\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fswiss\fprq2 Arial;}{\f5\fswiss\fprq2 Verdana;}{\f6\fswiss\fprq2 Helvetica;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;\red255\green0\blue0;\red0\green128\blue0;\red0\green0\blue255;\red0\green0\blue128;} \deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \par \plain\f3\fs20\cf0 Inhalt....: Eine Zufallsreise mit MuPAD - Grafische Interpretation von Zufall \par Kategorie.: Arbeitsblatt \par Mathematik: Stochastik, Statistik \par MuPAD.....: 3.0.0 \par Datum.....: 2002-01-17 \par Autoren...: Julia Faflek \par Funktionen: plot, plot::Turtle, random, mod, map \par \plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \plain\f4\fs36\cf0\b \par \plain\f4\fs40\cf0\b Eine Zufallsreise mit MuPAD\plain\f5\fs24 \par \plain\f4\fs24\cf2 \par Der hier beschriebene visuelle Test basiert auf sogenannten \plain\f4\fs24\cf2\i Turtle-Grafiken\plain\f4\fs24\cf2 . Die Idee, die \par sich dahinter verbirgt, ist folgende: Eine Schildkr\'f6te befindet sich auf dem Bildschirm und \par erh\'e4lt Anweisungen in welche Richtung sie sich bewegen soll. Sie kann nach oben, nach \par unten, nach rechts und nach links laufen. Dabei hinterl\'e4sst sie Spuren, d.h. auf dem Bild- \par schirm sind Linien zu sehen, die uns anzeigen, wohin die Schildkr\'f6te gelaufen ist. \plain\f5\fs24 \par \plain\f4\fs24\cf2 \par \plain\f4\fs28\cf0 Wir definieren zun\'e4chst eine Prozedur \plain\f3\fs28\cf1 randomWalk\plain\f4\fs28\cf0 , die eine gegebene \par Liste von Zufallszahlen zwischen 0 und 1 als Laufvorschrift f\'fcr die Schild- \par kr\'f6te interpretiert und diese visualisiert: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}randomWalk:= proc( ZahlenListe:DOM_LIST ) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 local T; \par begin \par T:= plot::Turtle(): \par T::setLineColor(RGB::Black): \par for i from 1 to nops(ZahlenListe) do \par Richtung:= floor(4 * ZahlenListe[i]) +1; \par case (Richtung) \par of 1 do /* right(0) */ T::forward(1); \par break; \par of 2 do T::right(PI/2): T::forward(1); \par break; \par of 3 do T::right(PI): T::forward(1); \par break; \par of 4 do T::right(3*PI/2): T::forward(1); \par break; \par otherwise \par error("Ung\'fcltiger Wert in Zahlenliste"); \par end_case: \par end_for: \par plot(T) \par end_proc: \par \par \pard\ri4\plain\f4\fs28\cf0 Wir pr\'fcfen nun, ob der Zufallsgenerator \plain\f3\fs28\cf1 random \plain\f4\fs28\cf0 von MuPAD eine "gute", \par d.h. scheinbar zuf\'e4llige Verteilung der generierten Werte aufweist. Dazu \par f\'fchren wir den "random walk" f\'fcr zwei Zufallsfolgen durch: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Zufall:= random(1..99): \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 randomWalk( [ Zufall()/100 $ i=1..1000 ] ): \par randomWalk( [ Zufall()/100 $ i=1..1000 ] ): \par \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Die beiden Grafiken scheinen rein zuf\'e4llig zu sein, da man keine Strukturen \par oder Bewegungsmuster erkennen kann. \par \par Zur Unterst\'fctzung dieser Annahme wollen wir einen \'84schlechten" linearen \par Kongruenzgenerator LKG definieren: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}LKG:= proc(x0, a, b, n, m) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 local x, i; \par begin \par x:= [0 $ m]; \par x[1]:= x0; \par for i from 2 to m do \par x[i]:= a * x[i-1] + b mod n; \par end_for; \par return(x); \par end_proc: \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 \par und diesen auf die gleiche Weise \'fcberpr\'fcfen: \par \plain\f4\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Zufall:= (x0,n) -> map( LKG(x0, 2, 3, 97, n), `/`, 97): \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 randomWalk( Zufall(1,1000) ): \par randomWalk( Zufall(4,1000) ): \par \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Beide Grafiken sind sehr einfach "gestrickt" wobei sich jeweils sehr deutlich \par ein sich wiederholendes Muster erkennen l\'e4sst. An der geringen Komplexit\'e4t \par des zweiten Grafen l\'e4sst sich direkt ablesen, dass der Zufallsgenerator eine \par sehr kurze Periodenl\'e4nge hat. D.h. die von ihm erzeugten Zahlen wiederholen \par sich schon nach wenigen Schritten. Um diese These zu untermauern, lassen \par wir uns die ersten 70 Zufallszahlen anzeigen: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Z:=Zufall(4,70) \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f4\fs28 Wir lesen ab, dass das der Zufallsgenerator eine Periodenl\'e4nge von 48 hat, \par denn es gilt: Z[1] = Z[49]: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}bool( Z[1] = Z[49] ) \par \pard\ri4\plain\f3\fs22\cf1 \par \plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \plain\f4\fs22\cf0 \par \plain\f4\fs22\cf3\b \'dcbungen: \par \plain\f4\fs20\cf3\b 1.\plain\f4\fs20\cf3 Schreiben Sie eigene Zufallszahlengeneratoren und untersuchen Sie diese mittels \plain\f3\fs20\cf1 randomWalk\plain\f4\fs20\cf4 . \par \par \plain\f4\fs20\cf3\b 2.\plain\f4\fs20\cf3 Schreiben Sie eine Prozedur, die anhand einer Liste von Zufallszahlen versucht die L\'e4nge der \par Periode des Zufallszahlengenerators zu ermittlen.\plain\f4\fs22\cf3\b \par \plain\f3\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________ \par \par \plain\f4\fs22\cf2\b Anmerkungen:\plain\f4\fs22\cf2 \par \plain\f4\fs20\cf2\b 1\plain\f4\fs20\cf2 . Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f4\fs20\cf1 Mathematik 1 x anders\plain\f4\fs20\cf2 . In dieser Reihe \par wird eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die \par B\'fccher k\'f6nnen unter \plain\f6\fs20\cf3 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f4\fs20\cf2 kostenfrei kopiert werden. \plain\f4\fs20\cf3 \par \plain\f3\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________ \par \plain\f3\fs22\cf1 \par }