\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fmodern\fprq1\fcharset1 Courier New;}{\f5\fswiss\fprq2 Arial;}{\f6\fswiss\fprq2\fcharset1 Arial;}{\f7\froman\fprq2 Times New Roman;}{\f8\froman\fcharset1 Times New Roman;}{\f9\fswiss\fprq2 Helvetica;}{\f10\froman\fprq2\fcharset1 Times New Roman;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;\red255\green0\blue0;\red0\green128\blue0;\red0\green0\blue255;} \deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0 ________________________________________________________________________________ \par \par Inhalt....: Vollkommene Zahlen 1 \par Kategorie.: Unterrichtsmaterial \par Mathematik: Zahlentheorie \par MuPAD.....: 3.1.0 \par Datum.....: 2006-10-24 \par Autoren...: August Barkhausen \par Funktionen: for, min, sum, nops, numlib::primedivisors, testeq, matrix, print \par Funktionen: Typeset \par ________________________________________________________________________________ \par \par \plain\f6\fs48\cf0 Konstruktion vollkommener Zahlen und Test \par von Zahlen auf Vollkommenheit mit Hilfe einer \par Tabelle vollkommener Zahlen \par \plain\f5\fs28\cf2\b \par \plain\f5\fs24\cf2\b Im folgenden wird ein Algorithmus zur Berechnung von geraden vollkommenen \par Zahlen durchgef\'fchrt, der auf die in dem Buch "Elementare Zahlentheorie" von \par Remmert und Ulrich, 2. Auflage Birkh\'e4user1995" angegebene Charakterisierung \par gerader vollkommener Zahlen zur\'fcckgeht. Die Formulierung der Charakterisierung \par der vollkommenen geraden Zahlen sowie die weiteren Informationen zu vollkommen \par Zahlen sind ebenfalls dem Buch von Remmert und Ulrich entnommen. \par \par Mathematische Voraussetzungen sind neben Grundkenntnissen \'fcber elementare \par Rechenregeln f\'fcr reelle Zahlen und Primzahlen Programmierkenntnisse. F\'fcr die \par Datenspeicherung werden Matrizen benutzt. Anderseits werden keine Grundkennt- \par nisse \'fcber Rechenregeln f\'fcr Matrizen ben\'f6tigt. Eine Kurzeinf\'fchrung \'fcber die De- \par finition von Matrizen und die Identifikation einzelner Elemente einer Matrix reicht \par hier aus. Schlie\'dflich wird alternativ auch der Befehl print f\'fcr die Datenausgabe be- \par nutzt. \par \par Aus mathematischer Sicht wesentliche Aspekte des Notebooks sind: \par \par \pard\li500\ri4\plain\f5\fs24\cf2\b - Umgang mit Algorithmen \par - \'dcberpr\'fcfung mathematischer Voraussetzungen \par - Anwendung von Beweistechniken \par - Wiederholung bekannter mathematischer Begriffe \par - Kennenlernen neuer mathematischer Begriffe \par \pard\ri4\plain\f5\fs24\cf2\b \par Aus programmiertechnischer Sicht wesentliche Aspekte des Notebooks sind: \par \par \pard\li500\ri4\plain\f5\fs24\cf2\b - Programmiertechniken in MuPAD \par - Datenein- und Ausgabe in MuPAD \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf2\b \par \plain\f7\fs28\cf0 Vollkommene Zahlen sind nat\'fcrliche Zahlen, bei denen die Summe der Teiler doppelt so \par gro\'df ist, wie die Zahl selbst. \par \par \plain\f7\fs28\cf0\ul Beispiele: \plain\f7\fs28\cf0 \par Die Teiler von 6 sind 1, 2, 3 und 6. F\'fcr die Summe gilt: 1+2+3+6 = 12. Andererseits ist \par 12: 2 = 6. Die Zahl 6 ist damit vollkommen. Die Teiler von 28 sind 1, 2, 4, 7, 14 und 28. \par F\'fcr die Summe gilt: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 und andererseits 28:2 = 14. Die Zahl 28 ist \par damit vollkommen. Die Eigenschaft einer Zahl, vollkommen zu sein, ist nicht selbstver- \par st\'e4ndlich: Die Teiler von 12 beispielsweise sind 1, 2, 3, 4, 6, 12. Deren Summe ist 28 \par und die H\'e4lfte von 28 ist 14. Die Zahl 12 ist damit nicht vollkommen. \par \par Ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt, ist nicht bekannt. Bekannt ist jedoch, dass es \par keine ungeraden vollkommenen Zahlen a mit a < 10^50 gibt. (10 hoch 