\mnb150<nb wrap="0" txtwidth="80" autowidth="0" pprint="1" typeset="1" xface="Times New Roman" xsize="280" xbold="0" xitalic="0" xcolor="#0000FF" slidents="1" sizemult="71" minsize="160" ifont="0 280 255 0 49 Courier New" ofont="0 280 16711680 0 49 Courier New" tfont="0 280 0 0 34 Arial"></nb>ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fswiss\fprq2 Arial;}{\f4\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f5\fswiss\fprq2\fcharset1 Arial;}{\f6\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f7\froman\fcharset1 Times New Roman;}}
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\deflang1031\pard\ri4\plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf0 Inhalt....: Das Ziegenproblem
\par Kategorie.: Arbeitsblatt
\par Mathematik: Stochastik
\par MuPAD.....: 3.0.0
\par Datum.....: 2003-06-23
\par Autoren...: Julia Faflek <faflek@mupad.de>
\par Funktionen: random, minus, plot::PointList2d, plot::Scene2d
\par \plain\f4\fs20\cf0\b ________________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs36\cf0\b 
\par \plain\f3\fs40\cf0\b Das Ziegenproblem oder wie gewinnt man\plain\f3\fs36\cf0\b 
\par \plain\f3\fs22\cf0 
\par \plain\f3\fs24\cf1 Das Ziegenproblem ist ein klassisches Beispiel daf\'fcr, wie sehr Stochastik und Wahrschein-
\par lichkeitsrechnung immer wieder erstaunen und verwundern k\'f6nnen. 
\par \plain\f3\fs28\cf0 
\par Der Kandidat in einer TV-Spielshow soll eine von drei verschlossenen T\'fcren
\par w\'e4hlen. Dabei befindet sich hinter einer der T\'fcren der Hauptpreis, ein sehr
\par teures Auto; hinter den beiden anderen T\'fcren warten leider nur Ziegen. 
\par 
\par Der Kandidat entscheidet sich also f\'fcr eine T\'fcr, nennen wir sie Nummer 1. 
\par Danach l\'e4sst der Moderator, der wei\'df hinter welcher T\'fcr sich der Gewinn be-
\par findet, eine der anderen beiden T\'fcren \'f6ffnen. Dort sieht man eine meckernde
\par Ziege. Nun fragt der Moderator, ob der Kandidat bei der T\'fcr Nr. 1 bleiben 
\par m\'f6chte oder ob er sich lieber f\'fcr die andere verschlossene T\'fcr (Nr. 2) ent-
\par scheiden will.  
\par 
\par Nun stellen sich die folgenden Fragen:
\par Hinter welcher der beiden T\'fcren befindet sich das Auto mit gr\'f6\'dferer Wahr-
\par scheinlichkeit? Oder sind die Chancen auf den Gewinn bei beiden T\'fcren 
\par gleich? Wie soll sich der Kandidat also entscheiden?
\par 
\par Zur Beantwortung dieser Fragen modellieren wir das Spiel mit MuPAD und
\par werten dieses experimentell aus, indem wir die Anzahl der Gewinne z\'e4hlen,
\par wenn der Kandidat zu T\'fcr Nr.2 wechselt. Analog z\'e4hlen wir die Gewinnanzahl
\par bei Festhalten an der Entscheidung f\'fcr T\'fcr Nr.1.
\par 
\par Wir schreiben eine Prozedur, die als \'dcbergabeparameter die Anzahl der
\par Versuchsdurchf\'fchrungen erh\'e4lt und legen f\'fcr die beiden M\'f6glichkeiten, zu
\par gewinnen, Z\'e4hlervariablen fest: 
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}TV_Spielshow := proc(n)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2    local GewinnanzahlOhneWechsel, GewinnanzahlMitWechsel;
\par begin
\par    GewinnanzahlOhneWechsel := 0:
\par    GewinnanzahlMitWechsel  := 0:
\par end_proc:
\par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 
\par So sieht der Rahmen unserer Prozedur aus. Nun m\'fcssen wir ihn noch f\'fcllen.
