\mnb150ÿ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fswiss\fprq2 System;}{\f3\fmodern\fprq1 Courier New;}{\f4\fmodern\fprq1\fcharset1 Courier New;}{\f5\fswiss\fprq2 Arial;}{\f6\fswiss\fprq2\fcharset1 Arial;}{\f7\froman\fprq2 Times New Roman;}{\f8\froman\fcharset1 Times New Roman;}{\f9\froman\fprq2\fcharset1 Times New Roman;}{\f10\fswiss\fprq2 Helvetica;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;\red255\green0\blue0;\red0\green128\blue0;\red0\green0\blue255;} \deflang1031\pard\ri4\plain\f3\fs20\cf0 ________________________________________________________________________________ \par \par Inhalt....: Vollkommene Zahlen 1 \par Kategorie.: Unterrichtsmaterial \par Mathematik: Zahlentheorie \par MuPAD.....: 3.1.0 \par Datum.....: 2006-10-24 \par Autoren...: August Barkhausen \par Funktionen: for, min, sum, nops, numlib::primedivisors, testeq \par ________________________________________________________________________________ \par \plain\f6\fs20\cf0 \par \plain\f6\fs48\cf0 Konstruktion von vollkommenen Zahlen und \par Test von Zahlen auf Vollkommenheit \par \plain\f5\fs28\cf2\b \par \plain\f5\fs24\cf2\b Im folgenden wird ein Algorithmus zur Berechnung von geraden vollkommenen \par Zahlen durchgef\'fchrt, der auf die in dem Buch "Elementare Zahlentheorie" von \par Remmert und Ulrich, 2. Auflage Birkh\'e4user1995" angegebene Charakterisierung \par gerader vollkommener Zahlen zur\'fcckgeht. Die Formulierung der Charakterisierung \par der vollkommenen geraden Zahlen ist dem Buch von Remmert und Ulrich (S. 37) \par entnommen. \par \par Mathematische Voraussetzungen sind neben Grundkenntnissen \'fcber elementare \par Rechenregeln f\'fcr reelle Zahlen und Primzahlen Programmierkenntnisse. F\'fcr die \par Datenspeicherung werden Matrizen benutzt. Anderseits werden keine Grund- \par kenntnisse \'fcber Rechenregeln f\'fcr Matrizen ben\'f6tigt. Eine Kurzeinf\'fchrung \'fcber \par die Definition von Matrizen und die Identifikation einzelner Elemente einer Matrix \par reicht hier aus. Schlie\'dflich wird alternativ auch der Befehl print f\'fcr die Datenaus- \par gabe benutzt. \par \par Aus mathematischer Sicht wesentliche Aspekte des Notebooks sind: \par \par \pard\li500\ri4\plain\f5\fs24\cf2\b - Umgang mit Algorithmen \par - \'dcberpr\'fcfung mathematischer Voraussetzungen \par - Anwendung von Beweistechniken \par - Wiederholung bekannter mathematischer Begriffe \par - Kennenlernen neuer mathematischer Begriffe \par \pard\ri4\plain\f5\fs24\cf2\b \par Aus programmiertechnischer Sicht wesentliche Aspekte des Notebooks sind: \par \par \pard\li500\ri4\plain\f5\fs24\cf2\b - Programmiertechniken in MuPAD \par - Datenein- und Ausgabe in MuPAD \par \pard\ri4\plain\f5\fs28\cf2\b \par \plain\f7\fs28\cf0 Vollkommene Zahlen sind nat\'fcrliche Zahlen, bei denen die Summe der Teiler doppelt so \par gro\'df ist, wie die Zahl selbst. \par \par \plain\f7\fs28\cf0\ul Beispiele: \par \plain\f7\fs28\cf0 Die Teiler von 6 sind 1, 2, 3 und 6. F\'fcr die Summe gilt: 1+2+3+6 = 12. Andererseits ist \par 12: 2 = 6. Die Zahl 6 ist damit vollkommen. Die Teiler von 28 sind 1, 2, 4, 7, 14 und 28. \par F\'fcr die Summe gilt: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 und andererseits 28:2 = 14. Die Zahl 28 ist \par damit vollkommen. Die Eigenschaft einer Zahl, vollkommen zu sein, ist nicht selbstver- \par st\'e4ndlich: Die Teiler von 12 beispielsweise sind 1, 2, 3, 4, 6, 12. Deren Summe ist 28 und \par die H\'e4lfte von 28 ist 14. Die Zahl 12 ist damit nicht vollkommen. \par \par Ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt, ist nicht bekannt. Bekannt ist jedoch, dass es \par keine ungeraden vollkommenen Zahlen a mit a < 10^50 gibt. (10 hoch 50). \par \par Andererseits lassen sich alle geraden vollkommenen Zahlen angeben. Charakterisierung \par der geraden vollkommenen Zahlen: F\'fcr eine nat\'fcrliche gerade Zahl a = 2^(s-1)*b mit \par s >=2, b ungerade sind \'e4quivalent: \par \par \pard\li500\ri4\plain\f7\fs28\cf0 1) a ist vollkommen \par 2) b ist Primzahl und es gilt: b = 2^s-1 \par \pard\ri4\plain\f7\fs28\cf0 \par Das Notebook selbst setzt sich aus drei Teilen zusammen. \par \par \pard\li500\ri4\plain\f7\fs28\cf0 1) Konstruktion einer vollkommen Zahl in Einzelschritten \par 2) Anwendung des Algorithmus auf die iterative Konstruktion vollkommener Zahlen \par 3) \'dcberpr\'fcfung vollkommener Zahlen anhand der Definition \par \pard\ri4\plain\f7\fs28\cf0 \par \plain\f7\fs28\cf0\ul 1. Teil \par \plain\f7\fs28\cf0 Konstruktion vollkommener Zahlen in Einzelschritten am Beispiel der vollkommem Zahl 6. \par Es wird die Notation aus dem oben angegebenen Satz benutzt und der Algorithmus f\'fcr \par s = 2 durchgef\'fchrt. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}s:=2: \par {\pntext\f1\'b7\tab}b:=2^s-1 \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect {\pict\wmetafile8\picw556\pich816\picscalex98\picscaley98\picwgoal318\pichgoal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}\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\li50\ri2\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\ri4\plain\f7\fs28\cf0 Vorausgesetzt wurde, dass b Primzahl sein soll. F\'fcr b = 3 ist dies ohne weitere Rechnung \par bekannt. In anderen F\'e4llen kann dies jedoch nicht ohne weiteres vorausgesetzt werden. \par Wenn eine Zahl b Primzahl ist, hat sie automatisch nur einen Primteiler. Die Anzahl der \par Teilteiler wird mit dem Befehl \plain\f7\fs28\cf1 nops\plain\f7\fs28\cf0 ermittelt. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Testergebnis:=testeq(nops(numlib::primedivisors(b))=1) \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect {\pict\wmetafile8\picw1443\pich816\picscalex98\picscaley98\picwgoal826\pichgoal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}\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\li50\ri2\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\ri4\plain\f9\fs28\cf0 Bei dem Resultat TRUE ist b Primzahl, sonst nicht. Ist b Primzahl liefert der n\'e4chste \par Schritt die vollkommene Zahl a. Ist b keine Primzahl ist die Zahl a unvollkommen, da \par der Algorithmus alle geraden vollkommenen Zahlen charakterisiert. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}if Testergebnis = TRUE \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 then \par a:=2^(s-1)*b: \par print(Typeset, \par "Vollkommene Zahl : ".a); \par else \par print(Typeset,"unvollkommene Zahl : ".a); \par end_if \par \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect {\pict\wmetafile8\picw4488\pich816\picscalex98\picscaley98\picwgoal2570\pichgoal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}\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\li50\ri2\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Um andere vollkommene Zahlen zu erhalten ist oben ein anderer Wert f\'fcr s zu w\'e4hlen. \par Wenn allerdings b keine Primzahl ist, ist die resultierende Zahl a nicht vollkommen. \plain\f8\fs22\cf0 \par \plain\f7\fs28\cf0 \par \plain\f8\fs28\cf0 Eine Probe auf Vollkommenheit ist aufgrund des oben angegebenen Satzes nicht n\'f6tig, \par wenn die Voraussetzungen des Satzes sichergestellt sind. Andererseits sollen hier die Befehle \par f\'fcr eine \'dcberpr\'fcfung in Einzelschritten bereitgestellt werden. \plain\f3\fs22\cf1 \par \par \plain\f8\fs28\cf0 Zun\'e4chst werden die Teiler von a festgestellt. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Teiler_von_a:=numlib::divisors(a) \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect {\pict\wmetafile8\picw2234\pich816\picscalex98\picscaley98\picwgoal1279\pichgoal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}\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\li50\ri2\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\ri4\plain\f7\fs28\cf0 Nun werden die Teiler summiert und die Summe wird durch 2 geteilt. Bei der Funktion \par sum wurde vorausgesetzt, dass die Zahl der Teiler durch den Menschen abgelesen wird. \par \plain\f5\fs28\cf2\b \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Summe1:=sum(Teiler_von_a[k],k=1..4) \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect {\pict\wmetafile8\picw766\pich816\picscalex98\picscaley98\picwgoal438\pichgoal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}\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\li50\ri2\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Halbesumme1:=Summe1/2 \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect {\pict\wmetafile8\picw556\pich816\picscalex98\picscaley98\picwgoal318\pichgoal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}\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\li50\ri2\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 W\'fcnschenswert ist an dieser Stelle allerdings eine dynamischere Vorgehensweise. \par MuPAD soll die Summation f\'fcr beliebige Anzahl von Teilern korrekt durchf\'fchren. \par \plain\f8\fs28\cf0\b\ul \par \plain\f8\fs28\cf0\ul 2. Teil\plain\f8\fs22\cf0 \par \par \plain\f8\fs28\cf0 Das oben angegebene Verfahren zur Konstruktion vollkommener Zahlen wird iterativ \par durchgef\'fchrt. Die Variable Ende gibt die Anzahl der Iterationen an. Zun\'e4chst werden die \par ben\'f6tigten Variablen zur\'fcckgesetzt. \plain\f8\fs24\cf0 \plain\f8\fs22\cf0 \par \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Ende:=27: \par {\pntext\f1\'b7\tab}delete s:delete b: delete a: \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Zahlnummer:=0: \par {\pntext\f1\'b7\tab}for s from 2 to Ende do \par \pard\li600\ri1\fi-300\plain\f3\fs28\cf1 b:=2^s-1; \par Primzahltest:=testeq(nops(numlib::primedivisors(b))=1); \par if Primzahltest = TRUE \par then \par a:=2^(s-1)*b; \par Zahlnummer:=Zahlnummer+1; \par print(Typeset, \par "Vollkommene Zahl".expr2text(Zahlnummer).": ".a); \par end_if; \par \par \par end_for: \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect {\pict\wmetafile8\picw4593\pich816\picscalex98\picscaley98\picwgoal2630\pichgoal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Teil \plain\f8\fs28\cf0 \par \par \'dcberpr\'fcfung auf Vollkommenheit anhand der Definition f\'fcr beliebige nat\'fcrliche Zahlen. \par Die Probezahl ist die Zahl, die auf Vollkommenheit untersucht werden soll. Wenn man eine \par andere als die angegebene Zahl untersuchen m\'f6chte, reicht es, die vorgebene Probezahl \par durch eine andere zu ersetzen. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Probezahl := 8128: \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 \par In einem ersten Schritt werden die Teiler bestimmt. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Teiler:=numlib::divisors(Probezahl) \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect {\pict\wmetafile8\picw11243\pich816\picscalex98\picscaley98\picwgoal6438\pichgoal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}\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\li50\ri2\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Nun werden die Teiler addiert. F\'fcr die Summation wird die Anzahl der Teiler ben\'f6tigt. \par Diese wird durch die Funktion \plain\f8\fs28\cf1 nops \plain\f8\fs28\cf0 geliefert. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}Anzahl_Teiler:=nops(Teiler) \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect {\pict\wmetafile8\picw766\pich816\picscalex98\picscaley98\picwgoal438\pichgoal467 0100090000034F01000005001C0000000000050000000B0200000000050000000C023003FE0203 0000001E00050000000C0239030603050000000B0200000000030000001E00050000000C023B03 0803050000000B0200000000050000000B0200000000030000001E00030000001E00050000000C 02D501B801050000000B0200000000050000000B0200000000050000000B020000000014000000 FF0600000600F602000024000100020000800080FF7FFF7F02000080FF7F0080FF7F0200040000 002D01000004000000F001000008000000FA0200000000000000000000040000002D0100000700 0000FC020000000000000000040000002D0101001C000000FB0210FF0000000000009001000000 0107000000417269616C000000FA230ACD50EC1200B8A4F177C1A4F1772030F3771724661F0400 00002D01020005000000020101000000050000000102FFFFFF00050000002E0118000000050000 0009020000000004000000080100001C000000FB0210FF00000000000090010000000107000000 54696D6573204E657720526F6D616E00B8A4F177C1A4F1772030F3771724661F040000002D0103 000B00000026060F000C004D6174685479706500007B000500000009020000FF00070000002105 010031003B016400070000002105010034003B01DC0008000000FA020000000000000000000004 0000002D01040004000000F001000007000000FC020000FFFFFF000000040000002D0100000400 0000F00101001C000000FB021000070000000000BC02000000000102022253797374656D000092 230ABB50EC1200B8A4F177C1A4F1772030F3771724661F040000002D010100040000002701FFFF 04000000F001020004000000F0010300040000002701FFFF040000002701FFFF040000002701FF