\mnb150<nb wrap="0" txtwidth="75" autowidth="0" pprint="1" typeset="1" xface="Times New Roman" xsize="280" xbold="0" xitalic="0" xcolor="#0000FF" slidents="1" sizemult="71" minsize="160" ifont="0 280 255 0 49 Courier New" ofont="0 280 16711680 0 49 Courier New" tfont="0 280 0 0 34 Arial"></nb>ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f5\froman\fprq2 Times New Roman;}{\f6\fswiss\fprq2 Helvetica;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf0 Inhalt....: Erzeugen von Zufallszahlen 
\par Kategorie.: Grundkurs
\par Mathematik: Stochastik, Statistik  
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2004-03-31
\par Autoren...: Kai Gehrs <acrowley@mupad.de>
\par Funktionen: random, for, from, to, float 
\par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs36\cf0\b 
\par \plain\f3\fs40\cf0\b Erzeugen von Zufallszahlen 
\par 
\par \plain\f3\fs24\cf2 Dieses Arbeitsblatt ist Bestandteil des \plain\f3\fs24\cf2\b MuPAD Grundkurses\plain\f3\fs24\cf2 .\plain\f5\fs24 
\par 
\par \plain\f3\fs28 Die einfachste M\'f6glichkeit (gleichverteilte) Zufallszahlen zu erzeugen, bietet die 
\par Funktion random. Sie erh\'e4lt als Argument einen Bereich i..j, wobei i < j positive 
\par ganzen Zahlen sind, und liefert uns dann Zufallszahlen aus der Menge \{i,i+1,...,j-1,j\}. 
\par Die Funktion random eignet sich damit z.B. hervorragend, um das Werfen einem 
\par idealen W\'fcrfel zu simulieren:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}Zufall:= random(1..6)
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}Zufall()
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}Zufall() 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}Zufall() 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}Zufall() 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Wir k\'f6nnen nun also mit dem Aufruf Zufall() beliebig viele W\'fcrfe mit einem idealen 
\par W\'fcrfel simulieren. 
\par 
\par Wir stellen uns nun die Folgende Aufgabe: 
\par 
\par \pard\li500\ri4\plain\f3\fs28\b Es wird 10000 mal mit einem idealen W\'fcrfel geworfen. Z\'e4hle die 
\par Anzahl der erhaltenen Sechsen \plain\f3\fs28 . 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 
\par Per Hand l\'e4\'dft sich diese Aufgabe fast gar nicht erledigen. Au\'dferdem ist die Arbeit 
\par stumpfsinnig. Wir sind nur an dem Ergebnis interessiert und \'fcberlassen MuPAD 
\par diese Arbeit . Dazu schreiben wir einige kleine Programmzeilen, mit deren Hilfe wir 
\par nicht nur die Simulation der 10000 W\'fcrfe, sondern auch das Z\'e4hlen der von MuPAD 
\par erledigen lassen:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}Sechsen:= 0:
\par {\pntext\f1\'b7\tab}for i from 1 to 10000 do 
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf3   if Zufall() = 6 then    
\par     Sechsen:= Sechsen + 1:
\par   end_if:  
\par end_for:
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}Sechsen
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 Die relative H\'e4ufigkeit der Sechs ergibt sich also zu 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf3 {\pntext\f1\'b7\tab}float( Sechsen / 10000)
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28 was der tats\'e4chlichen Wahrscheinlichkeit 1/6 im Fall eines idealen W\'fcrfel schon 
\par sehr nahe kommt. 
\par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf1\b 
\par \plain\f3\fs22\cf4\b \'dcbungen: 
\par \plain\f3\fs20\cf4\b 1\plain\f3\fs22\cf4\b .\plain\f3\fs22\cf4  Versuchen Sie den folgenden mathematischen Satz mit MuPAD plausibel zu machen: 
\par 
\par \pard\li500\ri4\plain\f3\fs22\cf4\b Mit zunehmender Versuchsanzahl in einem Laplace-Experiment 
\par stabilisiert sich die relative H\'e4ufigkeit eines festen Ereignisses 
\par um einen festen Wert, seine Wahrscheinlichkeit. \plain\f3\fs22\cf4 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs22\cf4 
\par \plain\f3\fs22\cf5 __\plain\f3\fs22\cf4 W\'e4hlen Sie als zugrundeliegendes Laplace-Experiment das W\'fcrfeln mit einem idealen W\'fcrfel und 
\par \plain\f3\fs22\cf5 __\plain\f3\fs22\cf4 als Ereignis das W\'fcrfeln der Sechs (siehe oben). Z\'e4hlen Sie bei n-maligen W\'fcrfeln die Anzahl der 
\par \plain\f3\fs22\cf5 __\plain\f3\fs22\cf4 erzielten Sechsen und bestimmen Sie ihre relativen H\'e4ufigkeit sowie ihre Abweichung von der tat-
\par \plain\f3\fs22\cf5 __\plain\f3\fs22\cf4 s\'e4chlichen Wahrscheinlichkeit. F\'fchren Sie das Experiment f\'fcr n = 10, 100, 1000, 10000 und 
\par \plain\f3\fs22\cf5 __\plain\f3\fs22\cf4 n = 100000 durch.
\par \plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0 
\par \plain\f3\fs22\cf2\b Anmerkungen:\plain\f3\fs22\cf2 
\par \plain\f3\fs20\cf2\b 1\plain\f3\fs20\cf2 .  Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f3\fs20\cf3 Mathematik 1 x anders\plain\f3\fs20\cf2 . In dieser Reihe 
\par      wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die 
\par      B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f6\fs20\cf1 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f3\fs20\cf2  kostenfrei kopiert werden. 
\par \plain\f3\fs20\cf1 
\par \plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs28\cf3 
\par 
\par }