\par Dazu brauchen wir eine for-Schleife, damit das Experiment \plain\f5\fs28\cf0\i n\plain\f5\fs28\cf0 -mal ausgef\'fchrt
\par wird.
\par \plain\f7\fs22\cf0 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}TV_Spielshow := proc(n)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2    local GewinnanzahlOhneWechsel, GewinnanzahlMitWechsel, i;
\par begin
\par    GewinnanzahlOhneWechsel := 0:
\par    GewinnanzahlMitWechsel  := 0:
\par    for i from 1 to n do
\par    end_for:
\par end_proc:
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 
\par Jetzt m\'fcssen wir die Schleife schreiben. Wir bestimmen mittels des MuPAD-
\par internen Zufallsgenerators \plain\f4\fs28\cf2 random(1..3)()\plain\f3\fs28\cf0  hinter welcher der drei T\'fcren 
\par sich der Hauptgewinn befindet:\plain\f4\fs22\cf4 
\par \plain\f3\fs22\cf0 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}TV_Spielshow := proc(n)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2    local GewinnanzahlOhneWechsel, GewinnanzahlMitWechsel, i, 
\par          GewinnTuer;
\par begin
\par    GewinnanzahlOhneWechsel := 0:
\par    GewinnanzahlMitWechsel  := 0:
\par    for i from 1 to n do
\par       GewinnTuer := random(1..3)():
\par    end_for:
\par end_proc:
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 
\par Analog bestimmen wir die T\'fcr, die der Kandidat gew\'e4hlt hat und die T\'fcren,
\par hinter denen eine Ziege steht und die der Kandidat nicht gew\'e4hlt hat.
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}TV_Spielshow := proc(n)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2    local GewinnanzahlOhneWechsel, GewinnanzahlMitWechsel, i, 
\par          GewinnTuer, KandidatTuer, RestTueren, Anzahl; 
\par begin
\par    GewinnanzahlOhneWechsel := 0:
\par    GewinnanzahlMitWechsel  := 0:
\par    for i from 1 to n do
\par       GewinnTuer   := random(1..3)():
\par       KandidatTuer := random(1..3)():
\par       RestTueren := \{1, 2, 3\} minus \{GewinnTuer, KandidatTuer\}:
\par       Anzahl := nops(RestTueren):
\par    end_for:
\par end_proc:
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 
\par Was sagt uns die Anzahl dieser T\'fcren?
\par 
\par Gibt es nur eine T\'fcr, die der Kandidat nicht gew\'e4hlt hat und hinter der sich eine 
\par Ziege befindet, so hat sich der Kandidat f\'fcr eine "Ziegent\'fcr" entschieden und 
\par der Moderator l\'e4sst die Restt\'fcr \'f6ffnen. 
\par Ist die Anzahl der Restt\'fcren 2, so hat der Kandidat die T\'fcr mit dem Auto gew\'e4hlt 
\par und der Spielleiter zeigt zuf\'e4llig eine der beiden Restt\'fcren.
\par In MuPAD setzen wir dies mittels einer if-Abfrage um.
