B. Rot). 
\par Wir wollen mit \plain\f3\fs24\cf2 p\plain\f3\fs24\cf0  die Gewinnwahrscheinlichkeit eines Spiels angeben, die etwas 
\par kleiner als 1/2 ist, da ja die Null weder Rot noch Schwarz ist. 
\par \plain\f3\fs24\cf0\b Die Sonderregel, dass der Spieler beim Auftreten der Null die H\'e4lfte seines Geldes 
\par zur\'fcckerh\'e4lt, k\'f6nnen wir an dieser Stelle leider nicht ber\'fccksichtigen, denn sonst 
\par wird die mathematisch 100%ige-Modellierung des Spiels im Hinblick auf die sp\'e4ter im 
\par Notebook noch zu berechnende Bankrottwahrscheinlichkeit und den Zeitpunkt des 
\par Ende des Spiels ungleich komplizierter.\plain\f3\fs24\cf0  Wir begn\'fcgen uns an dieser Stelle also 
\par damit, dass wir \plain\f3\fs24\cf2 p\plain\f3\fs24\cf0 =18/37 w\'e4hlen (18 rote Zahlen, 19 nicht-rote Zahlen).
\par Zuerst ben\'f6tigen wir eine Prozedur, die das Roulettespiel simuliert. Dies
\par erledigt die Prozedur \plain\f3\fs24\cf2 roulette\plain\f3\fs24\cf0 : 
\par Es werden \plain\f3\fs24\cf2 n\plain\f3\fs24\cf0 -Spiele gemacht und der Spieler gewinnt mit Wahrscheinlichkeit \plain\f3\fs24\cf2 p\plain\f3\fs24\cf0 . 
\par Es wird eine Liste mit Nullen und Einsen ausgegeben. 
\par Eine Eins gibt ein gewonnenes Spiel an, die Null steht f\'fcr ein verlorenes Spiel.
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}roulette:=proc(n,p)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf2 local A,i,k;
\par begin
\par kessel:=stats::binomialRandom(1,p):kessel()$ k=1..n;
\par A:=[kessel() $i=1..n];
\par end_proc:
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}roulette(10,18/37)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs24\cf0 Die folgende Prozedur gibt uns die Spielst\'e4nde nach \plain\f3\fs24\cf2 n\plain\f3\fs24\cf0  Spielen an:
\par \plain\f6\fs24\cf2 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}spielstaendeallg:=proc(n,p,K,m)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf2 local A,B,Z,i;
\par begin
\par A:=roulette(n,p);
\par B:=[];
\par  if A[1]>0 then A[1]:=K+m;
\par   else A[1]:=K-m;
\par  end_if;
\par  for i from 2 to nops(A) do
\par   if A[i]=1 then A[i]:=A[i-1]+m;
\par    elif A[i]=0 then A[i]:=A[i-1]-m;
\par   end_if;
\par  end_for;
\par B:=[op(A,i)$i=1..nops(A)];
\par end_proc:
\par 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs24\cf0 Wir simulieren nun 10 Spiele, wobei der Spieler mit 50 Euro startet und 
\par bei jedem Spiel 5 Euro setzt.
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}spielstaendeallg(10,18/37,50,5)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs24\cf0 Wir wollen den Verlauf des Kontostandes bei 200 Spielen einmal in 
\par einem Graph veranschaulichen:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}kurve:=spielstaendeallg(200,18/37,50,5):
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf2 Punkte:=[n,kurve[n]]$n=1..200:
\par plot(plot::Polygon2d([Punkte],
\par      AxesTitles=["Spiel","Kontostand"]));
\par 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 2.3 Wann ist der Spieler bankrott oder hat sein Ziel erreicht?
\par 
\par \plain\f3\fs24\cf0 Die folgende Prozedur gibt eine Liste aus, die angibt, wann der Spieler das 
\par erste Mal bankrott ist oder \plain\f3\fs24\cf2 N\plain\f3\fs24\cf0  Euro erreicht hat. 
\par Den Wert \plain\f3\fs24\cf2 N\plain\f3\fs24\cf0  hat der Spieler sich vor Betreten des Casinos gesetzt. Wenn er \plain\f3\fs24\cf2 N\plain\f3\fs24\cf0  Euro 
\par in der Tasche hat, geht er nach Hause.
\par Falls der Kontostand nach \plain\f3\fs24\cf2 n\plain\f3\fs24\cf0  Spielen weder bei 0 noch bei \plain\f3\fs24\cf2 N\plain\f3\fs24\cf0  angekommen ist, 
\par wird der Wert etwas gr\'f6\'dfer als \plain\f3\fs24\cf2 n\plain\f3\fs24\cf0  gesetzt.