50). \par \par Andererseits lassen sich alle geraden vollkommenen Zahlen angeben. Charakterisierung \par der geraden vollkommenen Zahlen: F\'fcr eine nat\'fcrliche gerade Zahl a = 2^(s-1)*b mit \par s >=2, b ungerade sind \'e4quivalent: \par \par \pard\li500\ri4\plain\f7\fs28\cf0 1) a ist vollkommen \par 2) b ist Primzahl und es gilt: b = 2^s-1 \par \pard\ri4\plain\f7\fs28\cf0 \par Das Notebook selbst setzt sich aus drei Teilen zusammen. \par \par \pard\li500\ri4\plain\f7\fs28\cf0 1) Die Konstruktion einer vollkommenen Zahl au\'dferhalb einer Programmierl\'f6sung. \par 2) In einer Variation des Algorithmus zur Berechnung vollkommener Zahlen werden \par die Ergebnisse des Algorithmus zur Speicherung in eine Matrix geschrieben und \par anschlie\'dfend auf Vollkommenheit \'fcberpr\'fcft. \par 3) Durch Vergleich mit den vollkommenen Zahlen in der Tabelle/ Matrix wird \'fcber- \par pr\'fcft, inwieweit eine vorgegebene nat\'fcrliche Zahl vollkommen ist. \par \pard\ri4\plain\f7\fs28\cf0 \par \par \plain\f7\fs28\cf0\ul 1. Teil \plain\f7\fs28\cf0 \par \par Konstruktion vollkommener Zahlen in Einzelschritten am Beispiel der vollkommem Zahl 6. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}s:=2: \par {\pntext\f1\'b7\tab}b:=2^s-1 \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect {\pict\wmetafile8\picw556\pich816\picscalex98\picscaley98\picwgoal318\pichgoal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}\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\li50\ri2\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\ri4\plain\f7\fs28\cf0 Vorausgesetzt wurde, dass b Primzahl sein soll. F\'fcr b = 3 ist dies ohne weitere Rechnung \par bekannt. In anderen F\'e4llen kann dies jedoch nicht ohne weiteres vorausgesetzt werden. \par Wenn eine Zahl b Primzahl ist, hat sie nur einen Primteiler. Die Anzahl der Primtteiler wird \par durch den Befehl \plain\f7\fs28\cf1 nops\plain\f7\fs28\cf0 geliefert. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Testergebnis:=testeq(nops(numlib::primedivisors(b))=1) \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect {\pict\wmetafile8\picw1443\pich816\picscalex98\picscaley98\picwgoal826\pichgoal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}\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\li50\ri2\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\ri4\plain\f10\fs28\cf0 Bei dem Resultat TRUE ist b Primzahl, sonst nicht. Ist b Primzahl liefert der n\'e4chste \par Schritt die vollkommene Zahl a. Ist b keine Primzahl ist die Zahl a unvollkommen, da \par der Algorithmus alle geraden vollkommenen Zahlen charakterisiert. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}a:=2^(s-1)*b: \par {\pntext\f1\'b7\tab}if Testergebnis = TRUE \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 then \par a:=2^(s-1)*b: \par print(Typeset, \par "Vollkommene Zahl : ".a); \par else \par print(Typeset,"unvollkommene Zahl : ".a); \par end_if \par \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect {\pict\wmetafile8\picw4488\pich816\picscalex98\picscaley98\picwgoal2570\pichgoal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}\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\li50\ri2\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Um andere vollkommene Zahlen zu erhalten ist oben ein anderer Wert f\'fcr s zu w\'e4hlen. \par Wenn allerdings b keine Primzahl ist, ist die resultierende Zahl a nicht vollkommen. \plain\f8\fs22\cf0 \par \par \par \plain\f8\fs28\cf0\ul 2. Teil \plain\f8\fs22\cf0 \par \par \plain\f8\fs28\cf0 Hier wird der Algorithmus ohne Ber\'fccksichtigung, ob die ben\'f6tigten Exponenten s \par Primzahlen sind durchlaufen. Das die potenziellen vollkommenen Zahlen a werden \par berechnet. Anschlie\'dfend wird \'fcberpr\'fcft. ob die Zwischenprodukte b Primzahlen sind \par und damit die Zahlen a vollkommen sind. Die Ergebnisse werden in eine Matrix \par geschrieben. \par \par Die Ausgabematrix wird definiert und die ben\'f6tigten Variablen werden zur\'fcckgesetzt. \par Die Variable Ende gibt die Anzahl der Iterationen und damit die Anzahl der Zeilen \par der Ausgabematrix an. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Ende:=10: \par {\pntext\f1\'b7\tab}Ausgabe:=matrix(Ende,3): \par {\pntext\f1\'b7\tab}delete a,b,k: \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 \par Die potenziellen vollkommen Zahlen werden nach dem oben angegebenen Algorithmus \par und in die zweite Spalte der Ausgabematrix geschrieben. In der ersten Spalte der Aus- \par gabematrix erscheint die Zahlnummer. Anschlie\'dfend wird entsprechend dem in Teil 1 \par angegebenen Verfahren \'fcberpr\'fcft, ob die ermittelte Zahl Primzahl ist. Das Ergebnis \par wird in die dritte Spalte der Ausgabematrix geschrieben. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}for k from 2 to Ende + 1 do \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 b:=2^k-1; \par a:=2^(k-1)*b; \par Ausgabe[k-1,2]:=a; \par Ausgabe[k-1,1]:="Zahl Nr ".expr2text(k-1); \par Primzahltest:=testeq(nops(numlib::primedivisors(b))=1); \par if Primzahltest = TRUE \par then \par Ausgabe[k-1,3]:=vollkommen \par else \par Ausgabe[k-1,3]:=unvollkommen; \par end_if; \par end_for: \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Ausgabe \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect {\pict\wmetafile8\picw7889\pich4538\picscalex98\picscaley98\picwgoal4517\pichgoal2598 0100090000039309000006001C0000000000050000000B0200000000050000000C02BA11D11E03 0000001E00050000000C02E811211F050000000B0200000000030000001E00050000000C02EA11 231F050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E00030000001E00050000000C 02280AA711050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B020000000014000000 FF0600000600F602000024000100020000800080FF7FFF7F02000080FF7F0080FF7F0200040000 002D01000004000000F001000008000000FA0200000000000000000000040000002D0100000700 0000FC020000000000000000040000002D0101001C000000FB0210FF0000000000009001000000 0107000000417269616C00000067030A6250EC1200B8A4F177C1A4F1772030F377452466120400 00002D01020005000000020101000000050000000102FFFFFF00050000002E0118000000050000 0009020000000004000000080100001C000000FB0210FF00000000000090010000000107000000 54696D6573204E657720526F6D616E00B8A4F177C1A4F1772030F37745246612040000002D0103 000B00000026060F000C004D617468547970650000D4031C000000FB0210FF0000000000009001 00000002070000005346204D617468204578740050EC1200B8A4F177C1A4F1772030F377452466 12040000002D010400040000002D010300040000002D010400040000002D010300040000002D01 0400040000002D010300040000002D010400040000002D010300040000002D010400040000002D 0103000500000009020000FF00040000002D010400070000002105010030006400A90007000000 2105010042001402A90007000000210501004200A402A900070000002105010042003403A90007 000000210501004200C403A900070000002105010042005404A90007000000210501004200E404 A900070000002105010042007405A900070000002105010042000406A900070000002105010042 009406A900070000002105010042002407A900070000002105010042008407A900070000002105 010040001408A900040000002D010300070000002105010022003301AE0107000000210501005A 0033011002070000002105010061003301A3020700000021050100680033010E03070000002105 01006C0033018603070000002105010020003301C90307000000210501004E0033010504070000 002105010072003301B20407000000210501002000330102050700000021050100310033013E05 070000002105010022003301B60507000000210501003600330134080700000021050100760033 01040B07000000210501006F0033017C0B07000000210501006C003301F40B0700000021050100 6C003301370C07000000210501006B0033017A0C07000000210501006F003301F20C0700000021 0501006D0033016A0D07000000210501006D003301220E070000002105010065003301DA0E0700 