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}TV_Spielshow := proc(n)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2    local GewinnanzahlOhneWechsel, GewinnanzahlMitWechsel, i, 
\par          GewinnTuer, KandidatTuer, RestTueren, Anzahl, 
\par          OeffneTuer;
\par begin
\par   GewinnanzahlOhneWechsel := 0:
\par   GewinnanzahlMitWechsel  := 0:
\par   for i from 1 to n do
\par     GewinnTuer   := random(1..3)():
\par     KandidatTuer := random(1..3)():
\par     RestTueren := \{1, 2, 3\} minus \{GewinnTuer, KandidatTuer\}:
\par     Anzahl := nops(RestTueren):
\par     if (Anzahl = 1) then
\par       OeffneTuer := RestTueren[1]:
\par     else
\par       OeffneTuer := RestTueren[random(1..2)()]:
\par     end_if:
\par   end_for:
\par end_proc:
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 
\par Nun z\'e4hlen wir die Anzahl der Gewinne, falls der Kandidat an seiner Strategie 
\par festh\'e4lt und die entsprechende Anzahl bei einem Wechsel der T\'fcr. Dann be-
\par stimmen wir die relativen H\'e4ufigkeiten f\'fcr den Gewinn bei beiden Strategien 
\par und geben die Anzahl der Versuchsdurchf\'fchrungen, die Gewinnanzahl ohne 
\par Wechsel, die Gewinnanzahl mit Wechsel, sowie die beiden relativen H\'e4ufig-
\par keiten zur\'fcck.
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}TV_Spielshow := proc(n)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2   local GewinnanzahlOhneWechsel, GewinnanzahlMitWechsel, i, 
\par         GewinnTuer, KandidatTuer, RestTueren, Anzahl,
\par         OeffneTuer, WechselTuer, GewinnhaeufigkeitOhneWechsel,
\par         GewinnhaeufigkeitMitWechsel;
\par begin
\par   GewinnanzahlOhneWechsel := 0:
\par   GewinnanzahlMitWechsel  := 0:
\par   for i from 1 to n do
\par     GewinnTuer   := random(1..3)():
\par     KandidatTuer := random(1..3)():
\par     RestTueren := \{1, 2, 3\} minus \{GewinnTuer, KandidatTuer\}:
\par     Anzahl := nops(RestTueren):
\par     if (Anzahl = 1) then
\par       OeffneTuer := RestTueren[1]:
\par     else
\par       OeffneTuer := RestTueren[random(1..2)()]:
\par     end_if:
\par     if (GewinnTuer = KandidatTuer) then
\par       GewinnanzahlOhneWechsel := GewinnanzahlOhneWechsel + 1:
\par     end_if:
\par     WechselTuer := op(\{1, 2, 3\} minus \{OeffneTuer\} minus 
\par                    \{KandidatTuer\}):
\par     if (GewinnTuer = WechselTuer) then
\par       GewinnanzahlMitWechsel := GewinnanzahlMitWechsel + 1:
\par     end_if:
\par   end_for:
\par   GewinnhaeufigkeitOhneWechsel := GewinnanzahlOhneWechsel/n:
\par   GewinnhaeufigkeitMitWechsel  := GewinnanzahlMitWechsel/n:
\par   return(n, GewinnanzahlOhneWechsel, GewinnanzahlMitWechsel,
\par          GewinnhaeufigkeitOhneWechsel, 
\par          GewinnhaeufigkeitMitWechsel):
\par end_proc:
\par 
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 Schlie\'dflich lassen wir uns das Ergebnis als Text auf dem Bildschirm ausgeben:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}Textausgabe := proc(n)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2    local Aufruf;
\par begin
\par   Aufruf := TV_Spielshow(n):
\par   print(Unquoted, 
\par         "Anzahl der Versuchsdurchf\'fchrungen = "
\par         .Aufruf[1]. "\\n".
\par         "Gewinnanzahl ohne Wechsel = " 
\par         .Aufruf[2]. "\\n".
\par         "Gewinnanzahl mit Wechsel = "
\par         .Aufruf[3]. "\\n".
\par         "Relative Gewinnh\'e4ufigkeit ohne Wechsel = "
\par         .expr2text(float(Aufruf[4])). "\\n".
