\mnb150<nb wrap="0" txtwidth="80" autowidth="0" pprint="0" typeset="1" xface="Times New Roman" xsize="240" xbold="0" xitalic="0" xcolor="#0000FF" slidents="1" sizemult="71" minsize="160" ifont="0 220 255 0 49 Courier New" ofont="0 220 16711680 0 49 Courier New" tfont="0 220 0 1 0 Times New Roman"></nb>ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fmodern\fprq1\fcharset1 Courier New;}{\f5\froman\fcharset1 Times New Roman;}{\f6\fswiss\fprq2\fcharset1 Arial;}{\f7\froman\fprq2 Times New Roman;}{\f8\fswiss\fprq2 Arial;}{\f9\fswiss\fprq2 Arial Black;}{\f10\froman\fcharset1 Times New Roman;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b _____________________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs20\cf0 
\par Inhalt....: Das Volumen eines Kegels
\par Kategorie.: Unterrichtsmaterial
\par Mathematik: Analysis, Grafik
\par MuPAD.....: 3.1.0
\par Datum.....: 2006-02-23
\par Autoren...: Wolfgang Kramer <Wolfgang.Kramer@ffb.lippe.de>
\par Funktionen: plot, plot::Curve3d, plot::Cone, plot::Camera, plot::Function2d
\par \plain\f3\fs20\cf0\b _____________________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs20\cf0 
\par \plain\f6\fs40\cf0 Es ist ein Kegel mit maximalem Volumen zu bestimmen
\par \plain\f6\fs20\cf0 
\par \plain\f6\fs22\cf2 Mit diesem Arbeitsblatt wird die Thematik Extremwertaufgaben am Beispiel eines zu 
\par optimierenden Kegels demonstriert. Der Kegel wird \'fcber den Bogen des zur Verf\'fcgung
\par stehenden Kreissegmentes animiert. Sinnvoll ist eine vorhergehende manuelle \'dcbung mit
\par Papier, Zirkel, Schere, Klebstoff.
\par \plain\f6\fs22\cf0 
\par Aus einem Blatt der Seitenl\'e4nge 20 soll ein Kegel mit maximalem Volumen erstellt werden.
\par Im ersten Schritt werden die ben\'f6tigten Objekte definiert. Konstanten sind die Blattgr\'f6\'dfe sowie
\par die Grenzen des Animationsbereiches.
\par \plain\f6\fs24\cf0 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}Kante := 10:
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf3 Beginn:= 11*PI/6:
\par Ende  :=  3*PI/4:
\par 
\par Blatt  := plot::Polygon3d([[-Kante,-Kante,0], [ Kante,-Kante,0]
\par                           ,[ Kante, Kante,0], [-Kante, Kante,0]], 
\par                           Closed, LineColor=RGB::Gray25):
\par Kreis  := plot::Curve3d([Kante*sin(t), Kante*cos(t),0], 
\par                         t=0..r, r=Beginn..Ende, LineColor=RGB::Red):
\par Radius1:= plot::Line3d([0,0,0], [0,Kante,0], LineColor=RGB::Green):
\par Radius2:= plot::Line3d([0,0,0], [Kante*sin(t), Kante*cos(t),0], 
\par                         t=Beginn..Ende, LineColor=RGB::DarkRed):
\par Kegel  := plot::Cone(r, [0, 0, sqrt(100-r^2)], [0, 0, 0], 
\par                         r=Kante/(2*PI)*Beginn..Kante/(2*PI)*Ende, Color=RGB::Gray):
\par Linie  := plot::Line3d([0,0,0], [0,r,sqrt(100-r^2)], 
\par                         r=Kante/(2*PI)*Beginn..Kante/(2*PI)*Ende, LineColor=RGB::Green):
\par Kamera := plot::Camera([-75,72,25], [0,0,0], 0.2):
\par 
\par \pard\ri4\plain\f6\fs22\cf0 Im plot-Befehl werden die zuvor erstellten Objekte gezeichnet, hier bietet es sich an die Objekte 
\par durch Einf\'fcgen bzw. Entfernen der Kommentarzeichen ggf. nacheinander darstellen zu lassen.
\par \plain\f5\fs22\cf0 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}plot( Blatt, Kreis
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf3      ,Radius1, Radius2
\par      ,Kegel, Linie
\par      ,Kamera
\par      ,OrthogonalProjection=TRUE, Axes=None
\par ):
\par 
\par \pard\ri4\plain\f6\fs22\cf0 Nach ausgiebiger Analyse der Grafik folgt die analytische Betrachtung der Aufgabenstellung.
\par 
\par Definition der Volumenfunktion f\'fcr den Kegel in Abh\'e4ngigkeit von der Bogenl\'e4nge des Kreissegmentes
\par Radius des Kegels: r1 = r*x/2PI
\par Grundfl\'e4che: A = r^2*x^2/4PI
\par H\'f6he des Kegels: h = sqrt(r^2 -r1^2)
\par Volumen: V = A*h/3
\par \plain\f5\fs22\cf0 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}f:= x --> 1000*x^2*sqrt(4*PI^2-x^2) / (24*PI^2)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf3 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}// ggf. eine Auswertung f\'fcr konkrete Werte von x 2*PI < x < 0
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf3 DIGITS:= 3:
\par float([x,f(x)]) $ x=2..6
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}// ggf. \'dcberlegungen zum Definitionsbereich und den Nullstellen
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf3 f(x)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}// Darstellung der Funktion
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf3 plotfunc2d(f,x=0..2*PI,GridVisible, SubgridVisible)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}
\par {\pntext\f1\'b7\tab}// Die Ableitung der Funktion f
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf3 // Vorher manuell als \'dcbung zur Anwendung der Ableitungsregeln
\par 
\par f'(x)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}// Untersuchung des Z\'e4hlers auf Nullstellen
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf3 // Dazu Wiederholung Bruchrechnen kgV, Erweitern, ...
\par normal(f'(x))
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}// Nur eine Untersuchung des Z\'e4hlers ist notwendig, weil ...
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf3 Zaehler:=numer(f'(x));
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}// Die Nullstellen des Z\'e4hlers, 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf3 // Anzahl der zu erwartenden Nullstellen
\par 
\par L:= solve(Zaehler=0, x)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}// Die L\'f6sungsmenge
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf3 L:= float(L)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}// Nur das dritte Element von L ist sinnvoll
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf3 L[3]
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs22\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}// Der Wert des maximalen Volumens
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs22\cf3 float(f(L[3]))
\par \pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b _____________________________________________________________________________________
\par \plain\f8\fs22\cf0 
\par \plain\f8\fs22\cf2\b Anmerkungen:\plain\f8\fs22\cf2 
\par \plain\f8\fs20\cf2\b 1\plain\f8\fs20\cf2 .  Weitere Anregungen zum Einsatz von MuPAD in der Lehre finden Sie auf unserem WebPortal
\par \plain\f8\fs20\cf0    \plain\f8\fs20\cf2   \plain\f8\fs20\cf2\i MuPAD in Schule und Studium\plain\f8\fs20\cf2  unter: \plain\f8\fs20\cf1 http://schule.mupad.de\plain\f8\fs20\cf2  bzw. \plain\f8\fs20\cf1 http://studium.mupad.de\plain\f8\fs20\cf2 .
\par \plain\f3\fs20\cf0\b _____________________________________________________________________________________
\par \plain\f8\fs24\cf0 
\par \plain\f10\fs22\cf0 
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