0000210501006E003301450F070000002105010022002302AE0107000000210501005A00230210 02070000002105010061002302A3020700000021050100680023020E0307000000210501006C00 23028603070000002105010020002302C90307000000210501004E002302050407000000210501 0072002302B20407000000210501002000230202050700000021050100320023023E0507000000 2105010022002302B605070000002105010032002302F807070000002105010038002302700807 0000002105010076002302040B07000000210501006F0023027C0B07000000210501006C002302 F40B07000000210501006C002302370C07000000210501006B0023027A0C07000000210501006F 002302F20C07000000210501006D0023026A0D07000000210501006D002302220E070000002105 010065002302DA0E07000000210501006E002302450F070000002105010022001303AE01070000 00210501005A0013031002070000002105010061001303A3020700000021050100680013030E03 07000000210501006C0013038603070000002105010020001303C90307000000210501004E0013 030504070000002105010072001303B20407000000210501002000130302050700000021050100 330013033E05070000002105010022001303B605070000002105010031001303BC070700000021 050100320013033408070000002105010030001303AC080700000021050100750013038C0A0700 0000210501006E001303040B0700000021050100760013037C0B07000000210501006F001303F4 0B07000000210501006C0013036C0C07000000210501006C001303AF0C07000000210501006B00 1303F20C07000000210501006F0013036A0D07000000210501006D001303E20D07000000210501 006D0013039A0E070000002105010065001303520F07000000210501006E001303BD0F07000000 2105010022000304AE0107000000210501005A0003041002070000002105010061000304A30207 00000021050100680003040E0307000000210501006C0003048603070000002105010020000304 C90307000000210501004E0003040504070000002105010072000304B204070000002105010020 00030402050700000021050100340003043E05070000002105010022000304B605070000002105 010034000304BC070700000021050100390003043408070000002105010036000304AC08070000 002105010076000304040B07000000210501006F0003047C0B07000000210501006C000304F40B 07000000210501006C000304370C07000000210501006B0003047A0C07000000210501006F0003 04F20C07000000210501006D0003046A0D07000000210501006D000304220E0700000021050100 65000304DA0E07000000210501006E000304450F07000000210501002200F304AE010700000021 0501005A00F304100207000000210501006100F304A30207000000210501006800F3040E030700 0000210501006C00F304860307000000210501002000F304C90307000000210501004E00F30405 0407000000210501007200F304B20407000000210501002000F304020507000000210501003500 F3043E0507000000210501002200F304B60507000000210501003200F304800707000000210501 003000F304F80707000000210501003100F304700807000000210501003600F304E80807000000 210501007500F3048C0A07000000210501006E00F304040B07000000210501007600F3047C0B07 000000210501006F00F304F40B07000000210501006C00F3046C0C07000000210501006C00F304 AF0C07000000210501006B00F304F20C07000000210501006F00F3046A0D07000000210501006D 00F304E20D07000000210501006D00F3049A0E07000000210501006500F304520F070000002105 01006E00F304BD0F07000000210501002200E305AE0107000000210501005A00E3051002070000 00210501006100E305A30207000000210501006800E3050E0307000000210501006C00E3058603 07000000210501002000E305C90307000000210501004E00E305050407000000210501007200E3 05B20407000000210501002000E305020507000000210501003600E3053E050700000021050100 2200E305B60507000000210501003800E305800707000000210501003100E305F8070700000021 0501003200E305700807000000210501003800E305E80807000000210501007600E305040B0700 0000210501006F00E3057C0B07000000210501006C00E305F40B07000000210501006C00E30537 0C07000000210501006B00E3057A0C07000000210501006F00E305F20C07000000210501006D00 E3056A0D07000000210501006D00E305220E07000000210501006500E305DA0E07000000210501 006E00E305450F07000000210501002200D306AE0107000000210501005A00D306100207000000 210501006100D306A30207000000210501006800D3060E0307000000210501006C00D306860307 000000210501002000D306C90307000000210501004E00D306050407000000210501007200D306 