\par         "Relative Gewinnh\'e4ufigkeit mit Wechsel = "
\par         .expr2text(float(Aufruf[5]))):
\par end_proc:
\par 
\par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 Mittels dieser Prozedur k\'f6nnen wir uns jetzt die Ergebnisse beliebig vieler 
\par Versuchsdurchf\'fchrungen ansehen:
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}Textausgabe(100);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 Textausgabe(1000);
\par Textausgabe(10000);
\par \pard\ri4\plain\f3\fs28\cf0 An diesen Ausgaben k\'f6nnen wir erkennen, dass man mit der Strategie, die 
\par T\'fcr zu wechseln, eine h\'f6here Wahrscheinlichkeit hat zu gewinnen. Um diese 
\par These zu untermauern, wollen wir die Ergebnisse grafisch interpretieren.
\par 
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}Grafikausgabe := proc(n)
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2    local ListeOhneWechsel, ListeMitWechsel, i, p1, p2;
\par begin
\par   ListeOhneWechsel := [0$n]:
\par   ListeMitWechsel  := [0$n]:
\par   for i from 1 to n do
\par     Aufruf := TV_Spielshow(i):
\par     ListeOhneWechsel[i] := [i, Aufruf[4]]:
\par     ListeMitWechsel[i]  := [i, Aufruf[5]]:
\par   end_for:
\par   p1 := plot::Polygon2d(ListeOhneWechsel, PointsVisible):
\par   p2 := plot::Polygon2d(ListeMitWechsel, Color = RGB::Red, 
\par                         PointsVisible):
\par   plot(plot::Scene2d(p1,p2));
\par end_proc:\plain\f4\fs22\cf2 
\par 
\par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf0 Nun k\'f6nnen wir mit nur einem Befehl die beiden H\'e4ufigkeiten als Graph visualisieren:
\par  
\par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f4\fs28\cf2 {\pntext\f1\'b7\tab}Grafikausgabe(100);
\par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f4\fs28\cf2 Grafikausgabe(200);
\par \pard\ri4\plain\f4\fs22\cf4 
\par \plain\f3\fs28\cf0 Ein verbl\'fcffendes Ergebnis: Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist "fast" 
\par immer gr\'f6\'dfer, wenn man sich f\'fcr das andere Tor entscheidet. Eine theo-
\par retische Analyse wollen wir an dieser Stelle jedoch nicht durchf\'fchren. \plain\f4\fs20\cf4 
\par 
\par \plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f4\fs22\cf4 
\par \plain\f3\fs22\cf4\b \'dcbungen: 
\par \plain\f3\fs20\cf4\b 1. \plain\f3\fs20\cf4 Machen Sie sich mit der Funktion\plain\f3\fs20\cf5   \plain\f4\fs20\cf2 random\plain\f3\fs20\cf5  \plain\f3\fs20\cf4 vertraut. 
\par \plain\f3\fs20\cf4\b 2.\plain\f3\fs20\cf4  Besuchen Sie die Hilfeseiten zu ?plot::Pointlist und ?plot::Scene.\plain\f3\fs20\cf5 
\par \plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par \plain\f3\fs22\cf0 
\par \plain\f3\fs22\cf1\b Anmerkungen:\plain\f3\fs22\cf1 
\par \plain\f3\fs20\cf1\b 1. \plain\f3\fs20\cf1 Unter \plain\f3\fs20\cf2 www.schule.mupad.de/material/\plain\f3\fs20\cf1  finden Sie weitere interessante Notebooks.
\par 
\par \plain\f3\fs20\cf1\b 2.\plain\f3\fs20\cf1  Weitere Anregungen finden Sie in der Buchreihe \plain\f3\fs20\cf2 Mathematik 1 x anders\plain\f3\fs20\cf1 . In dieser Reihe wird eine Vielzahl 
\par \plain\f3\fs20\cf3 ss\plain\f3\fs20\cf1 unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD gel\'f6st. Die B\'fccher k\'f6nnen unter 
\par \plain\f3\fs20\cf3 ss\plain\f6\fs20\cf4 www.schule.mupad.de/literatur\plain\f3\fs20\cf1  kostenfrei kopiert werden.\plain\f3\fs20\cf2 
\par \plain\f4\fs20\cf0\b _______________________________________________________________________________
\par 
\par 
\par }