\par Den Grund f\'fcr diese Ma\'dfnahme sehen wir sp\'e4ter. Im Folgenden setzt der 
\par Spieler immer 1 Euro in jedem Spiel:
\par \plain\f5\fs24\cf0 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}ende:=proc(n,p,K,N)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf2 local A,B,C,i,j;
\par begin
\par A:=roulette(n,p);
\par B:=[];
\par C:=[];
\par  if A[1]>0 then A[1]:=K+1;
\par   else A[1]:=K-1;
\par  end_if;
\par  for i from 2 to nops(A) do
\par   if A[i]=1 then A[i]:=A[i-1]+1;
\par    elif A[i]=0 then A[i]:=A[i-1]-1;
\par   end_if;
\par  end_for;
\par B:=[op(A,i)$i=1..nops(A)];
\par  for j from 1 to n do
\par   if B[j]=N then 
\par     return([j,"Gewinn von " .expr2text(N) ." Euro."]);
\par    elif B[j]=0 then return([j,"bankrott"]);
\par   end_if;
\par end_for;
\par return([n+n/10,"Das Spiel dauert noch an."]);
\par end_proc:
\par 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs24\cf0 Nun sollen viele Simulationen gemacht werden. \plain\f3\fs24\cf2 y\plain\f3\fs24\cf0  gibt die Zahl der unabh\'e4ngigen 
\par Wiederholungen der Spiele an.
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}spiel:=proc(y,n,p,K,N)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf2 local h;
\par begin
\par [ende(n,p,K,N)$h=1..y]
\par end_proc:
\par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}spiel(3,2000,18/37,50,100)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs24\cf0 Im obigen Beispiel haben wir dreimal 2000 Spiele simuliert. Zweimal ist der 
\par Spieler vorzeitig bankrott gegangen, einmal dauert das Spiel nach 2000 Spielen 
\par noch an und wir setzen den Wert auf 2200.
\par Nun ist der Mittelwert interessant, wann das Spiel beendet ist. 
\par Daf\'fcr bilden wir den Mittelwert aus den ersten Eintr\'e4gen der Listen:
\par \plain\f5\fs24\cf0 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}mittelwert:=proc(y,n,p,K,N)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf2 local D1;
\par begin
\par D1:=stats::sample(spiel(y,n,p,K,N)):
\par float(stats::mean(D1));
\par end_proc:
\par 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs24\cf0 Jetzt wird deutlich, warum wir oben den Wert f\'fcr die Anzahl der Spiele etwas 
\par gr\'f6\'dfer als \plain\f3\fs24\cf2 n\plain\f3\fs24\cf0  gesetzt haben, wenn der Spieler noch nicht bankrott ist oder \plain\f3\fs24\cf2 N\plain\f3\fs24\cf0  Euro 
\par erreicht hat: Um einen genauen Mittelwert zu erhalten, muss f\'fcr den Fall, dass 
\par man noch nicht am Ende des Spiels angekommen ist, ein repr\'e4sentativer Wert gesetzt 
\par werden, der den Mittelwert nicht verf\'e4lscht. Deshalb gehen wir einfach davon aus, 
\par dass, wenn der Spieler nach \plain\f3\fs24\cf2 n\plain\f3\fs24\cf0  Spielen noch nicht am Ende ist, dies in K\'fcrze 
\par geschehen wird. Nun wollen wir den Mittelwert aus 100 Wiederholungen der 
\par 5000 Spiele machen. Das Programm simuliert also 100 Casinobesuche, wobei jedes 
\par Mal 5000 Spiele gemacht werden und der Spieler mit 50 Euro startet und nach Hause
\par geht, wenn er entweder bankrott ist oder 100 Euro in der Tasche hat.
\par \plain\f3\fs28\cf0 
\par \plain\f5\fs24\cf0 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f6\fs24\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}mittelwert(100,5000,18/37,50,100)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f6\fs24\cf2 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs24\cf0 Zur Berechnung der mittleren Zeit bis zum Ende des Spiels l\'e4sst sich eine Formel 
\par herleiten, die folgenderma\'dfen aussieht (zur Herleitung der Formel bitte die Anmerkung 
\par am Ende des Dokuments lesen!):
\par Die mittlere Zeit T_K ist
\par \plain\f3\fs28\cf0 
\par {\pict\wmetafile8\picw11591\pich2673\picscalex98\picscaley99\picwgoal6639\pichgoal1517
0100090000032A57020000006E4E02000000050000000B0200000000050000000C02710A472D03
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362E050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E00050000000C02930AAF2E05
0000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E0005000000
0C02AC0A292F050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000
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00000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E
00050000000C02CA0A2230050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B020000
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0000000C02CF0A9F30050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000
050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B02000000
00030000001E00050000000C02E70AA030050000000B0200000000050000000B02000000000500
00000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B020000000005
0000000B0200000000050000000B0200000000030000001E00050000000C02EC0A1D3105000000
0B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000
000B0200000000050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B02000000000500
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