B20407000000210501002000D306020507000000210501003700D3063E05070000002105010022 00D306B60507000000210501003300D306440707000000210501003200D306BC07070000002105 01003600D306340807000000210501003400D306AC0807000000210501003000D3062409070000 00210501007500D3068C0A07000000210501006E00D306040B07000000210501007600D3067C0B 07000000210501006F00D306F40B07000000210501006C00D3066C0C07000000210501006C00D3 06AF0C07000000210501006B00D306F20C07000000210501006F00D3066A0D0700000021050100 6D00D306E20D07000000210501006D00D3069A0E07000000210501006500D306520F0700000021 0501006E00D306BD0F07000000210501002200C307AE0107000000210501005A00C30710020700 0000210501006100C307A30207000000210501006800C3070E0307000000210501006C00C30786 0307000000210501002000C307C90307000000210501004E00C307050407000000210501007200 C307B20407000000210501002000C307020507000000210501003800C3073E0507000000210501 002200C307B60507000000210501003100C307080707000000210501003300C307800707000000 210501003000C307F80707000000210501003800C307700807000000210501003100C307E80807 000000210501003600C307600907000000210501007500C3078C0A07000000210501006E00C307 040B07000000210501007600C3077C0B07000000210501006F00C307F40B07000000210501006C 00C3076C0C07000000210501006C00C307AF0C07000000210501006B00C307F20C070000002105 01006F00C3076A0D07000000210501006D00C307E20D07000000210501006D00C3079A0E070000 00210501006500C307520F07000000210501006E00C307BD0F07000000210501002200B308AE01 07000000210501005A00B308100207000000210501006100B308A30207000000210501006800B3 080E0307000000210501006C00B308860307000000210501002000B308C9030700000021050100 4E00B308050407000000210501007200B308B20407000000210501002000B30802050700000021 0501003900B3083E0507000000210501002200B308B60507000000210501003500B30808070700 0000210501003200B308800707000000210501003300B308F80707000000210501003700B30870 0807000000210501003700B308E80807000000210501003600B308600907000000210501007500 B3088C0A07000000210501006E00B308040B07000000210501007600B3087C0B07000000210501 006F00B308F40B07000000210501006C00B3086C0C07000000210501006C00B308AF0C07000000 210501006B00B308F20C07000000210501006F00B3086A0D07000000210501006D00B308E20D07 000000210501006D00B3089A0E07000000210501006500B308520F07000000210501006E00B308 BD0F07000000210501002200A309720107000000210501005A00A309D401070000002105010061 00A309670207000000210501006800A309D20207000000210501006C00A3094A03070000002105 01002000A3098D0307000000210501004E00A309C90307000000210501007200A3097604070000 00210501002000A309C60407000000210501003100A309020507000000210501003000A3097A05 07000000210501002200A309F20507000000210501003200A309CC0607000000210501003000A3 09440707000000210501003900A309BC0707000000210501003600A30934080700000021050100 3100A309AC0807000000210501003200A309240907000000210501003800A3099C090700000021 0501007500A3098C0A07000000210501006E00A309040B07000000210501007600A3097C0B0700 0000210501006F00A309F40B07000000210501006C00A3096C0C07000000210501006C00A309AF 0C07000000210501006B00A309F20C07000000210501006F00A3096A0D07000000210501006D00 A309E20D07000000210501006D00A3099A0E07000000210501006500A309520F07000000210501 006E00A309BD0F040000002D010400040000002D010300040000002D010400040000002D010300 040000002D010400070000002105010031006400E210070000002105010043001402E210070000 00210501004300A402E210070000002105010043003403E21007000000210501004300C403E210 070000002105010043005404E21007000000210501004300E404E2100700000021050100430074 05E210070000002105010043000406E210070000002105010043009406E2100700000021050100 43002407E210070000002105010043008407E210070000002105010041001408E21008000000FA 0200000000000000000000040000002D01050004000000F001000007000000FC020000FFFFFF00 0000040000002D01000004000000F00101001C000000FB021000070000000000BC020000000001 02022253797374656D00002D1F0A2550EC1200B8A4F177C1A4F1772030F3774524661204000000 