FF030000000000 }\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\li50\ri2\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Die Summe wird gebildet. \par \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}delete(n): \par {\pntext\f1\'b7\tab}Summe_der_Teiler:=sum(Teiler[n],n=1..Anzahl_Teiler) \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect {\pict\wmetafile8\picw1394\pich816\picscalex98\picscaley98\picwgoal798\pichgoal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}\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\li50\ri2\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Im letzten Schritt wird die Anzahl der Teiler durch zwei dividiert und das Ergebnis mit \par der Probezahl verglichen. \par \plain\f8\fs22\cf0 \par \pard\li300\ri5\fi-300{\*\pn\pnlvlblt\pnf1\pnindent300{\pntxtb\'b7}}\plain\f3\fs28\cf1 {\pntext\f1\'b7\tab}testeq(Summe_der_Teiler/2=Probezahl) \par \pard\li50\ri6\plain\f3\fs22\cf3\protect {\pict\wmetafile8\picw1443\pich816\picscalex98\picscaley98\picwgoal826\pichgoal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}\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\li50\ri2\plain\f3\fs22\cf3\protect \par \pard\ri4\plain\f8\fs28\cf0 Bei der Antwort TRUE ist die Probezahl vollkommen, sonst nicht. Im Unterschied zu \par dem im zweiten Notebook zu vollkommenen Zahlen, erfasst die \'dcberpr\'fcfung auf \par Vollkommenheit sowohl gerade als auch ungerade Zahlen. \par \par \plain\f8\fs28\cf0\ul Offene Punkte und Anregungen: \par \plain\f8\fs28\cf0 \par 1) Es sollte sichergestellt werden, dass die Voraussetzungen des Satzes \par genauer abgespr\'fcft werden. Insbesondere sollte sichergestellt werden, dass \par die Zahl s tats\'e4chlich nur aus der Menge der nat\'fcrlichen Zahlen stammt. \par \par 2) Wenn es eine bessere Alternative zur Testmatrix gibt, sollte diese realisiert werden. \par \par 3) Die Ausgaben k\'f6nnen mit dem Printbefehl aussagekr\'e4ftiger dargestellt werden. \par Beispielsweise kann eine Aussage "False" durch einen geeigneten Satz ersetzt werden. \par \par 4) Es ist als dritte M\'f6glichkeit zur \'dcberpr\'fcfung auf einer Zahl auf Vollkommenheit \par m\'f6glich, die oben angegebene Formel zur Bestimmung einer geraden vollkommenen \par Zahl nach b und s umzustellen und dann zu \'fcberpr\'fcfen, ob b eine Primzahl ist und s \par eine nat\'fcrliche Zahl >=2. Man sollte dabei die mathematischen Voraussetzungen und \par Grenzen dieser Vorgehensweise \'fcberpr\'fcfen. \par \plain\f5\fs20\cf0\b \par \plain\f3\fs20\cf0\b ______________________________________________________________________________ \par \plain\f5\fs22\cf0 \par \plain\f5\fs22\cf2\b Anmerkung:\plain\f5\fs22\cf2 \par \plain\f5\fs20\cf2\b \par 1.\plain\f5\fs20\cf2 Darstellungen des gew\'e4hlten Algorithmus finden sich in vielen B\'fcchern zur Zahlentheorie. Das vorliegende \par Notebook bezieht sich auf die Darstellung in Remmert, Ulrich: "Elementare Zahlentheorie", 2. Auflage \par Birkh\'e4user 1995. \par \par \plain\f5\fs20\cf2\b 2.\plain\f5\fs20\cf2 L\'f6sungen von Programmierproblemen im Rahmen der linearen Algebra und Analysis finden sich in weiteren \par Notebooks des gleichen Autors. \par \plain\f5\fs22\cf2 \par \plain\f5\fs20\cf2\b 3.\plain\f5\fs20\cf2 In einem weiteren Notebook des Autors wird ein Algorithmus zur Berechnung von Primzahlen durchgef\'fchrt \par und ausgewertet. \par \par \plain\f5\fs20\cf2\b 4.\plain\f5\fs20\cf2 In einem weiteren Notebook des Autors wird eine weitere M\'f6glichkeit zur \'dcberpr\'fcfung einer Zahl auf \par Vollkommenheit durchgef\'fchrt. \par \par \plain\f5\fs20\cf2\b 5.\plain\f5\fs20\cf2 Weitere Aspekte der Anwendung von MuPAD auf die Zahlentheorie finden sich in zwei Notebooks des \par gleichen Autors, die sich mit vollkommenen Zahlen besch\'e4ftigen. \par \par \plain\f5\fs20\cf2\b 6.\plain\f5\fs20\cf2 Weitere Anregungen finden Sie in der Unterrichsmaterialsammlung unter \plain\f5\fs20\cf3 schule.mupad.de\plain\f5\fs20\cf2 . In diesen \par Notebooks werden eine Vielzahl unterschiedlichster mathematischer Probleme mit MuPAD Pro gel\'f6st. \par \plain\f3\fs20\cf0\b ______________________________________________________________________________ \par \par \plain\f8\fs22\cf0 \par }