2D010100040000002701FFFF04000000F001020004000000F001030004000000F0010400040000 002701FFFF040000002701FFFF040000002701FFFF030000000000 }\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\li50\ri2\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0\ul 3. Teil\plain\f8\fs28\cf0 \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \plain\f8\fs28\cf0\ul Probe auf Vollkommenheit\plain\f8\fs28\cf0 \par \par Letztlich gibt es drei Methoden, eine Zahl auf Vollkommenheit zu \'fcberpr\'fcfen: \par \par \pard\li500\ri4\plain\f8\fs28\cf0 1) Man \'fcberpr\'fcft die Vollkommenheit anhand der Definition. Dies wird ein dem \par anderen Notebook zum Thema vollkommene Zahlen durchgef\'fchrt und hier nicht \par weiter verfolgt. \par 2) Man erstellt eine Tabelle gerader vollkommener Zahlen und vergleicht die Probezahl \par mit den Zahlen in der Tabelle. Kommt die Zahl in der Tabelle vor, ist sie vollkommen, \par kommt die Zahl nicht vor, ist sie unvollkommen. Vorausgesetzt wird bei dieser \par Methode, dass die Probezahl kleiner als die gr\'f6\'dfte der vollkommenen Zahlen in der \par Tabelle ist. Gegebenenfalls muss die Tabelle vor der \'dcberpr\'fcfung um weitere voll- \par kommene Zahlen erg\'e4nzt werden. Bei ungeraden Zahlen \'fcberpr\'fcft man, ob die Zahl \par kleiner oder gr\'f6\'dfer als 10^50 ist. Ist sie kleiner als 10^50 ist sie unvollkommen, \par sonst ist eine Aussage nicht m\'f6glich. \par 3) Man berechnet f\'fcr eine gegebene gerade Probezahl die Variable b und \'fcberpr\'fcft, \par ob b Primzahl ist. Dar\'fcber hinaus \'fcberpr\'fcft man, ob s eine nat\'fcrliche Zahl >= 2 ist. \par \pard\ri4\plain\f8\fs22\cf0 \par \plain\f8\fs28\cf0 Die Matrix f\'fcr die Speicherung der Testergebnisse wird definiert. Ihre Zeilenzahl entspricht \par der Anzahl der Iterationen. \plain\f8\fs22\cf0 \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Testergebnis:=matrix(Ende,1): \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Die Probezahl ist die Zahl, die auf Vollkommenheit untersucht werden soll.\plain\f8\fs22\cf0 \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Probezahl:=6: \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 \par Die vorher berechneten potenziell vollkommenen Zahlen werden einzeln auf Vollkommenheit \par \'fcberpr\'fcft. Dazu wird \'fcberpr\'fcft, ob erstens die Zahl in der Tabelle vorkommt und zweitens, \par ob die Zahl vollkommen ist. Die Ergebnisse werden in die Testmatrix geschrieben. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}for k from 1 to Ende do \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 a:=Ausgabe[k,2]: \par b:=Ausgabe[k,3]: \par Testergebnis[k,1]:=testeq(a=Probezahl)and \par testeq(b=vollkommen) \par \par end_for: \par \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Die Testmatrix wird ausgegeben \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Testergebnis \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect {\pict\wmetafile8\picw2570\pich4447\picscalex98\picscaley98\picwgoal1471\pichgoal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}\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\li50\ri2\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Die Einzelergebnisse werden zu einer Gesamtaussage zusammengefasst. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Gesamttestergebnis:=Testergebnis[1,1]: \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 for k from 2 to Ende do \par Gesamttestergebnis :=Testergebnis[k,1] \par or Gesamttestergebnis: \par \par \par end_for: \par \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Die \'dcberpr\'fcfung liefert nur vollkommene Zahlen, wenn diese in der Tabelle vorkommen. \par Insofern werden nur vollkommene Zahlen erfasst, die kleinergleich der gr\'f6\'dften in der Tabelle \par vorkommenden vollkommenen Zahl sind. Das Gesamtergebnis der \'dcberpr\'fcfung wird um \par einen entsprechenden Check erg\'e4nzt und ausgegeben. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs24\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}if Ausgabe[Ende,2] >= Probezahl \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs24\cf1 then \par if Gesamttestergebnis = TRUE \par then \par print("die Zahl ".expr2text(Probezahl)." ist eine vollkommene Zahl") \par else \par print("die Zahl ".expr2text(Probezahl)." ist keine vollkommene Zahl") \par end_if \par else \par print("Die Probezahl ist gr\'f6\'dfer als die gr\'f6\'dfte berechnete Zahl"); \par print("Eine Aussage \'fcber die Vollkommenheit ist daher nicht m\'f6glich") \par end_if\plain\f3\fs28\cf1 \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect "die Zahl 6 ist eine vollkommene Zahl" \par \pard\li50\ri2\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0\ul Anschlussprobleme und offene Punkte:\plain\f8\fs28\cf0 \par \par 1) Es sollte verhindert werden, dass andere als nat\'fcrliche Zahlen zur \'dcberpr\'fcfung auf \par Vollkommenheit zugelassen werden. \par \par 2) Es sollte sichergestellt werden, dass f\'fcr s nur nat\'fcrliche Zahlen im Algorithmus \par ber\'fccksichtigt werden k\'f6nnen. \par \par 3) Ungerade Zahlen werden in der \'dcberpr\'fcfung auf Vollkommenheit durch Vergleich \par mit den Werten in der Tabelle automatisch als nicht vollkommen erkannt. Dies \par Ergebnis ist jedoch nur f\'fcr ungerade Zahlen < 10^50 richtig. Es ist nicht bekannt, \par ob es gr\'f6\'dfere ungerade vollkommene Zahlen gibt, die gr\'f6\'dfer als 10^50 sind. Das \par Notebook um eine entsprechende \'dcberpr\'fcfung erg\'e4nzt werden. \par \par 4) In der \'dcberpr\'fcfung auf Vollkommenheit scheint eine Redundanz zu sein. Einerseits \par wird \'fcberpr\'fcft, ob die Zahl in der Tabelle vorkommt und zus\'e4tzlich wird \'fcberpr\'fcft, \par ob diese Zahl vollkommen ist. Es sollte gekl\'e4rt werden, welche Auswirkungen auf- \par treten, wenn man je einen Teil der Doppelabfrage entfernt. \par \plain\f3\fs20\cf0\b ______________________________________________________________________________ \par \plain\f5\fs22\cf0 \par \plain\f5\fs22\cf2\b Anmerkung:\plain\f5\fs22\cf2 \par \plain\f5\fs20\cf2\b \par 1.\plain\f5\fs20\cf2 Darstellungen des gew\'e4hlten Algorithmus finden sich in vielen B\'fcchern zur Zahlentheorie. Das vorliegende \par Notebook bezieht sich auf die Darstellung in Remmert, Ulrich: "Elementare Zahlentheorie", 2. Auflage \par Birkh\'e4user 1995. \par \par \plain\f5\fs20\cf2\b 2.\plain\f5\fs20\cf2 L\'f6sungen von Programmierproblemen im Rahmen der linearen Algebra und Analysis finden sich in weiteren \par Notebooks des gleichen Autors. \par \plain\f5\fs22\cf2 \par \plain\f5\fs20\cf2\b 3.\plain\f5\fs20\cf2 In einem weiteren Notebook des Autors wird ein Algorithmus zur Berechnung von Primzahlen durchgef\'fchrt \par und ausgewertet. \par \par \plain\f5\fs20\cf2\b 4.\plain\f5\fs20\cf2 In einem weiteren Notebook des Autors wird eine weitere M\'f6glichkeit zur \'dcberpr\'fcfung einer Zahl auf \par Vollkommenheit durchgef\'fchrt. \par \par \plain\f5\fs20\cf2\b 5.\plain\f5\fs20\cf2 Weitere Aspekte der Anwendung von MuPAD auf die Zahlentheorie finden sich in zwei Notebooks des \par gleichen Autors, die sich mit vollkommenen Zahlen besch\'e4ftigen. \par \par \plain\f5\fs20\cf2\b 6.\plain\f5\fs20\cf2 Weitere Anregungen finden Sie in der Unterrichsmaterialsammlung unter \plain\f5\fs20\cf3 schule.mupad.de\plain\f5\fs20\cf2 . In diesen \par Notebooks werden eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD Pro gel\'f6st. \par \plain\f3\fs20\cf0\b ______________________________________________________________________________ \par \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \plain\f8\fs28\cf0 \par \plain\f8\fs22\cf0 \par }